毕达哥拉斯和柏拉图的数学

对希腊哲学有所了解的人可能会说，柏拉图不是第一个重视数学的人，毕达哥拉斯才是把数学运用到哲学的第一个希腊哲学家。

这个说法，也对，也不对。

首先我还是回过头来介绍一下毕达哥拉斯这个人。

毕达哥拉斯

毕达哥拉斯和孔夫子是一个时代的人，比柏拉图早了近一个世纪。他是爱琴海上萨摩斯岛人，这个岛就在小亚细亚沿海，所以毕达哥拉斯很可能和泰勒斯的学派还有赫拉克立特有交流，开始思考万物本原的问题。他游历了很多地方，包括埃及、腓尼基、波斯、克里特，或许还去过巴比伦，学到了东方的智慧和数学天文知识。后来他跑到了意大利南部的希腊殖民地，在那里成立了自己的学派。有人说，毕达哥拉斯是一个宗教改革家，改良了当时希腊叫做俄耳甫斯教的教派，把灵魂不灭、投胎转世和数字神秘主义引入了宗教。更可靠的证据表示，毕达哥拉斯关于灵魂不灭和投胎转世的观念来自埃及，而数字神秘主义则是他的弟子们建立的。

对很多中国人来说，毕达哥拉斯大概是一个陌生的名字，然而这人在西方可谓家喻户晓，因为西方把勾股定理称为毕达哥拉斯定理，这是中学数学都要学习的内容（我们国家应该是小学里就收拾了勾股定理了）。

据说这个定理最早是由毕达哥拉斯严格证明的，为了庆祝证明勾股定理，那位老兄还杀了一头牛庆祝，后来的故事升级成他杀了一百头牛庆祝。毕达哥拉斯生活在公元前6世纪到前5世纪，和孔夫子同一个时代，而杀牛的故事是公元5世纪东罗马的哲学家普罗克洛写的，前后差了一千年，所以十有八九就是个地摊段子。

直角三角形的三条边长如果是整数，被称为一组勾股数。典型的勾股数组就是3，4，5。从文献来看，保留至今最早对勾股数的讨论来自于近4000年前的古巴比伦，至于巴比伦人如何得到各种勾股数就不得而知了。巴比伦人还得出了12709，13500，18541这样的“巨型”勾股数，这些勾股数总不可能是瞎凑出来的，必然有一套构造法的流程。第一个流传下来的严格证明，是公元前300年前后欧几里得编撰的《几何原本》里给出的证明。勾股定理的证明足足有好几百种，而留存至今中国人最早给出的证明来自于三国时期的吴国人赵爽。

和泰勒斯是“哲学第一人”一样，毕达哥拉斯被传统的西方文明认为是数学证明的第一人，证明了勾股定理，其实是没有什么根据的事，就算不是以讹传讹，也没有任何直接的史料支持。

毕达哥拉斯的数学学派

但是话又说回来，希腊人对勾股定理严格证明的时间，不会晚于柏拉图，极有可能是由毕达哥拉斯的弟子们证明的。毕达哥拉斯死后，他的一些弟子们成立了一个“数学学派”（后面皆称为“毕达哥拉斯学派”）。这个学派很有意思，别的哲学家把宗教哲学化，这个学派直接把数学宗教化了，或者更准确的说，是把数字给宗教化了。

占星学家和算命师很喜欢把数字乃至于图形宗教化，总说这个数那个数有着神秘的意义。直到今天，我们还是喜欢说幸运数，中国人不喜欢4，14，西方人不喜欢13。这套思路的祖师爷就在毕达哥拉斯学派那里。

毕达哥拉斯学派的名言是：“万物皆数”。这里的数是指整数。比如1代表元一，2代表矛盾对立，3是三角形，构成万物，4代表正义，诸如此类，这是典型的数字神秘主义。另外，事物之间的关系可以由整数之间的比例表示，或者说由一个有理数表示。比如，各种音符的琴弦长度之间的比，就是整数比（有点像中国古代的十二律），星球半径之间的比，也是整数比。

T₁＝1、T₂＝3、T₃＝6、T₄＝10、T₅＝15、T₆＝21

据说，“万物皆（整数和有理）数”的理论一度出现了破绽。该学派内部有人发现，根号二不能表示成任何整数的比，所以不是所有的事物都和有理数联系在一起。按照我们今天的话说，根号二是无理数。据说无理数的发现导致了历史上的第一次数学危机，发现这个秘密的人被他的师兄弟姐妹们扔到了大海里，毕达哥拉斯学派也不得不为自己的理论打上了补丁。这个故事和和毕达哥拉斯杀牛的故事一样，可信度为零，不过倒是很好的可以激发中学生们爱好数学的趣味读物。

柏拉图数学建模的特殊意义

说了半天，是想说一点，毕达哥拉斯和他之后的数学学派通常被认为是把数学引入哲学和宗教的始祖。从这点意义上来说，毕达哥拉斯的确早于柏拉图强调数学的重要性。

但是，柏拉图关于四元素建立数学模型，比起毕达哥拉斯来说，有着更为先进的意义。

柏拉图把数学当做工具，而不是直接把数学和数字宗教化。他用数学模型来糅合当时的各种学说，可谓是当时的“大统一理论”（物理学家很喜欢这个词）。

我们来看看柏拉图的数学建模到底串起了多少他之前的学说。

第一，毕达哥拉斯学派的学说。

前面说到，毕达哥拉斯学派认为三角形构成了宇宙万物，更进一步的，由于该学派对勾股定理的热爱，认为宇宙万物都是由直角三角形构成的。事实上，通常认为柏拉图《蒂迈欧篇》的主角蒂迈欧的人设就是毕达哥拉斯学派的数（哲）学家，所以柏拉图借着蒂迈欧讲话，从直角三角形出发，来构成四种正多面体，而把四种正多面体和四种元素联系起来。

第二，恩培多克勒的四元素说。

恩培多克勒认为四种元素相互独立，每每不同，没有优先，也没有高于这四种元素的另外高级别的物质存在。但是恩培多克勒和他之前的哲学家们只能絮絮叨叨地进行各种文字描述，柏拉图却说，你们不要吵了，我用几何学可以解释四种元素。

第三，古希腊当时的原子论。

原子论是一个叫做德谟克利特的色雷斯人提出来的。亚里斯多德把原子论的功劳也加在了德谟克里特的老师留基伯身上。既然万物起源不是“一”，那么凭什么万物来自四种元素？为什么万物不能来自更多的元素？事实上，有希腊哲学家外推到极限地说，万物来自无穷种元素！原子论为了协调一和多，认为万物都是由看不见的小微粒构成的，微粒占有体积，而微粒和微粒之间都是绝对的虚空。这些微粒被称为原子。原子在虚空中的运动和聚集产生万物。

也有人认为原子论起源于印度，因为印度的哲学里也有原子论的学说，据说德谟克里特曾经去过印度。关于原子论我们后面还会展开说。德谟克里特并没有说明，世界上到底有多少种原子？ 当然也有可能德谟克里特说过，只是没有流传至今。他是柏拉图的同时代人，比柏拉图年长几十岁。他写过很多的哲学和数学作品，是柏拉图很大的竞争对手，据说柏拉图很想烧掉德谟克里特所有的作品——果然德谟克里特到现在一部作品也没有留下来。

柏拉图虽然厌恶德谟克里特，但是他接过老德的原子论模型，认为原子微粒只有四种，而四种原子构成了四种元素，这是把元素说和原子论结合在一起了。在今天看来，柏拉图具有相当伟大的洞察力，因为我们现在也知道元素周期表上的元素是由基本粒子构成的。

用数学模型把各种学说统一起来，这是柏拉图的壮举，而不是毕达哥拉斯的壮举。这使得柏拉图哲学有着与众不同的特色。哲学家不再只是单纯地用语言描述和文字辩论，数学模型也可以拿来研究哲学问题！从这个意义来说，柏拉图的数学模型，要比毕达哥拉斯的数学神秘主义影响深远的多。

现在的科学总喜欢搞数学建模，为自然建立一套数学规律，这套思路的祖师就是柏拉图。

再说几句数学

谈到希腊数学，忍不住想多说几句。

柏拉图虽然没有自己的数学发现（只有五种正凸多面体不是他证明的），但是他特别强调数学的地位。去掉了数字的神秘主义后，古希腊数学主要表现为算术和几何。和柏拉图同时代的一位留学埃及的大数学家欧多克索斯把算术几何化，用比例论的方式构建了无理数的理论，解决了毕达哥拉斯学派无法解决的无理数的数学基础。从此，几何学占据了希腊数学的主导地位，而几何学的公理化建设和理论构建的巅峰之作，便是公元前300年左右亚历山大港数学家和天文学家欧几里得撰写的《几何原本》。

明朝的徐光启在传教士利玛窦的帮助下，翻译了欧几里得《几何原本》前六卷，徐在《几何原本杂议》中写道：

“闻西国古有大学，师门生常数百千人，来学者先问能通此书，乃听入。何故？欲其心思细密而已。其门下所出名士极多。”

有一个很著名的故事说，柏拉图让人在自己开设的学园门口立下了个大牌子，写着：“不通几何者，禁止入内”。所以，徐光启所说的西国古大学，就是柏拉图学园。这个故事一定是传教士利玛窦告诉他的。

不过利玛窦和徐光启有一点搞错了，柏拉图不是说不通《几何原本》者不得进入他的学园，而是不通几何者不得进入。欧几里得和他的《几何原本》，要等到柏拉图死后70多年才出现。

柏拉图的弟子里有不少当时一流的数学家和天文学家。前面提到柏拉图同时代的、以研究无理数、穷竭法、比例论和建立行星天球模型而留名青史的大数学家欧多克索斯，曾经师从柏拉图，并在雅典具有很大的影响力。柏拉图的弟子里，还有研究水星、金星运动的天文学家赫拉克立特（不是前面提到的以弗所哲学家赫拉克立特）， 研究大数理论和排列组合的学园第三代掌门人色诺克拉底。一群喜爱数学和天文的人和哲学家同在一个屋檐下，哲学被数学建模也不难理解了。

柏拉图最出名的学生自然是亚里士多德。这位老兄虽然也谈论数学，但是他本质上是一个博物学家。由于不同意柏拉图的学说，或者由于别的原因，亚里士多德退出了柏拉图学园，另起炉灶。

亚里斯多德的自然哲学没有几何学的建模，又回到了文字讨论的老路上。柏拉图热爱数学的传统在柏拉图死后也很快地从雅典消失，数学的大本营重新回到了埃及。

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