芝诺悖论详解（三）

第二部分：奇点O群内讨论部分观点

在奇点O的群内讨论里， 一些发言比较松散，但从不同角度也给出了一些新的解释：很多问题，正如王良的感觉，连续与离散------以及类似的一些对立范畴，对立本身的呈现，以及统一，就引发了逻辑的动乱。

王良：我也是感觉一阵清醒一阵糊涂，实数的不可列性，世界到底是连续的还是离散的？实数 能代表连续的最终定义吗？闲一点就脑仁疼。

从来就没有什么东西是静止的，我们确总想通过思考把他静下来。本身是不是就错了？

相对论物理上那么多字在解释“相对”，数学上其实一个符号早已概括—— “=”

总想把本无静的东西静下来

W:找不到答案也有可能是问题错了

答案超越问题的定义范围

可能很多时候只要提问和求解，不一定需要答案

林中空地：这正好说明：没有深厚的数学功底，数学概念是玩不下去的

它无法用基于日常经验的语言表达清楚

世界到底是连续的还是离散的？” —— 瞧你这问题问的

段淇才：时空不是无限可分，我们用芝诺悖论做头脑实验证明过哈

解决芝诺悖论的唯一办法是接受时空不是无限可分。

先不要引入时间，只考虑空间是不是无限可分。

段淇才上传示意图：1/2、1/4、1/8、1/10

黄岱永：这是最直接，最清楚的经典解释

乘风破浪：芝诺悖论所悖的地方与解决办法与连续离散无关

黄岱永：数学严密的逻辑限制了数学人的创新与对数学本质的洞察。我猜想，随着人们对智能本质的反思的不断深入，一类类似于寒武纪生命大爆发的数学时代正在来临，一些完全创新的数学方法--思维梗(模块化思维架构)正在酝酿中，它们的诞生，将势如破竹地解决一系列数学难题。犹如解决了黎曼猜想，N个数学问题就尘埃落地一般。

纽约老熊：你说的这些也很烧脑子

陈万钢-HF: 感觉你说的向财务人员缺乏灵活性和远见一样

黄岱永：从科学史的角度看，不是从科学角度看，呵呵。

罗莫：@黄岱永 ①先证明U（3x＋1）∩ ∪（2＾n）＝U（ 2＾m），交集非空，一定有解。②再证明任意给定数的迭代解集∪〈（3xi＋1）／2＾t〉 ∩（ 2＾n）＝∪（2＾m），交集仍然非空。这两个命题是可证明的。需要一点小小的突破。其实＂考猜获证路非遥，说破人须失笑。＂一一大爆发的数学时代可能源于一个微小发现。

黄岱永：见微知著，皆有可能。

黄岱永：芝诺悖论

经典解释：

基于“取其半—中点”方法，并在有限时间内通过该中点的过程。

1：由A到B,可分无限多个中点，有限时间内无法通过无限多个中点，但飞箭事实上通过了，所以，空间必定是离散的---飞箭只是仅是通过了有限个（被分割的）中点；

2：（背景）空间是连续的，但飞箭的运动是非连续的，飞箭在微观上的运动类似于一类跃迁（跳跃着跑，这个不奇怪，如量子跃迁一类运动，飞箭不必穿越每一个中点，它”跳过”了中点）。

非经典解释：

定义：1：S（x）--可划分中点:；2：C(x)---越过中点 分别为两次操作，对应两个函数。 （其中X为一次对应的操作数）

实际上，在某一个区间（如对宏观时空和微观时空区别敏感的尺度的某时空邻域）可把S（x）与C(x)作（也可定义一类非连续的）泛函分析，存在一类变分思想的应用，由此其经典性质逐渐向非经典性质变化，芝诺悖论的推理将是一个动态的变化过程，不能只做经典推理。

直观地看：“可划分中点”和“越过中点”这两个具体的操作，在经典时空与非经典时空（量子时空）里，是不一样的，在量子微观世界里，飞箭已貌似是一类比较扁的“一类椭圆星系”意象，由无数的量子组成，在量子世界里，“可划分中点”已不可经典操作（海森伯测不准原理），“越过中点”—对于量子概率波不但没法操作也没有实际意义。所以，芝诺推理在逼近非经典时空时，必须终止。

《计算▪探索与复兴▪悖论计算》（未出版） 文摘：

【首先，我们需要区别在逻辑、数学与物理的语境那些不同的意义.......

实际上，这是东方思维的一个科学推理的范式变换，道，云其“变易”，佛，云其“无常”，一个动词---一个操作---一个过程---一个语境，在实际中也是处于无常和变易之中的。

例如，庄子的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”，动词“取”---一个操作---一个过程---一个语境，在实际之中，不是不变的，此处不妨把庄子之尺看一把木尺，在经典时空，可以“取”（实际上是给出一类客观操作规范）下去，直到到木尺分子（还能保持木尺基本属性的最小分子结合物）尺度，比如最后“取”之只剩两个“木尺分子”了，这时，再“取”一次，其中一个被“取”过的的木尺分子的再被“取”一次后，就已不再是“木尺”（木尺在分子尺度上由此消失）了，显然，这时“取”的这个动作的结果已发生了质变，取后的“部分”已不再是“木尺”-----“取”的外延意义质变了；我们不妨叫这个部分为X，，再对X继续“取”……，得到原子核，再“取”其核，得到质子和中子，这时已没有经典的“两半”的概念了，以至于后面粒子和“取”粒子（分开粒子的方法）由质能转化关系，我们已根本分不清楚了，此时“粒子”和“取”（一种能量表征）是一体两面，由爱因斯坦质能转化公式所刻画。此时的“取”的概念相对于经典概念其内涵也发生了质变。也就是说，上述命题的“取”在操作足够多次后，取的原来意义已渐渐消隐，导致原命题失去了意义。

故有云：以其变而观其不变，不变变矣；以其不变观其变，变不变矣。】

黄岱永：芝诺悖论混淆了在数学时空与物理时空，经典时空与量子时空的不同划分下，不同的学科规律和思考方式，只有回归"有界讨论"(或声明具体的环境语境)才有意义。

刘峰：感觉一直缺少主语，是谁取其半，是谁在有限时间内，是谁要求谁一定要在有限时间内。这个谁又是谁？

黄岱永：默认的人这个观察主体

hjcai：逻辑上问题在哪里？

黄岱永：参考观点:本质上，是概念混淆。也相当于数学上，不顾定义域，随便引用函数，导致函数取值错误。逻辑上有点类似于"一斤重的棉花比一米长的铁管更大"这类概念混乱的命题，但前者更隐蔽些，数学逻辑(基于抽象) 物理逻辑(基于实验)，经典时空的逻辑也异于量子时空的逻辑，对它们(这些逻辑)不严格区别的话，导致总体逻辑混乱是必然的结果。

hjcai：逻辑比数学和物理更底层呢！逻辑悖论不应该通过引进数学或物理来解决

黄岱永：如果纯逻辑讨论的话，也可以，我们或者把芝诺悖论再逻辑抽象一下;纯数学讨论也行，用类似于哥德尔配数的方法形式化芝诺悖论 然后再来研究讨论，以避免概念混乱

1_行为主义 联结主义和符号...

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三、符号主义的局限性

哥德尔不完备定理指出，不论给出什么公理系统，我们总是能找到一个命题，这个命题在这个公理系统中既不能被证实也不能被证伪，即永远都会有公理以外的东西。换一种方式理解,就是不管列出多少条规则,总有内容不能被囊括其中。有一个经典的例子就是芝诺悖论( 或阿基里斯悖论)：阿基里斯是古希腊跑步很快的一个人,这个悖论就在于阿基里斯永远追不上乌龟。这个结论看起来十分荒谬,从常识来看，他肯定几步就能追上乌龟，但论证者在逻辑上是这样解释的：比如用数字来形容，如果阿基里斯是乌龟10倍速度，而他离乌龟有100米； 假如阿基里斯跑100 米，那个乌龟也已经朝前爬了 10 米,乌龟还在他前面；阿基里斯再走10米，乌龟又走了1米，他还在乌龟后面，阿基里斯继续朝前走1米，那个乌龟又走了 0.1 米· · · · · ·论证过程本身没有错误,问题在干其论证用的描述系统具有边界。也即这类论证者在自己限制的范围内是没错的,因为这个封闭系统的时间并不开放,所以阿基里斯永远跨不过系统的时间边界，在空间上也就永远追不上乌龟。

这个悖论正好说明假设本身可能有局限性，那么假定的世界就并非真实世界。符号主义很可能也面临类似的问题,不管制定多少严谨的规则,总会有一件事是真实会发生但却不被规则包含的。因此符号主义会失败就不难理解，因为它无法涵盖所有可能。联结主义则不停迭代，它由博到约、由约到博不断往复，总能“折腾”到一个比较好的状态，只是现在的深度学习还没到这种状态，依然有进步空间。深度学习存在一个所谓的“极小问题”的瓶颈。人类大脑有一个信息精炼的过程，有利于跳出极小等这些机器在深度学习里遇到的问题。

符号主义是理想化的,它希望我们能够猜出来理念世界最本底的规则,以此来构建世界的所右规律。但就像我们已经讨论过的，没有一套完美规则能涵盖所有。现在用的计算机是图灵机，也是符号主义、遵循规则。但为什么它又能产生新的东西？我们认为原因在于图灵机并不是封闭的。图灵曾经也提出了带有oracle(预言机）的图灵机的设想，停机问题在图灵机里没法解决，但假如有oracle 可能就能够判定是否停机了。②现在深度学习的这些数据可以看作是一个oracle，听起来很悖论：我们用的是图灵机，而图灵机是规则的。但问题是和外界的交互不是不变的，假如说数据集完全确定不再更新，那这个图灵机就不会产生新的东西,但我们面临的世界一定有新东西不断输入,所以一定不是绝对意义上的图灵机。

我们不知道深度学习效果好的原因，即深度学习对人来说依然是不能解释的黑箱。其原因在于深度学习抓取的特征和人抓取的特征没有太大关系。我们可能会根据某人外貌给他起外号,其他人能理解就在于这些外号抓住了突出特征。但机器抓特征更像是眉毛胡子一把抓，人类并不能理解机器给出的成万上亿的特征。

我们正在尝试在深度学习上使用原来的框架，抓取人类能理解的特征。原本的深度学习过程不是很清晰，现在就是要把这个做得更清晰,一方面是将模型大小尽可能地压缩，另一方面是在图片识别上尽可能地放开、多纳入一些特征进来。我们希望看到经过这样训练过的网络模型能更像人一样,把耳朵、眼睛、鼻子、嘴、下巴等这些人类可以理解的特征抽象出来，而不是原来那种提取出上亿个参数。如果这样发展下去，人跟机器未来应该是能互相理解的，而这个思路背后指导的概念就是认知坎陷。当我们在白天走进一间教室，可能不会意识到电灯的存在或窗帘的款式,而最先关注到坐在里面的人或者是PPT上放映的内容。人们观察和理解这个世界的过程往往类似，总是注意到部分重点，而不是每个节。而机器是按照像素来辨别环培，H如在教室里放置一个摄像头它就会将视甲： 所右内

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1 胡久稳《希尔伯特第十问题》，哈尔滨工业大学出版社2016年版，第1-9页。

② T. Ord “The diagonal method and hypercomputation”，The Britich Journαl for the Philosophy of Srience,2005,Vol.56, No.1.

③ 徐英瑾《心智、语言和机器——维特根斯坦哲学和人工智能科学的对话》，人民出版社2013年版，第97-107页。

只说：像素论跟原子论有何区别？

段淇才：解决芝诺悖论的唯一办法是接受时空不是无限可分。

像素是立体方块。比原子论更清晰。

立体方块可以把空间填满。

只说：原子之间没有空隙

原子之间没有差异

段淇才：那真空呢？

只说：真空是虚空啊，在原子论。

这跟你像素说有啥区别啊

日月老师是现代德谟克立特。以后叫你老德？

段淇才：原子论没有明确几何形状啊。

理论其实不属于任何人

虚空也是方块搭建的。

林中空地：回到更基本的逻辑问题：思想通过语言表达对象，语言总是有限的，那么有限的语言是否可能表达无限的对象？如果不能，无限的对象是否“存在”？即“无限”是否存在？

具体点说，当我们谈论一个无限集合时，我们是在谈论什么？我们能从概念的外延谈论它吗？

肯定不能从概念的外延谈论无限集合，那怕它是可数无限集

所以仅能从概念的内涵谈论

这正是我想“表达”的

黄岱永：具体地说，如是你信仰或选择实无限的概念的话，那么你可以从概念的外延去思考和谈论无限；如果你选择潜无限的话，那么，严格地说，没有通常的概念可清楚描述的“概念”，自然也没有通常意义的概念“外延与内涵”，比如在实数轴上，当你沿着实数轴向右前进的地话，“无限”这个概念的内涵和外延是在变化的，比如你会发现不等势的无限--不同的概念，这个概念本身的内涵就在变换，不仅是阿列夫零，由于NH在ZDF不可证问题，谁也不能保证你在路途中不会遇到出乎意外的其它的“无限”幺蛾子........

林中空地：怎么从外延去思考谈论无限？列举出来吗？

可数无限你也列不出啊

数学表达式到是常常假装是可数无穷形式：a1+a2+…+ak+…

我想，这正是人们能够接受可数无穷作为潜无穷的原因

人们混淆了思想及其表达的有限性与思想及其表达的对象的有限或无限性

我是从内涵上谈论着是否可以从外延上谈无限

既不要不去了解前人的东西，自己“瞎想”，也不必“言必称希腊”，凡事都要请教老祖宗。

另外，努力在思想的精确性、深刻性、活跃性中寻找平衡。

在我看来，思想的深刻性是第一位的

在微信上聊天常常是“原发性”的，这和写文章的“回塑性”不同。文章可以写得很完美，但失去了“原发性”。.......

人类的讨论似乎永远都是混乱不清的，自以为是，很难理解别人，陷于各自的知识结构和逻辑闭环里，快乐而矜持地在理性之海挣扎着......,但也正是这类“混乱”，孕育了人类特有的灵感与机敏，为创造未来而埋下了伏笔。

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