数理逻辑-余俊伟（完结）

第6章 模态逻辑

6.1 现代模态逻辑的产生背景

刘易斯发展了严格蕴含逻辑系统系列，期待克服实质蕴涵的“不符合日常蕴涵的意义”缺点，避免实质蕴涵怪论。根据上面刘易斯的分析，p 严格蕴涵 q 相当于 p 实质蕴涵 q 是必然的，于是研究“必然”算子。这类语词在语言学上属于情态词。逻辑学 称之为模态词，称含有模态词的命题为模态命题。模态命题表达了说话者的断定语气的 强弱。“必然”表达的语气显然强于“可能”所表达的。我们把不含模态词的语句的情态 称为实然，其强弱程度居于“必然”与“可能”表达的情态之间。模态逻辑就是研究模 态命题逻辑特性的逻辑理论。

我们很难说清楚含有多个模态词叠置或嵌套而得到的模态命题的涵义。我们也无法准确说出模态词与其他命题 联词或量词组合的涵义。1950 年代前后，由卡尔纳普、欣提卡、克里普克等人开创的可 能世界语义学解决了此问题

6.2 模态命题逻辑简介

6.2.1 语法

区分四种公式：

(1) 原子公式：命题变元是公式； (2) 否定式：如果 φ 是公式，那么 (¬φ) 也是公式； (3) 蕴涵式：如果 φ, ψ 是公式，那么 (φ → ψ) 也是公式； (4) 必然式：如果 φ, ψ 是公式，那么 (✷φ) 也是公式。

6.2.2 语义

定义 6.2.4. 一个框架 F是一个二元组hW, Ri，其中，W 是一非空集，R 是 W 上的一个二 元关系。设 F = hW, Ri 是一个框架，F 上的一个模型 M是一个三元组 hW, R,Vi，其中 V 是从原子公式集到 ℘(W) 中的一个映射。 W 通常被称为可能世界集，其中的元素通常被称为可能世界。

6.2.3 常见模态命题逻辑及其公理化

框架有效最好地刻画了逻辑的普遍性。我们熟悉的许多语法推导规则，如 重要的分离规则、代入规则等都是保持框架类有效的。在模态逻辑中还有一条必然概括 规则，也是保持框架类有效的。

人们通常借助框架上的二元关系来界定框架类。常见的框架类包括自返框架类（由 所有自返的框架组成）、对称框架类、传递框架类等等。以上这些框架类交叉组合又可以 得到新的框架类，如自返且传递的框架类等等。由全体框架构成了最大的框架类。

6.2.4 模态逻辑量化及其哲学困惑

模态命题逻辑语言的基础上增加量词、谓词符号（或还增加等词符号、函数 符号及常项）及个体变元，就得到模态谓词逻辑的语言。相应地，在项的构成规则以及 公式的构成规则中增加量化公式（或还有等式），也可以在谓词逻辑的语言上增加模态 词而得到模态谓词逻辑的语言。

量化模态逻辑在哲学上有许多困扰，主要包括可能世界的本体论地位、跨世界的同 一性、对本质主义的承诺、有效性多元（逻辑多元）等等。

6.3 从逻辑到哲学

6.3.1 弗雷格的名称理论

名称的涵义理论主要有两个流派：以弗雷格、罗素为代表的摹状词理论，以穆勒、克里普克为代表的直接指称理论。摹状词理论认为表达式通常有涵义也有指称，专名、通名以及句子都是如此。直接指称理论认为专名只是指示词，通名也是如此。

弗雷格认为，外延逻辑学家“偏爱概念外延而反对内涵，因而有理由承认他们不把 词的涵义，而把词的意谓看作对于逻辑至关重要的东西”，对“外延逻辑学家做出重大让 步”，“大概我们就能断言，‘两个概念词所意谓的是相同的，当且仅当其从属的概念外延 重合’”。同时批评内涵逻辑学家“过于喜欢涵义”，“因为他们称为内涵的东西，即使根 本不是表象，也是涵义。他们没有想到，在逻辑中重要的不是在不考虑真值的情况下如 何从思想得出思想，他们没有想到，必须从思想进到真值，更普遍地，必须从涵义进到意谓；逻辑规律首先是意谓范围的规律，他们间接地才与涵义相联系”。

罗素消解摹状词的做法，是将一个包含如此这般的摹状词的 句子，可一般地（在他所说的摹状词的主要出现的情况下）理解为断言了存在唯一一个 如此这般的对象（如何如何），是将语句的预设直接写进语句里。这与弗雷格的主张不同。

罗素将知识分为亲知的与描述的。摹状词是一种典型地表达描述的知识的方式。 罗素将语言看作人们获取知识的方式，立足点是知识的学习者、接受者，是向群体累积 的经验学习的个体。个体学习新知时，对句子有非真即假的二分要求。而弗雷格作为现 代逻辑的创立者，其旨趣在于使用语言探索发现新知，使用语言描述所得到的关于世界 的知识。

6.3.2 克里普克模态逻辑及其名称理论

根据模态逻辑可能世界语义学，一事物在不同世界中虽然某些属性不同，但还是同 一事物。也就是，一个事物的某些性质变化不会影响其所是。这就需要一个符号去指称 该对象，当性质改变后，即处在另一个世界中，依然是该对象。克里普克将这类在所有 可能世界指称相同对象的符号定义为严格指示词，将指称发生变化的符号定义为非严格 指示词。克里普克还论证，自然语言中的专名通常是严格指示词。专名没有涵义仅有指 称。自然种名，如“黄金”“猫”“牛”等，更接近于专名，并且因其没有表达性质，故也更接近于严格指示词。

克里普克的名称理论突出了亚里士多德的实体理论中实体的地位。它与亚里士多德 的理论在专名与第一实体上是一致的，但在种名与第二实体上有区别。亚里士多德虽然 认为牛、猫为第二实体，但是，它们可以谓述他物。而克里普克认为种名没有涵义，也就无法在通常的意义上 谓述他物。克里普克为模态逻辑而提出的名称理论有与模态逻辑形式语义学相 冲突的危险。

6.3.3 模态逻辑与本质主义

亚氏四谓词理论即本质主义的开始。亚里士多德认为性质有本质与非本质之分，因而他是本质主义者。蒯因因此提出骑车人悖论，马库斯参与探讨。但该悖论不恰当。

我们认为量化模态逻辑承诺了本质主义。

从逻辑的角度看问题，总是舍弃内容而关注形式，以获得最广大的普适性。但 必然的本性根源于事物内部的特性，这造成了研究对象与研究方式之间的矛盾。

支持量化模态的逻辑学家都不自觉地对本 质主义持一种对立的态度。模态逻辑的一阶量化对于类的本质的承诺程度要小于对个体的本质的承诺。前模态逻辑的必然研究过度依赖外延的关系语义学，没有坦然接受本质主义，没 有借助内涵的手段，语义上对种名与其他谓词不做区分等，我们认为这些是造成当前量化模态逻辑的研究不够让人满意的重要原因。

(完)

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