数学信息

泛函，算子，函数，变换都是映射，映射才是最基本的东西，你把概念就搞错了。很多回答都在故弄玄虚，有的说的概念甚至是错误的，其实直接把概念讲清楚直接对比就能理解。数学是严谨的，想要严谨就要明确研究对象，因此要对研究对象下一个严格明确的定义。

映射是指从一个集合X元素到另一个集合Y元素的一种对应关系，可用符号f表示。也可以理解为X中元素在映射f的作用下对应到Y中元素。具体的什么原像，像，单射，双射就不讲了，每本数学书都有。

函数是数集X到数集Y的映射，比如f(x)＝x²，把x＝2放进去可以得到4，其中2就是数集X中的一个元素，4就是数集Y中另一个元素。

泛函是函数集X到数集Y的映射，比如定积分f[g(x)]＝∫g（x)dx ，积分下限是0，上限是1，就是一个泛函，放进去一个函数g(x)＝x，则得到一个数字1/2，若放进去一个函数g(x)＝e的x次方，则得到数字e–1，其中g(x)=x，g(x)=e的x次方，都是集合X中的函数，而1/2，e–1都是Y中的实数。物理里的最速曲线，数学里用变分法证明两点之间直线最短，都是列出一个以曲线积分为算式的泛函，来计算泛函的极值。比如最速曲线，想要求的时间t，就是一个数字，时间＝位移/速度，这里利用微积分的思想，每一时刻的位移用ds表示，因为最速曲线可能是一个曲线，每一处都是弯的，而速度可以用动能定理计算出来。最速曲线本身可以看成一个函数的图像，则ds就是该曲线的弧微分，用高数的弧微分公式ds=根号下1 y'²dx的积分，除以用动能定理计算出来的根号下2gy，可以发现我们每放进去一个函数（曲线)y＝f(x)，就能得到一个数字时间t，这就是一个泛函。如果这些曲线里面有个使时间t取极小值的，这个曲线就是最速曲线。可以算出，该曲线为摆线。

算子，算符是一个意思，是函数集X到函数集Y的一个映射，比如两种最简单的算符，不定积分f(g(x))=∫g(x)dx，或者求导f(g(x))＝g′（x），放进去一个g(x)＝x，积分积出一个函数1/2x²，导出一个1（视为常函数），都是函数到函数的对应。而物理里面经常出现的算符，比如▽（nabla算符，或者叫哈密顿算符)，或者△＝▽²（拉格朗日算符），或者达朗贝尔算符□，或者量子里面的能量算符，动量算符，都是函数到函数的对应。比如三维的空间直角坐标系里的▽＝对x求偏导i 对y求偏导j 对z求偏导k，ijk是xyz轴单位方向向量，它的作用效果是放入一个三元数量函数f(x，y，z)，得到一个三维的三元向量函数。因此算符也可以从数量函数对应到向量函数，后面很多抽象的算符让很多人一直理解不了。

至于变换，就是集合本身到自己的一个映射，这个集合可以是数集，也可以是函数集或者其他的什么集。

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