格林公式和高斯公式的统一

因为考高数，复习高数的时候又想了一下三大公式——格林、高斯、斯托克斯公式，格林公式是斯托克斯公式的特例。这三个公式都表达了同一个意思，不管区域内部积分到底怎么样，都可以归结到边界来，于是我就在想为什么斯托克斯公式写出来和高斯公式是不一样的，一个是旋度而另一个是散度。

我觉得导致这样的原因其实是因为定义上有一个很大的差别，就是第二型线面积分的积分方向。线积分的时候方向是切线向量，这很容易理解，并且当平面曲线推广到空间曲线的时候，依然适用；而面积分选的是法向量，这其实也很容易接受，因为切平面关于“方向”的性质用法向量就可以全部体现了。

但我觉得从类比、归纳的角度来讲这件事其实荒谬的。线的切线理应当对应到面的切平面，法线对应法线；如果是为了达到形式的简化可能就忽略了一些重要的联系。

高斯公式是三维中“体”到三维中的“面”区域的变换；斯托克斯公式是三维中“面”到三维中“线”的变换；而格林公式是二维中“面”到二维中“线”的变换。因此格林公式和高斯公式应该更有维度方面的相似性，理应当可以统一。

所以我现在想将线积分也用法线来规定线微元

→

d s 的方向，将

→

d s＝(dx，dy)

重新定义为法线的方向：

→

d s＝(dy，–dx)

→

现在再对函数 f＝(P，Q) 作线积分

→ →

∮(ᴄ) f · ds＝∮(ᴄ)(Pdy – Qdx)

∂P ∂Q

＝∬(σ)(── – ──)dσ

∂x ∂y

→

＝∬(σ) ∇ · f · dσ

就和高斯公式统一了。

对于斯托克斯公式，我想了挺久，想过用Frenet标架中主法线去规定新的方向，投影的方法理解，利用前面格林公式的新规定的

→

ds 去猜测

→

ds＝(dy – dz，dz – dx，dx – dz)

但都失败了。

最后我觉得斯托克斯公式应该不能和高斯公式统一，因为首先斯托克斯公式是第二型变到了第二型，而格林公式和高斯公式都是第一型和第二型的转化。不过可以看到斯托克斯公式其实是把格林公式推广到三维并且可以通过投影再把格林公式的性质表现出来，同样的，我觉得高斯公式可以推广到四维，并由投影把高斯公式的性质表现出来。

注意：因为无法打出字母上方[→]符号的字母，所以标记在文篇，上格的位置。

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