追龟悖论

2500年前的芝诺系列悖论自问世以来，深深影响数学界、哲学界、逻辑学界至今。芝诺系列悖论中数追龟悖论的影响最大，哲学家、数学家们对此可谓人人皆知。对于追龟悖论的解释可谓见仁见智、横岭侧峰：有人说芝诺悖论是芝诺对运动连续性的分割导致的；有人说悖论是芝诺对时间空间的分割导致的；有人说追龟悖论说明微积分思想是错误的（作者观点见5.2.2）；有人认为芝诺悖论反映了离散连续的认识论矛盾，是真正的悖论；也有人认为追龟悖论成立与否与数学无穷观有关……

通过以上列出的五花八门的思绪可见，追龟悖论还是相当复杂的，值得每个爱思考的人去穷根问底。

一、追龟悖论大意

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄，一次他和乌龟赛跑，他的速度是10米/秒，乌龟速度是1米/秒，乌龟跑了100米后（位置标记为a点），他开始从后面追，芝诺认为他不可能追上乌龟。芝诺说：”当阿基里斯追到100米的一半50米位置点时，乌龟又向前爬了一段距离，到达了一个新的位置点a¹，而当阿基里斯追到他与a¹点间距的一半时，乌龟又向前爬了一段距离，到达了一个新的位置点a²，等阿基里斯追赶到他和a²位置点的一半时，乌龟又向前爬了一段距离……，这样，阿基里斯和乌龟之间总是有间距（见下图），乌龟总是在阿基里斯的前面，可见，阿基里斯是追不上乌龟的”。

芝诺悖论

二、作者基于运动追赶问题的三个默认前提对追龟悖论作出实事求是的反思

众所周知，速度不变前提下，速度快的运动体必定能在有限时间内追赶上速度慢的同向运动体，这是常识了。如果按芝诺给定的速度条件（阿基里斯速度是10，龟是1），阿基里斯必然能在有限时间内追上并超过龟的。那芝诺有何依据断言阿基里斯永远追不上龟呢？唯一的可能是芝诺对追龟过程的设计以及‘’解释‘’偷换了概念或改变了某些默认前提，‘’导致‘’了阿基里斯永远追不上龟。

10倍于龟速的阿基里斯真的永远追不上在他前方的龟吗？思考及回答这个问题显然要从给定条件以及一些未提出但应默认的前提条件入手。

芝诺给出的比赛信息是：阿基里斯的速度是10米/s，龟速度是1米/s，当龟在跑到距离起点一百米处时，阿基里斯开始起跑追赶龟。

除了芝诺给出的条件信息外，显然我们得提出三个与运动追赶问题有关的默认前提条件。1、二者必须同向、同线，即二者赛跑的方向和赛道必须是相同的，否则能追上还是追不上、何时能追上这些问题都无意义。2、二者的速度必须保持匀速不变，否则追上追不上、何时能追上等问题无意义。3、二者赛跑时必须共用同一时间参照系（共时态）。即阿基里斯和龟的赛跑从某个时间点同时开始（乌龟可以从阿基里斯前方100米处为起点开始跑，但是它必须和阿基里斯同时跑），乌龟和阿基里斯都不能说：‘’你今天跑‘，我明天再跑‘’，它们必须在同一段时间时间内赛跑。若不执行此前提条件，就不能叫赛跑。

以上三个前提条件，在现代人看来都是不言自明的默认前提，芝诺虽然没提及这些前提，但我们现代人在思考追赶运动问题时，应自觉默认这些前提条件，所以我们有必要在这三个前提下，仔细分析芝诺断言的阿基里斯永远追不上龟命题是否成立。

下面作者立足以上三个默认前提，对追龟情境作出了a、b、c三种解释（过程分解），并在这三个前提下分别对这三种追龟解释（策略、方案）的效果作出实事求是的分析。

a、按实时位置分解法分析追龟进程

从给出的三个默认前提条件来说，阿基里斯的追龟过程，必然是阿基里斯和龟间距由100米匀速缩短至0米的动态连续过程，这个结论是毋庸置疑的。本次追龟情境分析就是把阿基里斯追龟的进程实时化，即用‘’时间点对应位置点‘’的实时位置分析法解析追龟过程。分析如下：当阿基里斯和龟的赛跑指令开始后（秒表计时开始），他和乌龟分别以各自的速度在同一时间线和同一空间线上作同向前进，1秒后，阿基里斯跑到距离起点10米处，龟的位置由100米处移动到101米处；2秒后，他们的间距由100米缩短为至82米（102—20）；3秒后，二者的间距缩短至73米（103—30）；……；9秒后，二者的间距是19米；10秒后间距是10米，当11秒后间距缩短至1米（111—110）；11.2秒后，阿基里斯距离起点112米，乌龟距离起点是111.2米，可见，11秒多点时阿基里斯赶上并超过了龟。

b、按小学数学应用题的解题方案分析追龟进程

阿基里斯追上龟所需的时间用小学应用题解题方案很容易解决：在阿基里斯必然能在有限时间内追上龟这一前提下，设阿基里斯x秒后与龟的位置持平，设方程10x=1x+100；→9x=100；→x≈11.11。

解方程后可知，阿基里斯起跑大约11.12秒后，赶上并超过龟。

c、按芝诺给出的间距的1/2追龟法分析追龟进程

第一次；阿基里斯追赶100米的1/2，需要用时5秒（50÷10=5），这时（5秒后），阿基里斯的位置在距离起点的50米处，而乌龟在105米处（100+5x1=105），二者的间距是55米（105—50=55）。第二次；阿基里斯跑完55米的一半27.5米，用时2.75秒（27.5÷10=2.75），这期间乌龟向前爬了2.75米，这时（5+2.25，7.75秒后），阿基里斯的位置距离起点77.5米（50+27.5），乌龟的位置在107.75米处（105+2.75），这时（7.75秒后），二者的间距是30.25米（107.75—77.5）。第三次；阿基里斯再跑去30.25米的一半15.125米，用时1.5125秒，乌龟又向前爬了1.5125米，这时（9.2625秒后），阿基里斯的位置是92.625米处，乌龟的位置在109.2625米处，二者的间距缩短至16.6375米。第四次；阿基里斯跑去16.6375米的一半8.31875米时，用时0.831875秒，而乌龟则向前移动了0.831875米，这时（9.262+0.831≈10，大约10秒后，），乌龟大约在110米处（109.26+0.83≈10），阿基里斯则跑到了100米处（92.62+8.3≈100），二者的间距大约10米。第五次；阿基里斯再跑二者间距的一半（10÷2=5，5米），用时0.5秒，这时总用时10.5秒（10+0.5），这时（10.5秒结束时），龟的位置在110.5米处，阿基里斯则跑到了105米处（100+5），二者的间距已缩短至5米不到，可计算出下一秒11.5秒结束时（10.5+1），乌龟位置在111.5米处，而阿基里斯则跑到了115米处，已经超过龟3.5米。

通过分析可见，即使按芝诺给出的一半一半的追赶方案，在三个默认前提条件下（同向同线、共时间参照系、匀速不变），阿基里斯也是能追上龟的。

三、什么条件下芝诺的‘’阿基里斯追不上龟‘’的断言才能成真？

通过上述三种追龟情境分析可见，只要满足、贯彻“同向同线运动”、”匀速不变”、‘’共时空参照系”这三个默认前提，阿基里斯必然能在11.2秒内追上并超过龟，也就是说，芝诺悖论实际上并不成立（并不能成为事实），芝诺断言的‘’永远追不上龟‘是伪命题。若要让芝诺的‘’永远追不上龟‘’这个命题成真（成立），至少要违反作者以上提及的三个默认前提之一，才能让阿基里斯真的永远追不上龟。

违反哪个前提就能让阿基里斯永远追不上龟呢？根据芝诺悖论给出的追龟情境，若让阿基里斯真的追不上龟，最隐蔽、最有误导性的‘’解释‘’就是让阿基里斯悄悄违背”匀速不变”这一前提，让阿基里斯跑完初始间距的一半（50米）后暂停不动（违背’匀速度‘’这一默认前提），等乌龟爬完阿基里斯第一次追一半间距的用时后（爬5秒后），阿基里斯再开始跑二者新的间距的一半，跑完一半后再停止，等乌龟跑完阿基里斯的用时时，阿基里斯再开始跑二者间距的一半，如此类推。只有在这样的追龟情形下，“二者的间距”以及”间距的一半”才能真的永远存在，阿基里斯才真的追不上龟（尽管随着追赶时间的行进，阿基里斯跑→停→跑→停的转换频率会越来越快，二者的位置也越来越近，但阿基里斯的位置始终是在匀速向前的乌龟之后的）。

当然，如果彻底抛弃二者共同的时间参照系这一前提，完全抛弃速度概念（‘’匀速‘’这个默认前提自然也被违背了），直接把100米间距的缩短变成100米线条的对折（递进除2），这样也可以让间距永远存在（因为两个正数无论递进相除多少次，商永远不会为0），让芝诺的断言成真。但这样解释不如让阿基里斯违背匀速条件，这样的效果看起来就像芝诺描述的那样：阿基里斯跑完间距一半时，龟又向前爬了一些距离，阿基里斯得再追赶间距的一半，…这样它们之间总是有间距‘’，显然，阿基里斯跑跑停停让间距永远存在比完全抛弃时间参照系更隐蔽，至少这种解释中，乌龟始终在以1米/秒的速度匀速前进着，不是静止不动的，这样的画面容易让人的大脑产生间距永远存在的错觉。

四、追龟悖论的悖论原因解析

为什么追龟悖论让多数人忘了”速度快的必然能在有限时间内追赶上并超过速度慢的运动体”这一事实真理，却相信芝诺说的”间距永远存在”，进而对芝诺说的”阿基里斯永远追不上龟”这个断言将信将疑呢？

追龟悖论的妙处就在于芝诺对追龟进程的陈述。芝诺通过递进二分法描述二者的间距缩短进程，巧妙地把二者间距的动态连续的缩短进程，描述成了固定间距的离散步骤的递进除2进程。这样就把阿基里斯和龟在同一时间参照系中的共时态运动（阿基里斯起跑后二者进入了共时态运动，从运动速度的相对性来说，二者的相对运动，相当于阿基里斯以9米/秒的速度跑向前方100米处静止的乌龟），变成了无时间参照系的‘’对折运动‘’（用二分法描述静态间距100米的缩短进程，相当于多次对折一条100米长的线，使其不断缩短），变成了纯数量的递进除2。这样，芝诺就把阿基里斯与和龟的速度条件以及二者共同的时间参照系给隐藏了，导致很多人在想象追龟情境时，大脑不知不觉就忘记了在’‘共时间参照系‘’和‘’匀速‘’这两个默认前提下间距必然会匀速缩短至0这一必然规律，而把注意力集中到了二者间距的静态分割进程上，从而相信了芝诺的‘’’间距永远存在‘这一断言（纯数量的除2可以永远操作下去，且商永远不会为0，别说100米，即使0.1米的间距也永远不能被2分至0米，这是除法的比例本质决定的）。

抛弃时间参照系在现实赛跑运动中是不可能的，在三个默认前提下，真实的赛跑情境是自阿基里斯起跑开始，二者的间距就在动态匀速缩短着（各自速度不变前提下，二者的间距缩短也是匀速的，是9米/秒），大约在11.11秒时阿基里斯与龟的间距就会缩短至0，11.12秒后阿基里斯确定能超过乌龟。并不会出现‘’间距及间距的一半永远存在‘’这种现象。

至此，可能有的读者会问，分明是芝诺采用2分法对间距缩短过程的刻画导致了‘’间距永远存在‘’，导致了阿基里斯永远追不上龟，作者你上文怎么说芝诺只有改变默认前提才能让阿基里斯永远追不上龟呢？是的，导致阿基里斯永远追不上龟的真正原因并不是因为芝诺采用了2分法，而是芝诺在用2分除法刻画间距缩短时彻底抛弃了速度这个变量因素。如果在三个默认前提基础上用2分法刻画间距的动态缩短过程，阿基里斯肯定能追上龟（见上文的追龟情境分析c）。

如果贯彻‘’共同的时间参照系‘’和‘’匀速‘’这两个默认前提，用2分法刻画间距缩短、持平、超过的过程是这样的：阿基里斯第一次跑完间距一半时（5秒后），二者间距由100米缩短至55米，第三次跑完间距一半后，二者间距已缩短至16.67米，第五次时，二者的间距已缩短至5米以内，也就是说下1秒（11.5秒后），阿基里斯必然能把间距缩短至0并超过龟。并不需要考虑5米除2还能除多少次，能不能除完，因为在给定的速度条件下（阿基里斯的速度是10米/秒，龟1米/秒），当二者间距缩短到一定的微小尺度时（譬如厘米级的差距时），我们应该以速度为逻辑主线来思考二者间距逐渐持平到超过的过程，并不能仅仅用2分法解释二者是如何接近、持平、超过的，因为时间和空间（间距）都是连续性的，可以被无止境的潜无限微分（芝诺显然认可潜无限理念，否则他不会断言空间距离可以永远2分），我们并不能用2分法把间距缩短过程进行到底，如果我们一根筋似的在间距2分法死胡同中无限深入（试图把二分法进行到底），就等于忽略了时间和速度这两个变量因素，违背了‘’匀速‘’、‘’共时间参照系‘’这两个默认前提。

正确的无悖论思考应该以默认前提为首要前提，在默认前提基础上，适度采用2分法刻画追龟过程（达到一定的空间、时间精度时，应停止2分法分解间距，改用速度去刻画间距的消失）。不能像芝诺那样，全部用2分法刻画追龟过程。这样刻画，间距必然永远存在（虽然间距越来越小，但永不会为0）。

综上所述可见，导致间距永远存在的原因并不在于2分法，而是芝诺在采用2分法刻画间距缩短的过程时，完全‘’忽略‘’了速度或和时间两个变量因素、违背了默认前提导致的。

五、追龟悖论的数学意义

追龟悖论的意义是多方面的，哲学家看到的是追龟悖论的哲学意义，逻辑学家看到的是逻辑学意义，数学家看到的是数学意义。作者这里简要谈谈追龟悖论的数学意义。

5.1、追龟悖论与两种无穷观

不考虑共同时间参照系情况下，阿基里斯能不能追上龟取决于100米间距能不能在有限时间内被有限次内对折完（分割完）。在实无限理念正确的前提下，100米间距的分割，是能够在有限时间内完成的，意味着阿基里斯能够在有限时间内追上龟。但是在潜无限理念正确的前提下，100米间距的分割进程是永远完成不了，意味着阿基里斯永远追不上龟。但事实上，在三个默认前提都贯彻的情况下，阿基里斯大约11.2秒左右就能超过龟，那么，能追上龟这个事实是否能说明潜无限理念错误实无穷理念正确呢？作者认为不能。因为能不能追上龟，取决于是否能贯彻三个默认前提，并不是取决于采用哪种无穷观。即使实无穷理念正确，阿基里斯也是永远追不上龟的，因为二者的间距是在阿基里斯等候或减速中产生的，并不是潜无穷理念正确才能产生的，实无穷理念正确也不能让等候或减速产生的间距消失。可见，无论阿基里斯是否追上龟，都不能作为评判两种无穷观对错的依据。

5.2、追龟悖论与微积分

追龟悖论之所以让人感觉逻辑与事实的矛盾很“真实”，主要是因为时间和空间事实上都是连续的、无限可微的，如果我们脱离了动态的时间和空间来思考追赶问题，就会让阿基里斯陷入这两个“无限深的无底洞”不能继续前进。这一事实也说明:微积分中的“瞬时速度”值是不可能通过常量计算获得的，微积分演算过程必然存在取近似值操作，说明微积分本质上属于近似计算。

众所周知，时间区间、空间区间、实数区间都是连续的（非离散的）。这个事实意味着我们人类在用离散性的数学符号语言刻画运动过程时，不可能实现百分百真实再现。只能用若干个离散的实数点在坐标系空间中的连线，去描摹、刻画想象中的空间连续和时间连续。意味着微积分在取得运动过程中的某个时间、空间常量参数时，必然要经历取近似值环节。现在的极限微积分声称微积分计算是纯数学计算，并不承认整个微积分计算过程有取近似值的环节，然而在自变量及其增量无限趋近于0时，又直接取极限值0，这一步骤实质上就是舍弃非0无穷小量的取近似值操作。因为0在应用数学中表示量的“无”，然而经验事物的量无论多么小或少，都属于量的“有”，不能因为量小得无法测量而视为“0”（无），除非在取近似值时可以。

六、结语

芝诺的阿基里斯追不上龟断言明显与事实不符，但仍然有很多人去研究芝诺悖论，说明这个悖论的构思很隐蔽、巧妙，思考这个悖论越深，思考者对于运动的本质以及运动与数学的关系认识就越深刻。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。