数学假设（二）

更进一步，还有完全一样的词在不同语境下解读不同的问题：

• 猫坐在垫子上，因为它很冷。

• 猫坐在垫子上，因为它很暖和。

前一句和后一句中的「它」似乎应该统一翻译，但是实际上我们会根据语境分别理解。哪怕我们采用了动态谓词逻辑（Dynamic Predicate Logic），允许 x 在不受约束的情况下出现在单独的语句中，并且根据特定的规则指向前面的某个对象，这也无法解释这里的情况。

并不是说逻辑没有用，而是说，如果数学模型建错了，数字算得儿再对也没有用。驾~

回到条件句的问题上。

最简单的条件句看上去是实质蕴含，但是实际上是形如「所有 S 都是 P」形式的「对于任意的 x，如果 x 是 S，那么 x 是 P」，或者说，按照我的翻译「对于任意的 x，((并非 x 是 S)，或者 x 是 P)」。

它之所以简单，是因为它不涉及可能世界，或者说，这里的可能性都能用简单的文恩图解决。

比如说，「如果 x 是正方形，那么 x 是四边形」并不会引发那种傻逼的问题，如：如果 x 不是正方形怎么办？如果 x 已经是四边形了那又怎么办？对比下述两种不同情境下的「反驳」：

• 「如果明天不下雨，我们就上体育课。」——但是老师，天气预报已经说了明天下雨了，你说这个耍猴儿呢？

• 「如果明天下雨，我们就在课室里上语文。」——难道明天不下雨你就不上语文了吗？楽。

在思考简单的数学问题的时候，因为它们不涉及现实空间的变化，所以我们脑子里简单清晰地画出了两个圆，比如，一个对应正方形，一个对应四边形，前者落于后者中，所以这个条件句是真的。——这是外延的角度。

而另一方面，从内涵的角度上来说，我们可以想象一些同时是狗牌和钩子的玩意儿，比如说，正方形 这个钩子上直接或者间接地挂着诸如 四条边、四个等边、四个等角、四个直角、菱形、平行四边形、四边形、几何图形、多边形 ……这样的狗牌，而 四边形这个钩子就比较不幸了，上面只有 四条边、几何图形、多边形 这些狗牌。并且实际上正方形在某种意义上，之所以挂着 四条边、几何图形、多边形 这些狗牌就是借助 四边形这个 即是钩子同时也是狗牌的玩意儿 挂起来的。

从这个意义上来说，我们可以说 正方形⊃ 四边形（取 包含 的意思）。基于狗牌。

当然，我也不知道 super set 的符号被用来干这件事是不是有这方面的考量，但是问题不大。而如果一个人采用的是外延的思维，那么用 subset 来表达实质蕴含也不是不行，反正自己不要把自己绕晕就行了。

而从外延视角来说，两个圆 A 和 B 的差就构成了A ⊃ B 的反例。也就是说， A\B 的部分就是使得「如果 x 是 A，那么 x 是 B」不成立的部分，比如说「如果 x 是菱形，那么 x 是正方形」的反例就是那些不是正方形的菱形，也即 A\B 中的元素。

这种玩意儿构成了某种「典范」。这个 典范条件句 有两个特征：

第一个特征是拥有一个 x 去联系前后句，

第二个特征是这个陈述非常素。不涉及对于世界的变动，而只涉及分类和标签。

违背第一个条件的情况下，我们会陷入不相干的困境，而这也是发展 相干逻辑 的动机。

比如说，哪怕依旧是片面孤立静止的数学问题，我们也其实不太喜欢下面这个条件句：

如果所有圆都是四边形，那么所有三角形都是四边形。

因为一个「所有 S 都是 P」本质上就是在说「对于任意的 x，如果 x 是 A，那么 x 是 B」——而前后两句的 x 是无关的，后一句的 x 可以变成另一个变量 y。而命题逻辑会告诉我们，这句话是真的，因为「所有圆形都是四边形」不成立。嘿嘿。

而这也就是 命题逻辑条件句 在教学过程中的各种失败的源头。因为命题逻辑连接的对象往往是原子语句，而不是公式（当然，公式也不是随便都行，比如说如果 x=3 那么 y＞z 在不给额外条件的情况下就是 bullshit），命题逻辑条件句中，当我们在举例的时候，前后件封闭的、无关联的句子，因此在某种意义上是前后不相干的，而相干性可能只能通过别的东西提供。

比如说，会有人想用一个别的线索串联起来这些事情，甚至我们已经用了这样的线索。

请注意「我在家看书」这句话，如果直接读，它的含义就是 我现在家看书。

而实际上，所谓的「如果明天下雨，那么（明天）我在家看书」已经更改了命题。

而背后的那个 x 是什么呢？我不知道，简单一点可能是：「对于任意一天 x，如果 x 是下雨天，那么 我在 x 那天 在家看书」。

至于你非要说这句话是不是真的，那就回到了开头：你需要寻找一个雨天，我那天没在家看书。这种寻找反例的思维模式其实是一个很直白的工作模式。但是其实它已经更接近语义后承了。

命题逻辑中的条件句缺乏一个串联前后件的 x，天生就显得是不相干的。甚至，哪怕是那些做相干逻辑的人，只要他们在做的时候依旧停留在命题的层面上，那我依旧不会特别满意这些工作。但是懂的都懂。

至于第二个问题，也就是「可能世界变动」。最简单的例子就是反事实条件句。

比如说核弹悖论：

1. 如果苏联的核弹都消失了，那么美国会对苏联发动核战争。

2. 如果全世界的核弹都消失了，那么苏联的核弹也都消失了。

3. 因此，如果全世界的核弹都消失了，那么美国会对苏联发动核战争。

这里说粗鄙一点就是「世界」变了，而所谓的「世界」变了具体是个什么意思呢？当然我们不在思考一个固定的世界的意思。

这就和数学里面你搞不同的几何系统一个意思。

世界变动会直接导致相同的语句在两个世界中取值不同。比如说，美国拥有核弹 这个语句在 1 和 2, 3 中的真假不同。1 虽然没有明说，但是我们都知道它得有「美国拥有核弹」才能成立。但是 2 和 3 中 「美国拥有核弹」为假。那么「美国拥有核弹」这个命题放在现在来说是不是真的呢？是真的，在我们这个世界是真的。——所以它在 1 中也是真的？严格来说还需要考虑一下时间轴，但是姑且不需要考虑变动的可能性。

那么为什么「美国拥有核弹」在 2、3 中是假的呢？因为我们假设了「全世界的核弹都消失」，这抹除了「美国拥有核弹」的事实。

这也就是世界变动造成的问题。

当然，这里的「世界」不是一个世界，而是所有那些满足我们描述的世界构成的集合，不过这都是细节问题。

说白了，这就像是函数的 default value 一样，你不给，不做 initialization，就会有一个自己的值。你 initialize 一下，就被你 initialized 了。

另一个问题是关于世界变动对于「不成立的前件」的影响。

比如说，在常规数学中，让我们考虑，比如说，正17面体，我们说，所有正十七面体都有十八个面。或者说，「对于任意的 x，如果 x 是正十七面体，那么 x 有十八个面」——这是对的，因为你找不到一个反例，也即，一个 (并非拥有十八个面) 的 正十七面体。因为根本就没他娘的正十七面体！

但是，在核弹问题中，其实我们已经做了两次跳转了：首先已经没有苏联了，但是我们依旧能假设苏联存在，其次，苏联存在的时候是有核武器的（至少对于我们关心的那个时间节点），但是我们假设没有。而这并不会受到前述的「根本就没他娘的正十七面体」性质的陈述的影响。

这也就是最开头那个「老张不喜欢苹果和香蕉」的问题：我们默认了我们想要谈论的东西是确定并且有意义的，然后我们会自觉顺着它去想问题。我们有脑补的方向，就像是 CPU 有 branch predictor[2]一样。

不过，话又说回来了，考虑到数学也不是铁板一块，我们完全可以说，在二维空间中，一个正十七面体就是一个正十七边形，而显然正十七边形是十七边不是十八边，因此如何如何。——这也是一种反驳的思路，但是接不接受就另说了。

参考：

1. 这里处理得随便了一些，相当于是在我们将「不喜欢 X」理解成「对于任意的 x 属于 X，……不喜欢 x」。这种情况下，「不喜欢 A」并且「不喜欢 B」就是「不喜欢 (A 和 B 的并集)」——但是实际上很多时候我们是带 qualification 的，比如说「大多数」「通常」「一般」。

2. https://en.wikipedia.org/wiki/Branch_predictor

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