数学：确定性的丧失（四）

柯西，最伟大的数学家之一，在19世纪初创立了复变函数理论，也不同意把表达式α＋b√–1 当作数。在他的名著《分析教程》（1821年）中，柯西认为将这些表达式作为一个整体是毫无意义的。然而，它们还是说明了实数a、b的一些情况。例如，由方程 α＋b√–1＝c＋d√–1 ，可推出a=c，b=d，“每一个虚数方程仅仅是两个实数方程的符号表达式”。1847年，晚年的柯西又提出了一个相当复杂的理论，可以用来判断用复数进行运算是否正确。但没有使用 √–1 ，对此，他说：“我们可以毫无遗憾地完全否定和抛弃一个我们不知道它表示什么，也不知道应该让它表示什么的数。”P153

换句话说，数学家们是在贡献概念而不是从现实世界中抽象出思想，究其成因，他们是将感性知识转变为理性知识。由于这些概念被证明越来越实用，数学家们起初还忸怩作态，后来就变得肆无忌惮了，久而久之，人们也就认为这是无可指责且理所当然的了。从1700年起，越俩越多的从自然中提取和在人思想中产生的观念进入数学领域并几乎被毫不怀疑地接受，由此引起的不良后果终于促使数学家们不得不从现实世界之上去审视他们的这门学科。

因为他们没有认识到新概念特征的变化，他们也没有认识到他们所需要的是公理化发展的基础，而不是那些自明的真理。当然，新概念要比旧概念精致得多，而且就我们目前所了解的情况看，合适的公理基础并不容易建立。

那么，数学家们如何知道他们该往何处去呢？同时，考虑到他们的证明传统，他们怎么敢只用规则就能保证结论的可靠性呢？毫无疑问，解决物理问题就是他们的目标，一旦物理问题被数学公式化后，就可利用精湛的技巧，从而新的方法和结论就出现了。数学公式的物理意义引导着数学的步骤，也经常给数学步骤提供部分论据，这个过程在原理上同一个几何定理的论证没有什么差别。在证明几何定理时，对图形中一些显而易见的事实，尽管没有公理或定理支持它们，还是被利用了。P166

到1800年，较之于逻辑合理性，数学家们更热衷于结果的确定性。P168

他们认识到数学并不像过去所认为的是推理的典范，不过是用直觉，几何图形，特别是形的永恒性原理之类的原理和求助于被证明可以接受的形而上学来取代推力而已。P169

这样，借助魏尔斯特拉斯的工作，戴德金和康托尔终于证明出√2√3＝√6 。P177

帕斯卡说过“所有超越了几何的都超越了我们的理解力”，1900年时，数学家们更愿意说：“所有超越了算术的都超出了我们的理解力”。

两千多年来，被数学家们占据了一席之地的知识界一直接受亚里士多德的逻辑。不错，对一切信仰及教条提出质疑的笛卡尔确实提出过我们总能知道逻辑原理是否正确这一问题。他的回答是，上帝不会欺骗我们。这样，他就为我们拥有这些原理的正确性找到了一个合理的辩护。P180

虽然到1900年，大多数的数学家们仍继续用符合非正规的口头表述的亚里士多德的原理来进行推理，但他们也开始用一些其他并未被亚里士多德接受的原理。他们并未严格检验自己的逻辑原理，而是自认为他们使用的是合理的推理逻辑，实际上，他们使用的原理直觉上是合理的，但并不是准确的逻辑原理。

当大多数的科学家全神贯注于数学的严格化时，有一部分人开始探讨当时所使用的逻辑。下一个大的发展当归功于布尔（George Boole），一位爱尔兰科克王后学院的数学教授。

布尔的工作无疑是受到皮科克、格雷戈里和笛·摩根代数观点的启发。虽然他们的型的永恒性原理并不能真的证明代表实数、复数的文字系数的算术运算的正确性，但他们可能是无意识地采纳了这样一个新的代数观点，即符号和运算可用来表示任何事物，并且哈密尔顿在四元数上的工作（1843年）也的确表明，其他的代数也是可能的。布尔1848年在一篇文章中综述了他称之为算子演算的代数推理。注意到这样一种观点，即代数不只是处理数，且代数的定律也不一定是实数和复数的定律。在他的《逻辑的数学分析》（1847年）的开篇他讲到这一点，并提出了一门逻辑代数。他的主要著作是《思想规律的研究》（1854年）。布尔的主要观点没有莱布尼茨的野心勃勃，但更贴近于莱布尼茨的推理演算，即现存的推理规则可以由符号形式来表达，这样可以严密化并促进现存逻辑的应用。在他的书中，他这样叙述道：

下列论文的目的是为了研究思维运算的基本规则，推理正是依据这些规则而完成的。给出演算的符号语言表示式，并在此基础上建立逻辑科学和构造它的方法。

布尔也考虑了在思维中的特殊应用，例如，概率律。

符号化使科学家们受益无穷。在证明过程中，人们可能由于无意识地引入了并非自己所指的意义或使用了不正确的演绎原理而出现错误。P182

弗雷格还将一个更广泛的蕴涵概念，称为实质蕴含形式化，它的字面形式上的表达将追溯到墨伽拉的菲罗（Philo of Megara）。逻辑处理关于命题和命题函数的推理，这一过程中蕴涵是最重要的。如，我们知道约翰是一个聪明的人，而聪明的人长寿，那么可以推导出这样的蕴涵：约翰将长寿。

实质蕴涵与通常使用的蕴涵有所不同。当我们假定，如，“如果下雨，我将去看电影”，两个命题间不仅有一定的关系，而且是蕴涵关系。即若前提“天下雨”成立，则结论“我去看电影”必然成立。而实质蕴涵的概念允许p和q，即前提和结论，可以为任何命题。命题之间不必存在因果关系或其他任何联系。可以这样说“如果x是一个偶数，我就去看电影。”而且，实质蕴涵允许甚至当x是一个偶数为假时，结果也成立。即“若x不是偶数时，我们将去看电影。”更进一步，它允许蕴涵“若x不是偶数时，我将不去看电影”。这个蕴涵仅当x为偶数而我没有去看电影时为假。

从形式上来说，若p和q均是命题，若p为真，蕴涵“p蕴涵q”当然意味着q为真。但是，实质蕴涵允许，其至p为假时，无论q真假与否，蕴涵“p蕴涵q”都是真的。只有当p为真而q为假时，这一蕴涵为假。这一蕴涵观点是通常意义的延伸。不过这一延伸并不造成任何伤害，因为我们只有当知道p为真时，才用“p蕴涵q”，而且，实质蕴含同日常用法有某些相通之处。考虑这一论断：“若哈罗德今天发工资，他将购买食品”。这里，p是哈罗德今天发工资，q是他购买食品。现在他可能仍在购买食品，即使他今天没有发工资。因此，我们把p为假q为真的情况纳入合理蕴涵，当然，这一结论不为假，相似地有，“若哈罗德今天没有发工资，他将不购买食品”也不是假命题。作为另一个，最后一种情况的最好例子，莫若“若木头是金属，则木头是可锻造的。”我们知道两个命题都是假的，而蕴涵是真的。因此，我们把p为假而q为假的这种情况也包含在作为p蕴涵q的正确情况。概念的重要应用是能从p的真实性以及p蕴涵q的蕴涵中判断q，当p为假时的扩展在符号逻辑中是方便的，且最有效的。

但是，由于无论q为真或假、p为假都蕴涵q，实质蕴涵也就允许一个错误的命题蕴涵任何命题。对于这一“缺陷”，有人会反驳说，在一个正确的逻辑系统和数学中，假命题是不应当出现的。不管怎么说，对实质蕴涵的概念一直存在反对意见。例如，彭加勒用这样的事例嘲笑它，说有些学生在考试中用错误命题得出了正确命题。但是，尽管在这一概念上还需做更大的努力，实质蕴涵现在成了一种规则，至少在符号逻辑中是作为数学基础使用的。P187

皮亚诺不仅将符号逻辑用于逻辑原理，而且用于数学公理的表达式，并且用符号逻辑原理操作符号公理进行定理的推导。他明确而坚定地认为，我们应当放弃直觉，而这只有用操作符号运算才能做到，符号避免了普通词语间直觉联系带来的危险。

从布尔、施罗德到皮尔斯、弗雷格，逻辑中的变革组成了数学方法的应用：符号系统和从逻辑公理中得到逻辑原理的推导证明。所有的这些关于形式逻辑或符号逻辑中的工作吸引了逻辑学家和数学家，因为符号的使用避免了心理上、认识上、形而上学的意义和暗示。P188

鉴于以后我们将涉及数学的逻辑结构，在这里让我们强调一点，数学和逻辑的严格化是首先由欧几里得通过公理途径达到的。这一方法的一些特色在19世纪的公理化运动中愈来愈清晰，让我们回顾一下它们。

首先是定义概念的必要性。因为数学独立于其他学科，所以定义也必须用其他的数学概念来说明。如此，这一过程将导致定义的无限循环。解决这一问题的方法是基本概念必须是不加定义的。那么怎么用它们呢？又怎么知道对于他们可以断言哪些事实呢？答案在于公理确定了未定义（已定义）概念，告诉我们什么可以判定。这样，如果点和线未定义，则两点确定一条直线的公理和三点确定一个平面的公理，可以用来推导关于点、线、面更进一步的结论。尽管亚里士多德在他的《工具论》、帕斯卡在他的《几何精神论》中，以及莱布尼茨在《单子论》中都强调了未定义概念的必要性，但数学家们还是忽视了这一事实，结果给出了许多毫无意义的定义。格高尼（Goseph-Diaz Gergonne）早在19世纪初即指出公理将告诉我们对未定义的概念可以做出什么样的结论；它们给出了所谓的隐含定义。知道1882年帕斯再一次强调未定义概念的必要性，数学家们才开始严肃地考虑这一问题。

任何演绎系统一定包括未定义概念，其能翻译成满足公理的含义，这一事实给数学家们引入了一个新层次的抽象。这一点早被格拉斯曼在他的《线性扩张论》（1884年）中提出。他指出几何当不同子物理空间的研究，几何是一个纯数学结构，可以运用于物理空间，但不拘于这一解释。后来，公理的研究者们：帕斯、皮亚诺和希尔伯特，强调了这种抽象性。虽然帕斯明白存在未定义概念且只有公理限制它们的意义，但他只在头脑中构造几何。皮亚诺洞悉帕斯的研究，在他1889年的文章中更清楚地认识到许多其他的解释也是可能的。希尔伯特在《几何基础》（1889年）中指出，虽然用的概念是点、线、面等，但如果它们遵从所涉及的公理的话，可以是啤酒杯、椅子或任何物体。演绎系统多种解释的可能性实际上是非常有益的，因为它允许更多的应用，但我们将发现它也引起一些令人困扰的结果。

帕斯通晓现代公理体系，他提出的观点的意义在19世纪末显然未被接受，即必须建立公理集合的相容性，也就是说，它们不会导致矛盾的定理。非欧几何中相容性问题曾出现，但已被满意地解决了。但是，非欧几何仍令人感到奇怪。对一些基本的分支，像整数理论或欧氏几何，任何关于相容性的疑问看上去是不切实际的。不管怎么说，帕斯认为这些公理系统的相容性应该建立起来，弗雷格附和他这一观点，他曾在《算术基础》（1884年）中写道：

把一个单纯的假设当作自己的结果来着手处理问题是很普遍的，我们假设在任何情况下，执行减法、除法、开方的运算都是可能的，而且认为我们已经作了足够多的这种运算。但是为什么我们不假设所有的加法、乘法定律在三维复数系统中会像在实数中一样成立？因为这些假设包含着矛盾。如这样我们首先要做的是证明我们的其他假设不包含任何矛盾，直到我们做了这一切，像我们希望的，严格才不会是空想。

皮亚诺和他的学派也在19世纪90年代开始比较严肃地对待相容性问题。皮亚诺相信建立相容性将很容易。

数学的相容性很可能在希腊时代就被怀疑，为什么到19世纪末它才得以显露？我们已经注意到，非欧几何的创立迫使人们意识到，数学是人为的，只是对现实世界的近似描述，这种描述是相当成功的，但从反映宇宙的固有结构而言，它并不是真理，因而不必是相容的。实际上，19世纪末的公理化运动使数学家们认识到数学和现实世界间有一条壕沟，每个公理体系都包含未定义概念，其属性在这些公理意义上是明确的。但这些概念的意义并不固定，虽然我们头脑中直觉地具有数、点及线的概念。值得肯定的是，公理是用来确定属性，从而使这些概念确实具有我们本能地与之联系在一起的属性。但是我们确实做到了这一点吗？我们能确保没引入一些想要的属性或蕴涵，而导致了矛盾吗？P190

彭加勒在他的数学哲学中也抱怨道：“在以前，新的函数引进时，目的是为了应用它们。今天却恰恰相反，构造函数是为了证明前人的错误，而本身毫无半点用处。”

严密化工作揭示了数学创造的另一面。严密化满足了19世纪的需要，而最后的结果也告诉了我们关于数学发展的一些事实。新建立的严密结构也许保证了数学的正确性，但这一保证几乎毫无必要。算术、代数、欧式几何中没有一个定理因此而改变，而分析的定理只是比以前要更仔细地表述了。于是，想用一个连续函数的导数时必须假设其是可导的。事实上，所有的这些新的公理化结构和严密所做的无非是证明了数学家所知道的那些东西确实是那样的，确实，这些公理只能产生现存的这些定理而非其他。因为这些理论整体来说是正确的。所有的这些意味着数学并非建立在逻辑之上而是建立在健全的直觉之上。严密化正像阿达马指出的那样，仅仅是对直觉承认的东西加以确认，或者如魏尔所说，逻辑是数学家们想要保证思想健康和强壮的卫生手段。P193

到1900年，数学家们认识到他们不能再依赖于数学物理真实性来肯定它的相容性。P197

笛卡尔说过：“无穷可以被认知，但不能被理解。”P200

罗素本人并没有做这样的区分，他确信所有悖论都产生于一种他称之为恶性循环原理的谬误，他这样描述道，“凡涉及到一个集的整体的东西必不能是该集中的一部分”，换句话说，如果定义一组元素的集而又必须用到该全集自身，则这定义是毫无意义的。这个解释是罗素在1905年给出的，彭加勒在1906年接受了它，他还杜撰了“非断言定义”这一术语，即一个要定义的对象是用包含这个对象在内的一类对象来定义的，这种定义是不合逻辑的。P207

正如过去多次发生过的一样，数学家们先是无意识地使用了某条公理，后来才不仅意识到了正在使用它，而且还得去考虑接纳这样一条公理的基础。P210

真正的无限集是不是一个合理的概念？P216

莱布尼茨没有将由逻辑推出数学这一工作继续下去，在差不多200年的时间里，其他持有相同见解的人也没有做这件事，例如，戴德金直截了当地肯定，数不是由时间和空间的感觉得来，而是“一种纯粹思维规律的直接产物”。有了数，我们才有时间和空间的精确概念。他开始发展这一论点，但也没有继续下去。P217

本世纪初，罗素和弗雷格一样，相信如果数学的基本定理能由逻辑推出，则由于逻辑一定是个真理体系，那么这些定理也是真理，相容性的问题也将得到解决。在《我的哲学发展》（1959年）中，罗素说，他试图得到“一种完美的数学，它是无可质疑的”。

而在本世纪初，罗素还确信逻辑原理是真理因而是相容的，怀特海（Whitehead）则在1907年提醒道：“不可能有关于逻辑前提本身的相容性的形式的证明。”

在许多年里，罗素一直相信，逻辑原理和数学知识的实体是独立于任何精神而存在并且仅为精神所感知的。这种知识是客观的，永恒的，这一立场在他1912年的著作《哲学的问题》中给予了明确的阐述。P219

在命题之间最重要的一种关系是蕴涵，即一个命题的真强制着另一个命题的真。在《数学原理》中，定义了蕴涵，记为⊃ ，它与弗雷格的实质蕴涵意义相同，即 p ⊃ q 就是若p为真，则q必真；而若p为假，则不论q为真或假都有 p ⊃ q ，即一个假命题蕴涵任意命题，蕴涵的这一定义至少与可能发生的事是相容的。因此，若a是偶数为真，则2a必为偶数，而若a是偶数为假，则2a可能为偶数或者（当a是分数时）2a可能不是偶数，由假命题，a为偶数两个结论都可得到。P221

我们必须着重指出的是，逻辑派在数学上的工作，就是要把数学奠定在逻辑的基础上，不需要任何数学公理，数学不过是逻辑的主题和规律的自然延伸。P224

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