芝诺悖论详解（一）

芝诺悖论（Zeno's paradox）是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。

第一部分：一些专业讨论观点

首先，我们参阅李大凯老师和刘二中老师的的一些观点(斜体引用)：

先看李大凯老师的观点：

【《基于时空连续的芝诺悖论的逻辑分析》 哈尔滨师范大学社会科学学报‬

Journal of Social Science of Harbin Normal University No. 3，2014Total No. 22】

芝诺的著作 《论自然》早已失传，根据所能得到的文献记载，芝诺共提出了约四十个悖论，流传于今的应该不止八个。在亚里士多德批评芝诺悖论的 《物理学》中，我们能够比较详细地了解今天称之为 “芝诺悖论”的四个论证。芝诺想要得出的结论是，不管对时空做如何假定，物体的运动都是不符合逻辑的，真实存在必定符合逻辑，因而我们看到的运动其实是假象。在这四个论证中，前两个是讨论基于时空连续的绝对运动和相对运动不可能，后两个是讨论基于时空间断的绝对运动和相对运动不可能。

芝诺（Zeno of Elea）生于意大利半岛南部的埃利亚城邦，他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德（Parmenides）的学生和朋友。柏拉图在他的对话《巴门尼德篇》中，记载有这样的文字：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。那时的芝诺约40岁，身材魁梧而美观，大家说他已经变成巴门尼德所钟爱的了。”在以后的希腊著作家看来，这次访问是柏拉图虚构的。但柏拉图有关芝诺观点的记叙，却被普遍认为是准确的。

在柏拉图的巴门尼德篇中，当芝诺谈到自己的著作（《论自然》）时，这样说道：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将他窃去，以至我不能决断，是否应当让它问世。 ”芝诺不象他的老师那样企图从正面去证明是一不是多，是静不是动，他常常从反面即归谬法来为“存在论”辩护。公元五世纪的评论家普罗克洛斯（Proclus）说过，芝诺从“ 多”和运动的假设出发，一共推出了40个各不相同的悖论。现存的芝诺悖论至少有8个，其中关于运动的4个悖论最为著名。

芝诺的著作早已失传，亚里士多德的物理学和辛普里西奥斯为物理学作的注解是了解芝诺悖论的主要途径，此外只有少量零散的文献可作参考。直到19 世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。英国数学家B．罗素感慨的说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了四个无限微妙无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后这些诡辩才得以正名，…”

19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺。他们推测芝诺的理论在古代就没能得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用来倡导怀疑主义和否定知识，亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。学者们对芝诺提出这些悖论的目的还不清楚，但大家一致认为，芝诺关于运动的悖论不是简单的否认运动，这些悖论后面有着更深的内涵。亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，从这个意义上来说，他功不可没，但他对芝诺悖论的分析和批评是否成功，还不可以下定论。

其有代表性的四个悖论如下：

1：运动场问题‬

运动场问题是芝诺提出的四个悖论中的第一个，又称为两分法悖论‬

其结论为： 运动不可能开始。

其论点为： 因为一运动物体在到达目的地之前，必须先抵达距离目的地之一半的位置。即：若要从A处到达B处，必须先到AB中点C，要到达C，又须先到达AC的中点D。如此继续划分下去，所谓的“一半距离”数值将越来越小。最后“一半距离”几乎可被视为零。这就形成了此一物体若要从A移动到B，必须先停留在A的悖论。这样一来，此物体将永远停留在初始位置（或者说物体初始运动所经过的距离近似0），以至这物体的运动几乎不能开始。即：由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点， 于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。

2：追乌龟（阿基里斯悖论）

阿基里斯（又名阿喀琉斯）是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！

“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。”

如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0.999...＞0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1-0.999...=0，但1-0.999...＞0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0，或1-0.999...＞0"思想。

3：飞矢不动

设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。

上述结论也适用于时刻有持续时间的情况。对于这种情况，时刻将是时间的最小单元。假设箭在这样一个时刻中运动了，那么它将在这个时刻的开始和结束位于空间的不同位置。这说明时刻具有一个起点和一个终点，从而至少包含两部分。但这明显与时刻是时间的最小单元这一前提相矛盾。因此，即使时刻有持续时间，飞行的箭也不可能在运动。总之，飞矢不动。

箭悖论的标准解决方案如下：箭在每个时刻都不动这一事实不能说明它是静止的。运动与时刻里发生什么无关，而是与时刻间发生什么有关。如果一个物体在相邻时刻在相同的位置，那么我们说它是静止的，反之它就是运动的。

4：游行队伍

首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。

◆◆◆◆观众席A

▲▲▲▲队列B‬

▼▼▼▼队列C

B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。

◆◆◆◆观众席A

▲▲▲▲队列B……向右移动

▼▼▼▼队列C……向左移动

而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。

李大凯老师在上述论文里主要讨论了两个悖论：

1． 二分法悖论。对于孤立物体连续运动的情况，芝诺认为: 物体在到达目的地之前必须先到达全程的中点，即二分之一处，而到达中点之前必先到达全程一半的中点，即四分之一处，以此类推还有八分之一处，十六分之一处……由于时间和空间是连续的，这个二分过程可以无限地进行下去，物体不可能在有限的时间内经过无数个这样的点，结果是要么它永远到不了终点，要么它永远离不开起点。所以孤立物体在连续空间里的绝对运动不可能。

2． 阿基里斯悖论。阿基里斯是希腊神话中的长跑英雄，如果让乌龟领先于阿基里斯一段距离，他们同时同向起跑，当阿基里斯到达乌龟起跑处时，由于这段时间乌龟持续运动，它在阿基里斯前面制造了新的距离 (当然二者距离变短了)，当阿基里斯完成这一段新距离，乌龟在阿基里斯前面又制造了更新的距离……尽管乌龟制造的新距离一定会越来越小，但由于假定时空连续，这样的距离不管多么小总是存在，且有无限多个。阿基里斯需要完成这无数个距离，因此，他可以无限接近乌龟，但却永远追不上。所以两个物体在连续空间里的相对运动也不可能。

后人的评析可归纳为逻辑分析和数学分析两个方面，我们着重于第一个方面。

亚里士多德首先对悖论 1 (二分法悖论) 做出了批评: 虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但如果时间与空间在结构上完全等同，也可以无限分割，那么在无限多个时间点中越过无限多个空间点是可能的。这种回答初看是很聪明的，但该回答所隐含的 “无限多个时间点和空间点一一对应”建立的前提是 “已有一段具体时间和一段具体空间距离”，即时间和空间皆为有限，这样一来，就等于预设物体可以在有限的时间内到达目的地，而芝诺的质疑恰恰是: 物体能否在有限的时间内到达终点? 问题被预先回答了。

亚里士多德后来也认识到这样的分析不合适，给出了另外一个回答: 无穷数量的一半只是潜在的，而不是现实的。这等于说不符合现实的数量分析只是潜在的，即使讲得通也是潜在的，难道芝诺不知道他的结论不符合现实吗? 他的问题是如果运动真实，不是表象，那么，为什么会讲不通? 关于悖论 2，亚里士多德认为如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了。芝诺的全部论证被现实中的“一段距离”消解掉了，亚里士多德实际否定了———不如说是回避了芝诺对于阿基里斯追上乌龟之前微妙深邃的推理，用今天的话说就是芝诺的推理方法 “不科学”，科学的方法是在一段距离之后进行位置分析。亚里士多德的回答不是芝诺要寻找的答案，也不是能让人们满意的答案，只是让芝诺质疑的那个 “点”更加清晰。西诺班的第奥根尼是犬儒学派的创始人，他对芝诺悖论的回答似乎证明了一句话: “越是精巧的逻辑在实践面前就越愚蠢。”据说当他的学生因困惑于芝诺的论证向其求助时，他用迈步走过一段距离的行动来证明不符合现实的逻辑是站不住脚的。

我们今天已经无法印证这个故事的真假，如果确有其事，那么，显然第奥根尼并没有否定芝诺的精细推理———在某种意义上再一次坚定了芝诺悖论的难以辩驳，他不过表达了一下自己对基于逻辑的形而上学的态度: 眼见为实，不要管它什么逻辑不逻辑。那么，现在问题又回到了:

思想与存在是否同一? 真实存在的基础是我们感官的感觉还是清晰无误的逻辑? 哪个是第一性的?

感觉可以否定逻辑，还是逻辑可以否定感觉?黑格尔对芝诺悖论的解释是: “运动的意思就是说: 在这个地点又不在这个地点; 这就是空间和时间的连续性──并且这才是使得运动可能的条件。”黑格尔的回答是重新告诉我们什么是“连续性”，连续本身就是间断的，芝诺不懂得辩证地看待连续性和间断性的关系，不懂得辩证逻辑。按照芝诺的视角，物体从起点到终点的运动以及阿基里斯追龟的过程表面上是无限的，实质上是有限的。

有限和无限在一定的条件下可以相互转化。这使得我们暂时忘记了悖论本身，思维 “轻薄锐利、精确细腻的刀锋”在厚重粗钝、另辟天地的概念关系面前撞了南墙。黑格尔是在用一种逻辑取代另一种逻辑，但由于缺乏对芝诺论证错误之处的指摘，其取代的合理性没有得到充分的论证。现代分析哲学对芝诺悖论更倾向于指出其分析方法的错误: “运动轨迹”的数学分析不能替代 “运动”本身， “运动”是比数学化的 “运动轨迹”更根本的东西，一句话，芝诺对 “运动轨迹”的分析结果是 “无法达到”，但这并不代表“运动”在实际进程中 “无法达到”。我们的思维先验地认定运动在设定的空间、设定的坐标中进行，并以空间中的几何线路———运动轨迹来考察运动本身，这一点不仅被芝诺认为是合理的，而且在伽利略、牛顿运动学中也被广泛使用。

但我们忘记了一个问题: 当我们用数学方法分析可以无限分割的 “运动轨迹”时，实际进行的 “运动”也可以进行这样的分析吗? 运动轨迹可以被无限分割，运动是否也可以这样分割? 类似的质疑不是没有根据。运动是用时间和空间描述的，如果我们假定时空具有数学上的连续性，那就意味着任意一个时间段———特别是一般意义上的相邻两时刻之间———可以有无限多个时间段，任意两点间的距离都包含有无限多个距离。这被看作“运动轨迹”具有的相对于 “运动”普遍性的特殊性，因为物理学———特别是运动学无法抛弃对“运动轨迹”进行数学分析这根倚仗多年的 “拐棍”。

在现实的物理运动和数学的运动轨迹之间我们看到一条清晰的似乎是无法混淆的界限，结果似乎是运动可以否定运动轨迹的数学分析，而后者作为第二位的东西无法否定前者。芝诺的悖论让运动无法开始，现在我们让芝诺的悖论无法开始。我们是不是又回到了第奥根尼?

迄今为止，主流的哲学家们对芝诺悖论的评析所取得的成果基本限于引入另一种概念或者方法，通过强调新概念或是新方法的理论深度、现实性来 “覆盖”芝诺对于 “运动轨迹”的数学分析。笔者认为，从理论上不断深入挖掘 “运动”、 “时空”等一系列重要概念的内涵是有重大意义的，但是具体到芝诺悖论本身，如果我们不能直面悖论，指出芝诺论证过程存在的真正问题，而是强加于人———甚至惧怕深陷其中而不能自拔———只能凸显芝诺悖论价值。通过对芝诺悖论的论证过程详细分析，还是不难发现一些疑点和问题的。

首先，悖论 1 和悖论 2 是矛盾的。根据悖论1 的论证结果，如果承认一个物体无法从一个位置移动到另一个位置，那么，悖论 2 中阿基里斯又如何会到达乌龟的最初起跑点呢? 更遑论乌龟又制造了无数个新的距离让阿基里斯去逐个完成了，当然，乌龟自己也无法前进一步。悖论 2 无须我们否定，悖论 1 就把悖论 2 置于不可能的境地。

再看悖论 1，其论证过程是用数学方法连续取线段二分之一点，事实上，不断取线段的三分之一点或是四分之一点也能达到同样的悖论，所以关键不在于是连续取中点还是三分之一点、四分之一点，而在于 “有无限多个点可取”，而且“所要取的点一定取得到”。那么，“有无限多个点可取”和 “所要取的点一定取得到”是否能同时满足呢?

欧几里得在他的不朽名著 《几何原本》的开篇即提出了 23 个定义、5 个公设和 5 个公理，这些基本规定奠定了整个平面几何学的理论基础，对直线或是曲线 (如运动轨迹) 的数学分析因而有了根本的出发点。《几何原本》的第一个定义———也是整个欧氏几何学的基础———就是后世的学者们似乎可以言说却又无法言说的“点”: “点是没有部分的。”这个概念很含糊，但我们依然可以推断出 “点”具有无穷小的特征，小到无法分割，是一个只有位置、没有大小的图形; 现代数学倾向于把点看作零维度对象，可以表示为一个有序 n 元组。因此，欧氏几何学中的 “点”是一种表示位置的没有空间广延的非实体的数学抽象。

回到悖论 1， “有无限多个点可取”是基于有限线段的无限可分，即无论多么短的线段都包含无限多个点，把 “点”看作非实体的数学抽象; “所要取的点一定取得到”中的 “点”的内涵已经悄悄变成有广延的实体点，因为当我们不需要确定一个点的位置，只需要知道 “线由点组成”时，我们尽可以将线无限分割，即便我们现实中做不到，在思维抽象中也可以推理完成; 而一旦需要确定一段实际线段上的某个点的位置时，我们实际迈步站在了一个新的思维基础上: 线段有限可分。假设一段线段一共有五个点，那么，中点一定是第三个点; 一段线段共有七个点，中点即是第四个点，如果一段线段有无限多个点，中点如何确定? 就像一个队列排了无限多个人，如何确定 “谁”两边的人一样多? 我们确定时空 “位置”的思维基础其实是 “相对”和 “有限”， “相对”意味着要找到参照系或者参照物，“有限”则意味着这个 “点”在参照系中或者距离参照物可以用多少个 “单位”来表示，这个 “单位”一定是有限的。就像我们用太阳作为参照物确定地球的位置时，我们要弄清的是地球距离太阳有多少个 “单位”，这个 “单位”可以是千米，也可以是米，这个时候说地球到太阳之间有无限多个点是没有意义的。

因此，“能够取到中点”的思维先验假定其实是 “线段包含有限多个点”。这就是说，如果假定时空连续，一段空间距离会有无限多个点，如果不将 “点”的内涵由数学抽象的 “非 实 体 点” 转 换 为 有 空 间 广 延 的 “实 体点”，那么，芝诺在这段距离上取中点是无法实现的。由此，还会衍生出其他一些问题: 现实距离的 “有限可分”与运动物体轨迹数学分析上的 “无限可分” 之间的矛盾是不可调和的吗?是 “理想线段的无限可分”无法实现，还是从“理想线段的无限可分”到 “现实距离的位置可取”无法实现?哲学的进步不仅在于从人类愈加丰富的理论与实践中发现那些带有矛盾性的疑点，还在于对那些闪烁着不朽的智慧之光的历史疑点给出新的视角。人们对于芝诺悖论的思考虽然至今仍无定论，但这些思考得到的收获却硕果累累。超越时代的论辩被后人一再提起也许预示着它所引发的思考并不会止于后来者的 “成功”解答; 相反，它像一座宝藏，吸引着人们从不同方向深入其中

细心挖掘，找到前人不曾发现的奇珍，找到各自的意义与价值所在。

［参 考 文 献］

［1］［古希腊］欧几里得． 几何原本［M］． 兰纪正，朱恩宽，译． 西安:陕西科学技术出版社，2003.

［2］［法］罗素． 西方哲学史［M］． 北京:商务印书馆，1976．

［3］北京大学哲学系． 西方哲学原著选读［M］． 北京:商务印书馆，1981．

［4］Apostle H G． Aristotle’s Philosophy of Mathematics［M］． Chicago: University of Chicago Press，1952．

［5］吴国盛． 芝诺悖论今昔谈［J］． 哲学动态，1992(12)．

［6］张兴． 芝诺悖论的结构［J］． 自然辩证法研究，2004(11)．

［7］刘二中． 解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞［J］． 自然辩证法研究，2005(11)．

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