Yoneda引理

设F：C → Set是一个（协变）函子，其中C是一个局部小范畴。那么对C的任意对象A，有Nat(hᴀ，F)≅F(A)，其中hᴀ＝Hom(A，–)，“≅“ 表示集合范畴内同构。对偶地，若C：Cᵒᵖ → Set是一个逆变函子，则Nat(hᴬ，G)≅G(A)，其中hᴬ＝Hom(–，A)。

它表明任何一个局部小范畴C 都能嵌入函子范畴 Setᶜᵒᵖ中，即所谓的Yoneda嵌入，对应关系如下： A↦Hom(–，A) (on objects)，(f：A → B)↦Hom(–，f) (on morphisms)。这使得成为研究代数几何与表示论的一个重要工具。另外，除了Cayley定理，我上面引用的问题下，有答主提到，幺半范畴的严格化定理也能通过Yoneda引理得到，除此之外还有微分几何与超同调代数中的结论在实质上也是Yoneda引理。

而且这还没完，Yoneda引理可以继续推广。我们可以将条件中的局部小范畴C 替换成一个局部小且完备的对称闭幺半范畴 ν＝(ν₀，⨂，l，α，λ，ρ) 上的充实范畴 A ，从而将Yoneda引理推广成强Yoneda引理。

给定一个ν-函子 F：A → ν 及一个 A-对象 K ，我们有一个对于 A 的 ν-自然的映射 Fᴋᴀ：A(K，A) → [FK，FA]，它在伴随 ν₀(Ⅹ，[Y，Z]) ≅ ν₀(Y，[X，Z]) 下的转换 фᴀ：FK → [A(K，A)，FA] 也是 ν-自然的。强Yoneda引理宣称， фᴀ 将 FK 表示为end ∫ᴀ[A(K，A)，FA] ，使得我们有同构 ф：FK≅[A，ν](A(K，–)，F)

这里参照的是G.M.Kelly的Basic Concepts of Enriched Category Theory的2.4节 The (strong) Yoneda lemma for V-CAT; the Yoneda embedding中的记号。

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