数学假设（一）

这里的核心问题其实在这一句话上：“如果p,那么q"可表为“p→q”

问题是绝大多数情况下不可。

实际上如果要强调不同的 conditional（条件句），我甚至一般不用→ ，而是用 ⊃ 表达 material implication（实质蕴含），而把 → 留给更为麻烦的那个玩意儿。

而 material implication 嘛，为了避免各种和蕴含相关的问题，我不会选择用「如果……那么……」这种容易引起误解的翻译，而更喜欢直接简单直白的「(非……) 或者 ……」，这里的括号不是省略，而单纯就是括号。至于为什么要加括号，后面你会懂的。

按照题目中的例子就是这样：如果我们 用 p 表达「明天下雨」，用 q 表达「我在家看书」，那么p⊃q 就是「(并非 明天下雨)，或者，我在家看书」。

至于「(并非 明天下雨)，或者，我在家看书」是否等于「如果明天下雨，那么我在家看书」，这是自然语言的问题。显然，你能感觉到哪里不对。后面再说。

当然，有嗯哼会说括号不是自然语言的一部分。那就这样说：「以下两件事情至少有一个成立：第一种可能：……为假；第二种可能：……为真」。然后就会有嗯哼说，「事情」「可能」「至少」「一个」没有定义。诶嘿。

表面上，我们有一些从 日常语言 到 命题逻辑语言 的自然翻译：

「小明喜欢苹果和梨」翻译为「小明喜欢苹果，并且，小明喜欢梨」。

或者说， S v (P 和 Q) = (S v P)∧ (S v Q) ，其中 ∧ 是「并且」的意思。（生草的点在于，这个 v 是指动词，但是它写出来就真的很像分配律啊，S 是主语，PQ 随便选的两个字母，不是蟛蜞。）

于是，这个「和」被翻译成了命题逻辑意义上的「并且」。（当然还有一些额外的 操作，比如说把「小明喜欢」复制多了一份。）然后我们只需要把两个原子命题分别记作p，q ，得到 p∧q 。万事大吉。

但是，只要稍微加一个嵌套，就能体现出自然语言和逻辑语言之间的隔阂：

• 老张不喜欢苹果和香蕉

• 老张不喜欢苹果或香蕉

这两句话有时候是一个意思。从逻辑的角度上来说，这是不可思议的事情，但是从语言使用的角度来说倒是很好理解，因为断言的本性是确定的。所以我们会倾向于忽略那种使其传达了一个不确定信息的解读。也就是说，我们会直接理解成「(1) 老张不喜欢苹果并且 (2) 老张不喜欢香蕉」这样一句传达了两个确定信息的语句，而这一般等价于「老张不喜欢 苹果 或者 香蕉 中的任何一种」。当然这个「苹果或者香蕉」中的「或者」在某种意义上已经不是一个命题运算了，它更像是集合的并运算。[1]当然了，你也可以不考虑这种 overload 的情况，转而认为这里的「不」统治的是下面这个语句：「老张喜欢苹果，或者，老张喜欢香蕉」——你把这个以「或者」为连接词的语句整体给否定了。

说简单一点，就是¬p∧¬q＝¬(p∨q)

那么我们大概会如何表达「老张不喜欢苹果或老张不喜欢香蕉」的情况？我不知道，瞎猜一下：

• 老张可能不喜欢苹果，[停顿] 或者香蕉？

• 老张不喜欢苹果，但也有可能是不喜欢香蕉，不过一定是两者之中至少有一个，我记不清楚了。

——这些说辞归根结底是因为我们希望提供一个准确的信息给对方，降低自己的责任，而降低到最后，我们甚至会加一个 catch-all 选项，比如说 otherwise——这就导致，从逻辑上说，这句话完全是 0 信息的废话了（老张可能不喜欢苹果，[停顿] 或者香蕉？[再停顿] 或者是其它什么东西），但是真的是 0 信息的废话吗？如果你真的给了苹果，那事后那个人会不会说「我早告诉过你老张可能讨厌苹果了你怎么还上苹果」？但是光从逻辑的观点看，「苹果」「香蕉」「其它」构成了一个穷尽的划分，因此只要我们认为一个人可能讨厌某些东西是必然成立的，那么一个人「讨厌苹果 或者 讨厌香蕉 或者 讨厌其它什么」就是一个空洞自然成立的描述。也就是说，逻辑永真式在日常语言中是可以包含信息的。当然，你也可以说这根本就不是逻辑永真式。但是总而言之就是这个意思。

而实际上，确定地表达「老张不喜欢苹果或老张不喜欢香蕉」是很滑稽也很罕见的情况。如果我们确实是记不清楚了，那么你怎么可能言之凿凿地说就是两者中必定有一个？这是一款开放选项的冒险类游戏，背锅侠将会在没有提供所有信息的情况下背上锅。

类似的不吻合也出现在「或」的多种用法中，日常语言中的或有些时候是不支持「共存」的，比如说，你支持谁？你中午想吃什么？开会地点选哪里？谁接单？谁中标？——虽然这些问题看上去都是一个 A 或 B 或 C 的情况，但是实际上我们知道一般来说这意味着只有一个。而哪怕有两个或者多个，那实际上也应该单独列一条出来，比如说：「你要叉烧还是排骨？还是双拼？」——如果「叉烧还是排骨」中的「还是」表达了经典命题逻辑中的「或」，那么「双拼」就是废话，但是我们知道有些店不支持双拼。而且实际上，「双拼」和「一份叉烧加上一份排骨」是不同的东西。而这个不同也恰好是我们发展线性逻辑的动机：

• 我有一块钱，我可以卖一个苹果

• 我有一块钱，我可以卖一个桃子

• 我有一块钱

• 因此，我可以卖一个苹果和一个桃子。

你看，我们对于「和」的分析，哪怕不涉及嵌套，似乎都是错的，如果它仅仅是一个逻辑且，它不会有任何违和的感觉。当然，这里会有人认为「可以」是那个导致错误的嵌套词，那么「想要」呢？更进一步，日常语言中的「或者」甚至也不会提供不可接受的选项：

「我想要一个苹果或者一个香蕉」

给了香蕉。

「你他妈傻逼吗？我想要一个苹果 或者一个香蕉，我没说我想要香蕉，我想要的是苹果！」

——奇怪吗？太奇怪了。所以你看这个「或者」其实是什么？是集合上的 并。它在这里的工作形式似乎更像是逻辑「且」一些。（当然，这说到底和「一个」的形式化有关，它的工作机制看上去像是在一个集合中随便挑选一个对象，但是不管这种强迫接受香蕉是不是来源于语用，这会导致这个结果看上去像是一个全称量化：既然你要一个苹果或者香蕉，那么对于任意的 x，只要 x 属于 苹果或者香蕉 这个并集，那么它都是可以的，你看，「对于任意的」凭空出现。另见后文中的驴！）

这意味着什么？这意味着自然语言和命题逻辑之间没有简单的对应关系。表面语法在一些情况下是有用的，另一些情况下则没有用。

我们无法把自然语言简单地、组合式地翻译过去。很多括号我们不知道要加在哪里，很多形式化的思路是错误的。

至于否定，其实一样困难，看看下述语句对：

• 我有两个孩子

• 我没有两个孩子

以及

• 当今法国国王是秃头

• 当今法国国王不是秃头

你可以将其直接理解为p 和 ¬p 的关系，但是绝大多数情况下并非如此这般。

另一个关于否定的问题就是过于强烈，很多时候否定比「并非如此这般：」表达了更加强烈的内容，可能是情感，可能是语义。比如说，「我不喜欢他」往往表达了超过「并非：我喜欢他」的含义。当然，最简单的例子还是 SEP 和 SAP 并不是单纯的二分，而 SIP 和 SOP 也不是矛盾。

这些问题当然不仅仅停留在命题的层面上，如果我们拆开句子结构，引入谓词，那么会遇到更多问题。不如说，上述空名问题实际上就出在「法国国王」这个空名上。

已知当今法国国王不存在，考虑下述三个句子：

• 当今法国国王参加了这次晚宴。

• 当今法国国王没有参加这次晚宴。

• 这次晚宴上没有当今法国国王。

这三句话里面，前两句很奇怪，因为我们在谈论一个不存在的对象，它们表面上是逻辑矛盾，但是实际上都是 not even wrong。而第三句话从某些翻译上来说和第二句应该是等价的，但是因为「主题」（subject）这个虚无缥缈的玩意儿变了，于是语感上来说就没有那么病了。（当然这里的语感本身就是一种可以扯皮的东西，你可以认为这个地方的主题根本不是「晚宴」）

但是一般来说，第二句和第三句拥有相同的逻辑形式，如果用A(x，y) 表示 x 出席了 y，那么三句话的翻译之中，按理说都是因为包含了一个空名 x 而导致整句失败，但是实际上似乎这不足以捕捉上面那种微妙的语感区别。

而另一个有名的困难则是代词的解释困难。

如果我们把 「ta」理解成 x，那么「有一个中国人在巴黎生活。ta 喜欢红酒。」

似乎应该翻译成：∃x∈ 中国人

( (x)∧ (x) )

这种翻译方式（把「一个 X」翻译成特定的存在结构，然后用 x 去指称）在处理一些别的语句的时候就会出现问题。（实际上，前面已经有问题了，注意句号的断开导致实际上的直观翻译是∃x∈ 中国人， (x)∧ (x) ，第一个存在量词仅仅管到 ∧ 的左侧，而右侧的 「喜欢红酒 (x)」 中的 x 是不受约束的）

比如说，驴！

每个有一头驴的农夫都打它。

你无法用「存在」去捕获这个「驴」，而实际上一个合乎我们想要表达含义的翻译具有形式：

∀x：F∀y：D(O(x，y) ⊃ B(x，y))

对于任意的农民 x，对于任意的驴 y，((并非：x 拥有 y)，或者， x 打 y)。

——炸了。

当然，或许有一些逻辑系统会试图照常翻译，但是用一些别的语义来处理∃ 或者 ∧ 然后解决这个问题。但是这个时候那个系统中的 ∧ 和经典逻辑中的 ∧ 就不是一个东西了。

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