芝诺悖论详解（二）

我们再看刘 二 中老师（中国科学院研究生院 人文学院）的一些观点

【《自然辩证法研究▪解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞》Studies in Dialectics of NatureVol. 21 , No. 11 Nov. , 2005】

芝诺(Zeno ,约公元前 495 - 425 年) 提出的关于运动的四个著名悖论 ,在哲学史、数学史和逻辑学方面都具有重大影响。其结论荒谬 ,推理又似乎合理 ,引起不少学者的关注。而芝诺悖论是否能被破解 ,似乎仍有疑义〔1〕。甚至有学者断言 ,芝诺悖论在逻辑上是正确的 ,尽管与事实不符。另一方面 ,人们曾经试图从哲学的角度或是逻辑的角度对该悖论进行反驳或破解。这种反驳或破解是否令人满意甚至是否可能 ,仍有争论。下面本文将就此展开讨论。

A: 芝诺的诡辩与亚里士多德的逻辑

芝诺的悖论包括“二分辩”、“追龟辩”、“飞矢辩”“、运动场辩”。需要指出的是 ,这些悖论实际上是一个否认运动的总的悖论的组成部分。芝诺为了维护他的老师巴门尼德关于运动是不可能的论点 ,证明如果承认运动就会导致这四个悖论〔2〕〔3〕。据希腊史学家普罗克修斯说 ,实际上芝诺从“多”和“运动”出发 ,曾一共导出过四十个悖论 ,留存下来的有八个 ,其中四个与运动有关。

按照克莱因 ( Kline , Morris ) 的看法 , 当时人们对于空间、时间和运动有两种对立的看法 :一种认为空间和时间无限可分 ,这样的话运动将是连续而又平顺的 ;另一种认为空间和时间是由不可分的小段组成的 ,那样的话运动将是一连串的小跳动。芝诺的二分辩和追龟辩针对的是前者 ,飞矢辩和运动场辩针对的是后者〔2〕〔3〕。也就是说 ,他对两种运动学说连同运动本身都加以反对。

实际上 ,希腊数学家在发展数学的过程中已经形成了逻辑的基础。在巴门尼德和芝诺活跃的年代 ,雄辩与推理风行一时。然而 ,严密的逻辑学尚未形成 ,雄辩常常变成诡辩。例如 ,如果你同意“你身上不可能有位于远处的东西”这一判断 ,就只能得出“你身上没有头”的结论。因为“远处有只狗 ,狗有

头 ,头在远处 ,而你已经承认身上不可能有位于远处的东西 ,所以你身上没有头。”由于人们往往不能指出这些“雄辩”的毛病 ,所以诡辩成为包括芝诺在内许多学者所向披靡令人无可奈何的“法宝”。这种情形直到亚里士多德的时代才得到改变。正是亚里士多德 (Aristotle ,公元前 384 - 322年) 创立了严密的逻辑学 ,使之成为科学。他提出了逻辑学的三大基本规律 :同一律、矛盾律、排中律。同一律是指“推理或思想的内容必须是确定的”。甲就是甲 ,甲代表的内容不能在推理过程中改变 ,否则就是“偷换概念”。矛盾律是指“一个命题不能既是真的又是假的”。排中律是指“一个命题必然是真的

或者是假的”。亚里士多德的逻辑学为科学研究提供了最根本的分析工具 ,也是戳穿诡辩的利器。本人以为 ,尽管包括黑格尔、罗素在内的众多学者对芝诺的悖论作了多种哲学解释 ,但是芝诺诡辩毕竟是靠逻辑导出的 ,对其彻底破解必须找出它推理过程中的逻辑漏洞。如果作不到 ,那不应该是逻辑学的悲哀 ,而是人们在运用逻辑时把握不当。

B:亚里士多德对二分辩和运动场辩的分析

芝诺悖论是亚里士多德在他的《物理》中陈述的〔2〕〔3〕。他说“: 第一个悖论(以下称为二分辩) 说运动不存在 ,理由是运动中的物体在到达目的地前必须到达半路上的点。”其意思是 ,一个物体要通过 A 点到B 点之间的距离 , 首先要通过 AB 之间的 C 点; 然而 ,要通过 A 点到 C 点之间的距离 ,首先要通过 A C之间的 D 点 , 依此类推。换言之 ,如果空间无限可分 ,有限长度含有无限多的点 ,就不可能在有限时间内通过有限长度。

对此 ,亚里士多德已经作了自己的破解。他说 :关于一个事物的无限性有两种意义 :无限可分或无限宽广。在有限的时间内可以接触从可分的意义上是无限的东西 ,因为从这个意义上讲时间也是无限的 ,所以在有限时间内可以通过有限的长度。

换言之 ,亚里士多德的意思是 ,有限的距离和有限的时间都是无限可分的 ;有限距离和有限时间在无限分割时的总长仍是有限的 ;无限可分或无限分割的有限距离和有限时间并不意味着它们变成无限宽广 ,所以在有限时间内可以通过有限的长度。在这里 ,实际上必须强调的是二分辩违反了同一律 :芝诺用“无限可分”偷换了“无限宽广”的概念。有人认为 :在距离被不断二分的过程中 ,距离会被分成无穷多个小段 ,而运动物体经过每个小段的时间都不为零 ,因而总的时间为无穷大。实际上 ,距离会被分成无穷多个小段的时候 ,经过这段距离的时间也被分成无穷多个小段 ,每个时间小段与每个距离小段是一一对应的 ,因而 ,时间总和与距离总和的有限性和无限性也是对应的。

人们常常把二分辩的矛盾归结到“无穷小量是否为零”的两难问题〔1〕,我们会在后文讨论中证明该问题已经得到解决。运动场辩是芝诺的第四个悖论。亚里士多德说 ,它“讲到两列物体 ,每列都由数目相等的一样大的物体组成 ,在一段跑道是以同样速度循相反方向前进 ,互相越过。其中的一列原来占据跑道终点与中点之间的空间 ,另一列原来占据跑道中点与起点之间的空间。他认为这就可以得出一半时间等于一倍时间的结论。”

“例如(他就是这样论证的) ,假设 AAAA 是同样大小的静止物体 ,BBBB 是与 AAAA 数目相等大小相同的物体 ,原来占据跑道上从起点到 A 列中央的那一半 ,CCCC 是原来占据从终点到 A 列中央那一半的物体 ,与 BBBB 数目、大小、速度都相等。于是导出三个结论 :第一 ,B 列和 C 列互相越过时 ,第一个B 达到最后一个 C 的时刻 ,就是第一个 C达到最后一个 B 的时刻。第二 ,在这个时刻 ,第一个 C 越过了所有的 B ,而第一个 B 只越过了 A 列的

一半 ,因此只占了第一个 C 所占时间的一半 ,因为这两个物体中的每一个越过每一个 A 或 B 时所占时间相等。第三 ,就在这个时刻 ,所有的 B 越过了所有的 C ,因为第一个 C 和第一个 B 将同时到达跑道的相反末端 ,这是由于 (芝诺这样说) 第一个 C 越过每一个 B 时所占时间等于它越过每一个 A 所占时间 ,因为第一个 B 和第一个 C 越过每一个 A 时所占时间是相等的。”〔4〕

对此 ,亚里士多德已经分析得很清楚 ,他说芝诺的“错误在于假定一个物体以相同的速度通过一个移动物体和一个同样大小的静止物体时 ,所需相等 ,而这个假定是错误的。”与另外三个悖论相比 ,至少现有版本的运动场辩缺乏足够的说服力 ,也不被亚里士多德以后的哲人所重视。亚里士多德对它的破解已经可以令人满意 ,而一些学者对该悖论的过度猜测和演绎(甚至联系到量子理论) ,本人认为是不必要的。我们不必将现代人的智慧强加于古人 ,再因受惠于先贤而感激不尽。

C:追龟辩的逻辑漏洞

对于第二个悖论 (追龟辩) ,亚里士多德提到 :“它说动得最慢的不能被动得最快的东西赶上 ,因为追赶者首先必须到达被追者出发之点 ,因而行动较

慢的被追者必定总是跑在前面。”如果描述得更具体的话 ,就是追赶者到达被追者出发点时 ,被追者又有了新的出发点 ,追赶者到达被追者新的出发点时 ,被追者又离开了 ……因此 ,追赶者永远也追不上被追者。亚里士多德分析说“: 这个论点同二分法论证在原则上一样 ,所不同者是不必再把所需通过的距离一再平分。这个论证的结论是‘追不上最慢的’;但是论证的路线与那个二分法论证是一样的 (因为在这两个论证中 ,都是从距离的某种分割中得出不能达到目的地的结论 ,虽然‘阿基里斯论证’走得更远 ,断定连传说中跑得最快的人也追不上跑得最慢的) ,因而解决的办法必定是一样的。论证的前提‘领先的永远不能被追上’是错的 ,在领先的时候没有被追上是对的 ,可是 ,如果让他跑过一段指定的有限距离 ,他就被追上了。”

亚里士多德的说法有些笼统。显然 ,他似乎认为 :正像从他有关追龟辩论点所引出的“有限的距离和时间被分成越来越小无限多的小段后其总和仍是有限的”那样 ,按比例越来越缩小的一段一段距离之和与对应的时间之和也是有限的。然而 ,对于大多数人来说 ,追龟辩所述图景的追赶距离和所需时间的无限次的外延与二分辩的距离内分大不相同。因此 ,亚里士多德的说法似乎不能令人十分信服。因此 ,本文有必要另行分析。

确实 ,按照追龟辩的追赶方法 ,无数次地追过越来越小的距离也不可能追上被追者。然而 ,无数次就意味着“永远”吗 ?我们知道 ,在追赶过程中 ,一个又一个的出发点分割出一段段越来越短的距离 ,相邻段距离之比以及经由相应所需时间之比同为被追者与追赶者速度之比 q ,其中 ,设最初两者距离为 S ,追赶者跑过最初距离的时间为 t1 ;那么追赶者跑过 n 段距离的总长 S 所需时间为 t n ;

t n = t1(1 + q1 + q2 + ……+ qn - 1)

t n = t1(1 - qn) / (1 - q)

由于 1 - q

n＜1 ,即使 n 趋于无穷大

t n = t1(1 - qn) / (1 - q)＜t1/ (1 - q)

t n＜t1/ (1 - q)

显然 , t1/ (1 - q) 为常量 ,因此 , 即使 n 趋于无穷大 , t n 仍然小于一个常量。

可以看出 ,按照追龟辩规定的追赶方法 ,无数次的追赶所用的时间实际上是被限定在特定值以内的。时间短到一定限度 ,阿基里斯当然追不上乌龟。可是在追龟辩里 ,在“无数次”掩盖下的限定时间( t n) 被偷换为“永远”,违反了亚里士多德逻辑学的同一律 ,因而其推理是错误的。由此我们可以清楚地看到 ,芝诺的第二悖论 — 追龟辩的逻辑漏洞确实已被锁定。

应该提及 ,吴国盛在《芝诺悖论今昔谈》中谈到人们可以利用无穷数列的方法证明 ,追赶者“所走的空间距离并不是一个无限量”,但是“算出了距离是

有限的并未解决问题”,因为“在这个方法中有一个前提 ,那就是阿喀琉斯最终追上了乌龟。这个假定说明 ,数学所告诉我们的不过是 ,如果能的话 ,需要

多少时间 ,但数学不解决‘是否能’的问题。”〔5〕经过比对可以看出 ,首先 ,与吴国盛所谈方法不同 ,本文直接证明的是“按照追龟辩规定的追赶方法 ,无数次的追赶所用的时间实际上是被限定在某个特定值以内的”,而不是“距离有限”;其次 ,本文证明“在追龟辩里 ,在‘无数次’掩盖下的限定时间被偷换为‘永远’, 违反了亚里士多德逻辑学的同一律。话又说回来 ,这里证明的仅仅是芝诺追龟辩的“逻辑推理本身”是否包含逻辑错误“, 能否成立”的问题 ,而不是去解决“能否追上”的全面论证问题。

D: 飞矢辩的破解

对于“飞矢辩”, 亚里士多德说 :他 (芝诺) 讲的“是飞矢不动。他是在假定了时间由瞬间组成之后得出这个结论的。如果没有这个假定也就不会有这

个结论。”亚里士多德又说 :芝诺的意思是箭在运动的任一瞬间必定在一个确定位置因而是静止的 ,所以箭就不能处于运动状态。亚里士多德指出 ,如果我们不承认时间具有不可分的单元 ,这种悖论就站不住脚了。亚里士多德的看法显然是时间不具有不可分的单元 ,即时间是无限可分的。但是 ,我们并没有看到亚里士多德如何由此驳倒飞矢辩。应该承认 ,飞矢辩的破解也许是四个悖论中最困难的 ,甚至连罗素也感到有些拿不准。罗素为了解决自己称之为“四个无限微妙无限深邃的悖论”之一的飞矢辩 ,甚至提出了三种办法〔6〕。

其一是 :时空虽确由点和瞬间构成 ,但其数目在任何有限的间隔中都是无限的。因为任何两个瞬间之间都有无穷多个瞬间 ,所以 ,任何一个瞬间的下一

个瞬间是找不出来的。其二是 :可以根本否认时空由点和瞬间构成。其三是 :可以根本否认时空的实在性。尽管第一条的某些内容可以让人接受 ,但要破

解该悖论 ,这三种办法都不能令人信服。实际上 ,飞矢辩的根本问题在于混淆了“瞬间”这一概念的两种含义。第一种含义是代表“时刻”( t) , 表示时间流程的一个数学意义的点 , 类似于运动中的“位置”;第二种含义是代表很小的“时间段”,表示两个比较接近的“时刻”之差 (Δt , 或 t +Δt - t ,或时间的无穷小量d t) , 类似于运动中的“位置差”或小段距离。“时刻”是没有长度的 ,而“时间段”是有长度的 ,即使有时其长度为无穷小。

其实 ,一个物体在一个特定“时刻”( 第一种含义的瞬间) 具有一个特定的位置 ,是十分自然的 ,既不能表示它一定是静止的 ,也不能表示它一定是运动的。在这一点上 ,吴国盛有过相近的说法“: 如果说一点物体在每一瞬间都处在一个位置 ,那么在这一瞬间 ,我们的确无法知道它是否是运动的 ,特别是解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞当时间和空间不连续时”。但是 ,他尚未意识到“瞬间”一词可能具有两种不同的含义。

没有时间段或时刻差 ,就谈不上速度的大小 ,或动或静 ,只有当物体在一个“时间段”( 第二种含义的瞬间) 内保持同一位置 (例如Δx /Δt 或 d x/ d t =0) , 才表示它在这段时间或瞬间是静止的。芝诺悖论之所以长期给人们带来很大困扰 ,还在于他看似简单的推理中包含着多重内涵。他所说的“箭在运动的任一瞬间必定在一个确定位置因而是静止的 ,所以箭就不能处于运动状态”这段话 ,实际上包含着几层意思 :

A1 箭在运动的任一瞬间必定在一个确定位置。(此处“瞬间”只能代表“时刻”,假如代表的是小“时间段”[ t ,位于 t 与 t +Δt 之间] ,箭将具有一段微小移动的非确定“位置”[ x 与 x +Δx 之间] 。)

B1 箭在运动的任一瞬间都在一个确定位置 ,因而在任一瞬间都是静止的。(此处“瞬间”又转而代表小“时间段”[Δt ]。在任一个小“时间段”只有一

个确定的位置 ,当然是静止的了。如果此处“瞬间”仍代表“时刻”,则无法推出箭是静止的。)

C1 箭在运动的每一瞬间都是静止的 ,而时间是由瞬间组成的 ,所以整个时间内箭就不能处于运动状态。(此处“瞬间”只能代表小“时间段”[Δt ]; 因

为时间由小“时间段”组成 ,在每个时间段箭都静止 ,整个时间内箭就不能处于运动状态。)这里 ,我们终于可以看清楚芝诺如何在其悖论中深藏不露地偷换“瞬间”概念的内涵了(在 A 里代表的是时刻 ,在 B 和 C 里代表的是时间段) 。找到违反同一律的逻辑破绽 ,飞矢辩亦被破解。可能有人认为 ,如果视“瞬间”为无穷小量 ,而无穷小量可以是零 ,那么两种含义的“瞬间”就可以成为单一的“时刻”意义了。然而 ,这是不可能的。实际上 ,关于无穷小量问题在 19 世纪已由柯西等数学家解决。答案是 :无穷小量自身不为零 ,但其极限为零。无穷小量同其极限是没有交集的两个不同概念。此后 ,在严肃的数学分析的演算中 ,无穷小量不再被等同于零〔8〕。在文献〔1〕中 ,曾举出一个例子(该例的 ds、d t 的

写法不够准确 ,似应写作Δs、Δt) :

ds = x 2 - x 1 = gtd t +12gd t2

v = ds/ d t = gt +12gd t

令 d t = 0 , 得 v = gt

这种推导是牛顿时代不严谨的作法 ,尽管结果是准确的。实际上 ,按照柯西的理论 v ≠Δs/Δt gt+12

gΔt ≠ gt

但Δs/Δt = gt +12gΔt

由于Δs/Δt 的极限为 v , gt +12Δt 的极限为gt

所以 v = gt (相等的函数其极限也相等 ,极限存在的准则 I 的推广 ,文献〔9〕第 228 页)这里 ,并不需要令Δt 或 d t = 0 ,实际上Δt 或 d t也不等于零 ,尽管它无限接近于零。柯西的理论确实使用了无穷小量的概念 ,但它从来不需要也不允许无穷小量等于零 ,也就不受错误的所谓无穷小量悖论的影响〔8〕〔9〕。因此 ,无论“时间段”意义的“瞬间”是否为无穷小量 ,它都不会等同于“时刻”。需要指出的是 ,为了走出飞矢辩的窘境 ,有的学者走得太远了。他们认为 :芝诺悖论的“全部要害在于用运动轨迹代替自身”,或是“用数学化的运动轨迹代替物理的运动轨迹”。吴国盛也认为“时空的分立点结构所导致的问题也许是更为深刻的”。

事实上 ,本文的论证过程表明 ,对飞矢辩的破解既不依赖数学化的运动轨迹 ,也不牵涉物理的运动轨迹 ,也未求助于时空的分立点结构。对亚里士多德逻辑学的准确把握和严密运用或许更为重要。芝诺悖论的逻辑破解 ,或许会压缩某些“哲学戏说”的空间 ,但对芝诺概念的借用、转化和升华不会终止。思辨更多转向更尖锐的前沿领域 ,也许是哲学发展新的契机。

参考文献

〔1〕张兴 1 芝诺悖论的结构[J ]. 自然辩证法研究 , 20041(11) 1

〔2〕Kline Morris1 Mathematical Thought[ M]. New York : OxfordUniv1 Press , 19721

〔3〕克莱因 1 古今数学思想[ M]. 上海 : 上海科学技术出版社 ,19791

〔4〕北京大学哲学系 1 西方哲学原著选读[ M]. 北京 : 商务印书馆 ,19811

〔5〕吴国盛 1 芝诺悖论今昔谈[J ]. 哲学动态 ,1992 (12) 1

〔6〕Apostle H G1 Aristotle’s Philosophy of Mathematics[ M ].Chicago : University of Chicago Press ,19521

〔7〕吴允曾 1 关于形式化的几个问题[J ]. 哲学研究 ,1998 (12) 1

〔8〕Boyer ,Carl B1 The Concept of Calculus[ M]. Hafner Publish2ing Company ,19491

〔9〕樊映川 1 高等数学讲义 [ M ]. 北京 : 高等教育出版社 ,自然辩证法研究 第 21 卷 第 11 期

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