数学：确定性的丧失（五）

约化公理、无穷公理及选择公理的使用，对整个逻辑的观点，即数学可以从逻辑推导出来，提出了质疑：逻辑与数学的区别在哪儿呢？

罗素是坚定的逻辑派观点的捍卫者。有一个时期他为他和怀特海在《原理》第二卷第一版中所做的一切作辩解，在《数学哲学导论》（1919年）中他说：

（数学和逻辑的）同一性的证明，当然是细节问题。从逻辑和数学共同接受的前提出发，用演绎的方法得到显然是数学的结果，我们就会看出，不可能画出一条清晰的分界线，其左边是逻辑，右边是数学。如果还有些人不肯承认数学和逻辑的同一性，我将提请他指出，在《数学原理》的一系列定义和推导中，他们认为在哪儿是逻辑的结束，哪儿是数学的开始。显然，任何答案都不可能是准确的。P226

然而，有很大一部分经典数学的推导用到了它们，在《原理》第一卷的第二版（1937年）中，罗素已放弃了最早的观点。他说：“什么是逻辑的原理，已经变得相当任意了”。无穷公理和选择公理“只能通过经验来证实或否证”。不过，他仍然坚持逻辑和数学是统一体。P227

对于整个逻辑派的观点，还有一种严厉的批评。即：假如逻辑派的看法是正确的，那么，全部数学就是一种纯形式的，逻辑演绎的科学。它的定理遵循思维的规律，而思维规律所做的精巧的演绎，是如何表示广泛的自然现象，数的运用、空间几何、声学、电磁学以及力学的，则似乎无法解释。魏尔就此讥讽逻辑派是从无到无。

在同一篇随笔中，彭加勒还说：

逻辑主义必须加以修正，而人们一点也不知道还有什么东西可以保留下来，毋需多说，这里指的是康托尔主义和逻辑主义；真正的数学，总有它实用的目的，它会按照它自己的原则不断地发展，而不理会外面狂烈的风暴，并且它将一步一步地去追寻它惯常的胜利，这是一定的，并且永远不会停止。

另一种对逻辑派的严肃批评断言，在数学的创造中，感性的或想象的直觉必须提供新的概念，而不管它是否来自于经验。否则的话，新的知识从哪里产生呢？但是在《原理》中，所有的概念都规约为逻辑概念。形式化显然在任何实际意义下，都不能表示数学，它只有外壳，没有内涵。罗素本人在另一场合曾说：数学是这样一门学科，在其中我们永远不会知道自己所讲的是什么，也不知道我们所说的是不是真的。这就可以用来反驳逻辑主义。

P228

新的思想如何被引入数学？如果数学的内容可以全部由逻辑推出，那它怎么能用于现实世界？对此并不容易回答，罗素和怀特海也没有给出回答。逻辑注意不能解释为什么数学适用于物理世界这一论点被数学适用于基本物理原理这一事实反驳了。而这一点，只要涉及到实在，就成了前提。数学技术勾画出物理原理的含义，譬如说PV=常数，F=ma。这结论仍然适用于物理世界，这就产生了疑问：为什么世界符合数学推理呢？我们后面将要回到这个问题上来。

《数学原理》中接受的（在许多逻辑系统中也接受的）实质蕴涵，甚至当其原命题不成立时，也允许蕴涵成立。因此如果一个假命题p被作为公理引入，则p隐含g可以在此体系中成立而且g仍然可能真。既然在《数学原理》的逻辑中，一个“不容置疑”的命题，可以从一个错误的公理中推出来，因此，这样一个论点是毫无意义的。P229

对逻辑主义也许可以用罗素在《记忆之像》中的一段话作为最后的总结：

我像人们需要宗教信仰一样渴望确定性，我想在数学中比在任何其他地方更能找到确定性。但我发现，许多数学证明——我的老师希望我接受——却是错误百出。而且，假如真的在数学中找到了确定性，那它一定是数学的一个新领域。它有比迄今为止认为是安全的领域更加坚实的基础。但当工作进行时，我不断地想到大象和乌龟的寓言。把大象置于整个数学的基础上之后，我发现大象摇摇欲坠，于是再造一个乌龟来防止大象倒下，但这乌龟不比大象更安全。而在经过20年左右的艰苦工作后，我得出的结论是，在对于使数学更确信无疑这一工作上，我已无能为力。

在《我的哲学发展》（1959年）一书中，罗素承认“一直以来，我希望在数学中找到的绝对的确定性消失在一个令人迷惑的迷宫中了。……它确是一个复杂的概念的迷宫。”而这也不是罗素一人的不幸。P231

直觉主义者则通过唤醒人们内心所确认的约束意识来寻求数学真理。从逻辑原理所推导出来的东西，不比直接感悟的更可信，悖论的发现，不仅肯定了逻辑主要不可信，也促进了明确的直觉主义观念的形成。

从广义的角度来讲，直觉主义可以追溯到笛卡尔和帕斯卡。在《思维的指导法则》一书中，笛卡尔说：

我们不惮错漏地在此公布知性上升为知识的途径，这样的途径有两种：直觉和演绎。我所说的直觉并非各种感觉的验证，也不是被自然而夸大的想象的错误判断，它是来自于缜密的头脑中的概念。它是如此清晰和明白，对于它所理解的东西，根本不含任何可疑之处，或者说——两种说法其实是一样的——审慎而缜密的头脑中自明的概念，是仅由理性获得的概念，并且因为更简单而比演绎本身更确定。尽管我们在前文中所说，在演绎过程中，人的头脑也不会出错。因而，我们每个人都可凭直觉知道：我们存在、我们思考、三角形仅由三边围成、球面由单面所围成、以及如此种种。

……

也许有人要问，为什么要在直觉中加入这种由演绎得来的其他类型的知识，也就是说，加入了从我们对其确定知识的事物中得到其必然结果的过程。我们不得不采用这第二步，因为对于许多并不是自明的事物，只要它们是从真理和无可争辩的原理中而来，并经过连续不可分的思维活动（对每一件事都有清楚的直觉）得到，那么它们就会打上确定性的烙印。正如这样一种情况：尽管我们不能在一瞥之间就把一条长链中的所有中间环节尽收眼底，但如果在依次看过以后，我们能回想起它们从头到尾都是一环扣着一环的，那么，我们就可以知道最后一环和第一环是连在一起的。这样，我们将直觉和演绎区分开来，因为在后一种情况中我们构想了某种步骤或顺序，并且与前一种情况中的不同。……由此，我们便通过直觉或演绎（这要取决于我们如何看待它们）得到直接出自于原理的命题。尽管这些原理本身只能由直觉知晓，而稍远的结果则只能依靠演绎得到。P231

尽管康德主要是个哲学家，但康德于1755年到1770年间却在哥尼斯堡大学教授数学和物理，他认为我们的所有感觉都来自于一个预先假定的外部世界。然而，这些感觉或感性知识并不能提供多少知识，所有感性知识都包含了感知者和被感知物体间的相互作用。心智将这些感性知识梳理清楚，得到对空间和时间的直觉。空间和时间并不是客观存在的，而是心智的创作。

然而，康德关于时间时直觉的一种形式的分析，以及心智提供基本真理的普遍观点却具有经久不衰的影响力。

在克罗内克看来，像康托尔和戴德金通过一个一般集合论得出的普通整数的复杂的逻辑推导，比直接接受整数还不可靠。因为在直观上这是清楚的，而且无需更可靠的基础。除整数外，所有的数学结构必须建于具有清楚意义的术语的基础之上。P233

彭加勒和克罗内克一样，认为不必定义整数，或在公理基础上构造它们的性质。因为我们的直觉先于这一结构而存在。彭加勒还认为，数学归纳法并不真正保证结论的普遍性和新结果的产生，它听起来是直觉的，但却不能把这一方法归结为逻辑。P234

随后，彭加勒批评了库蒂拉关于数1的定义。库蒂拉说，1就是任何两个元素都相同的类的个数。“但是，如果我们问库蒂拉，2是什么时，恐怕他又不得不使用1了”。P235

布劳维在数学上的直觉主义立场来源于他的哲学。数学是起源和产生于头脑的人类活动，它并不存在于头脑之外，因此，它是独立于真实世界的。头脑识别基本的、清晰的直觉，这些直觉不是感觉或经验上的，而是对某些数学概念直接的确定，其中包括整数。基本的直觉是对一个时间序列中的不同事件的确定，“当时间进程所造成的贰性（twoness）的本体，从所有的特殊事件中抽象出来时，就产生了数学。所有这些贰性的共同内容所留下来的空洞形式就变成数学的原始直觉，并且由无限反复而产生了新的数学对象。”

布劳维认为数学思维是智力构造的一个过程，它建造自己的天地，独立于经验，并且只受到必须建立于基本的数学直觉之上的限制。这种基本的直觉概念不应被理解为像在公理理论中的那种未下定义的概念，而应设想为某种东西，只要它们在数学思维中确实是有用的，用它就可以对出现在各种数学系统中的未下定义的概念做出直观上的理解。另外，数学是综合的，它包含的是真理而不是推导出逻辑的隐含意义。

布劳维认为“要在这个构造过程中发现数学唯一可能的基础，必须再三思考，反复斟酌：哪些论点是直觉上可接受的，头脑中所自明的；哪些不是。”是直觉而不是经验或逻辑决定了概念的正确和可接受性。当然，必须记住，这一陈述并未否认经验所起的历史作用。

除了自然数以外，布劳维坚持认为加法、乘法和数学归纳法在直觉上是清晰的。而且，当头脑已获得自然数1,2，3……的概念后，使用“空洞形式”无限重复的可能性，从n到n+1的步骤，就产生了无穷集合。然而，这种集合只是潜无穷，因为对于任一给定的有限数集，总可以加入一个更大的数。布劳维否定了康托尔的所有元素都“一下子”出现的无限集，并因此否定了超限数理论、策梅罗的选择公立以及使用了真正的无限集的那部分分析。P237

布劳维接着讨论了数学与语言的关系。数学是一个完全自足的活动，它独立于语言，措辞和语言表达只是为了阐述真理，数学思想更深地扎根于人脑中而不是在语言中。数学直觉的世界与感知的世界相对，语言作为理解一般事物的工具存在于后者中，而不是数学中。语言通过符号和声音唤起人脑中思想的摹本，其区别类似于爬山的运动与用语言来描述这一行动之间的区别。但是数学思想不依赖于语言的外衣，并且事实上要更为丰富。就算采用了包括符号语言的数学语言，思想也无法被完全地表述出来。此外，语言与真正数学的主旨也是大相径庭的。

更有意思的是直觉主义关于逻辑的立场，这一点在它反对逻辑主义时尤为突出。逻辑属于语言，它提供了一套规则体系，用以导出更多的词语关系，这也是为了交流真理。然而，这里所说的真理在被从直觉上领悟之前并不是真理，而且也并不能保证它一定能被领悟到。逻辑并不是发现真理的可靠工具，用别的方法不能得到的真理，逻辑也一样不能推导出来。逻辑的原则是在语言中归纳观察到的规律性。它们是运用语言的一种手段，或者说，它们是语言的表现理论，逻辑只不过是一座宏伟的语言大厦。数学上最重要的进展不是通过完善逻辑形式而是通过变革其基本理论来得到的，是逻辑依赖于数学，而不是数学依赖于逻辑。逻辑远不如我们的直觉概念可靠，数学也并不需要逻辑来保证。历史上，逻辑原理是从有限的物体集合的经验中抽象出来的，而又符合一个先验的有效性，于是，也就适用于无限集合了。

由于布劳维不承认任何先验的，有约束力的逻辑原理，也不承认这种从公理推导结论的数学工作，因此他拒绝接受19世纪后期的公理化运动和逻辑学派。数学不受逻辑规则的限制，懂得数学并不需要懂得形式的证明，由于这一原因，那些悖论变得无足轻重。悖论是逻辑而不是真正的数学的缺陷，因此，相容性这个魔鬼没有任何的意义。相容性肯定是正确思想的结果，这些思想是有意义的，其正确性可以通过直觉来判定。

然而在逻辑的领域中确有一些清晰的、直观上可接受的逻辑原理或程序，它们可以用来从老定理中确定新定理，这些定理是基本数学直觉的一部分。可是并非所有的一般逻辑原理都可被基本直觉所接受，我们对从亚里士多德时代以来就被接受的逻辑原理必须要有所判别。数学家们一直是过于随便地使用着有限制的亚里士多德法则，以至于导致了自相矛盾。直觉主义者会问，在处理数学结构时，如果偶尔忽略了直觉而工于语言结构，那么什么又是允许的或安全的呢？

因此，直觉主义者们对哪些逻辑原理是允许的进行了分析，以使通常的逻辑与正确的直觉一致并能使它正确地表达出来。布劳维引用了排中律——这个被用得过于随便的逻辑原理为例。这个原理在历史上起源于推理在有限集合上的应用，并由此抽象而来。它肯定两个有意义的断言或真或假，后来它就被认为是一条独立的、先验的法则，并且不加证明地被应用到无穷集合上去了。对于有限集可以通过检验每一个元素来判断是否所有的元素都具有某个特定的性质，而对于无限集合这个规则则不可实现。我们可能碰巧得知一个无限集合中的某个元素不具有这个性质，或者通过构造某种集合得知或证明每个元素不具有这个性质。但无论如何，我们都不能用排中律来证明这个性质是成立的。

这样，如果有人证明了在一个无限整数集中，不是所有的元素都是偶数，而得到至少存在一个奇数的话，该结论将被布劳维所否定，因为这一论证把排中律应用于无限集合。但是，此类论证在数学实体的存在性证明中被广泛地采用，例如在证明每个多项式方程都有一个根中就用到了它，因此许多存在性证明是不为直觉主义者所接受的。他们说，这样的证明对假定存在的实体来说太模糊了，排中律只可用于有限集合的情况。因此，对于一个有限整数集，如果证明了不是所有的元素都为偶数，那么就可以得出至少有一个为奇数的结论了。

魏尔对直觉主义关于逻辑的观点做了如下扩充：

根据他（布劳维）的观点和对历史的知识，经典的逻辑是从有限集及其子集的数学中提取出来的。……忘记了这一有限的起源，人们就会错误地把逻辑看作是高于并且先于全部数学的某种东西，从而最终不加证明地将其应用到无限集合的数学中去。这是集合论的堕落和原罪，而悖论的出现就是其应受的惩罚。令人惊讶的不是这种矛盾的出现，而是矛盾出现得如此之晚。

后来魏尔又补充道，“排中律可能对上帝来说是有效的，他能够一下子检查完自然数的无穷序列，而对于人的逻辑，这一点却是做不到的。”

布劳维在1923年的一篇论文中给出了一些定理的例子。如果我们否定排中律在无限集合上的应用，那么这些定理就是不成立的。尤其是波尔查诺—维尔斯特拉斯（Bolzano -Weirstrass）定理——每个有界无穷集有一极限点——是不能证明的。闭区间上连续的函数存在极大值也是不能证明的。还有海涅—鲍莱尔（Heine-Borel）定理，即从任一个包含或覆盖一个点的区间的区间集中可选出有限个覆盖该区间的集，也遭到了否定。当然，这些定理的推论也是不可接受的。

除了反对不受限制地使用排中律来建立数学实体的存在以外，直觉主义者还提出了另一要求。他们反对用所有元素的属性来定义集合，例如，用红色这个属性来定义集合。直觉主义者认为适于进行数学讨论的概念或对象——确实存在的对象——必须是可构造的：也就是说，必须给出一种方法来在有限步骤内举出一个或多个实体，或者一种能将其计算到任意精度的方法。这样，π是可以接受的，因为我们可以把它计算到任意小数位。如果只是证明了存在整数x、y、z、n满足在n≥2时，xⁿ＋yⁿ＝zⁿ ，但并未将这些数具体化，那么，直觉主义者是不会接受这一证明的。另一方面，素数的定义是构造性的，因为可以用有限的步骤确定一个数是否为素数。

用选择公理构造无穷大的集合也是不被接受的。上面的一些例子说明：有些存在性证明不是构造的。因此，除了它们可能用了排中律以外，还有其他的理由来拒绝接受它们。

魏尔认为，非构造性的存在证明告诉世人宝藏的存在，但并未说明其他点。当用这样的证明来代替构造性证明时，其重要性和价值不可能毫无损减。他还指出，坚持直觉主义哲学意味着放弃经典分析的基本存在定理。魏尔称康托尔有关超限数等级的论述有如雾中之雾。他在《论连续》（1918年）中写道，分析是建立在沙地上的楼阁，只有由直觉方法建立起来的东西才是确定的。

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