希尔伯特空间

线性代数是量子力学使用最多的数学语言。

量子力学将线性代数作为其主要的数学语言的原因是，量子力学中的物理系统状态是用一个希尔伯特空间中的态矢量来描述的。态矢量，是用来描述物理系统状态的矢量，它在希尔伯特空间中被定义。希尔伯特空间是一个完备的平方可积的线性空间，可以用来描述量子态的数学结构。态矢量可以被看作是希尔伯特空间中的一个元素，具有内积和范数的定义，可以用来描述量子态的性质和演化。

希尔伯特空间

在数学里，希尔伯特空间，完备的内积空间，也就是说一个带有内积的完备矢量空间。是有限维

欧几里得空间的一个推广，使之不局限于实数的情形和有限的维数，但又不失完备性（而不像一般的非欧几里得空间那样破坏了完备性）。与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西串行会收敛到此空间里的一点，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间成为了量子力学的关键性概念之一。

量子力学的数学基础还包括无穷维空间上的微分学、微分方程和积分方程等数学工具。

ℓ²(B)＝{x：B → ℂ│∑|x(b)|²＜∞}

b∈B

此空间在定义如下内积后，成为一个希尔伯特空间：

──

〈x，y〉＝∑x(b)y(b)

b∈B

串行空间

此时两个函数f和g的内积定义为

──

〈f，g〉＝∫xf(t)g(t) dμ(t)

勒贝格空间

另外，内积还可以帮助我们从“几何的”观点来研究希尔伯特空间，并使用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有的无穷维拓扑矢量空间中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。

希尔伯特空间，一个线性代数的数学框架

希尔伯特空间是线性代数的扩展，它为线性代数提供了一个完备的数学框架。在希尔伯特空间中，向量可以有无穷维，可以描述比传统线性代数更复杂的系统和现象。

在传统线性代数中，向量通常是有限维的，限制了应用的范围。希尔伯特空间则突破了这一限制，向量可以表示无穷维的函数或序列，使得希尔伯特空间在处理无穷维的物理系统、概率分布等复杂问题时非常有用。

希尔伯特空间还提供了一种内积运算，这种运算能够度量向量之间的相似性，并且满足一定的性质，如对称性、正定性等。因为量子态的演化和测量 都涉及到内积运算。这种内积运算在量子力学中非常重要。

希尔伯特空间，一个量子力学的核心概念

希尔伯特空间为描述量子态、可观测量的算符、傅立叶级数和傅立叶变换等提供了合适的数学框架，是量子力学中的核心概念之一。

• 描述量子态，量子力学中的物理系统状态由希尔伯特空间中的态矢量来描述。态矢量具有内积和范数的定义，可以用它描述量子态的性质和演化。

• 完备的空间，希尔伯特空间是一个完备的空间，其上所有的柯西序列等价于收敛序列，微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。

• 描述可观测量的算符，在量子力学中，描述可观测量的算符是在希尔伯特空间中被定义的。算符是描述物理系统变化的数学工具，而希尔伯特空间则为算符提供了合适的数学框架。

• 傅立叶级数和傅立叶变换的表述方式，希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，这是泛函分析的核心概念之一。

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