几何学

目录

缘由 ▹

几何学的历史 ▹

离散几何与连续几何 ▹

图的几何学 ▹

结束 ▹

缘由

学习微分几何的时候，看到了一本奇怪的书，也就是几何分析，看不到通常的数学构造，取而代之的是算子，函数，微分方程之类的东西。难怪很多人称之为新领域。只不过，涉及到算子与微分方程，理论就会显得很复杂，所以，关注的人也不会很多。既然已经存在这样的非传统的几何学，那不妨谈一谈我所构想的一种万有几何学。

几何学的历史

在讨论抽象理论之前，不妨考察一下几何学的历史，多一些感性材料，几何往往被称为空间形式，也就是说在某个空间中呈现出来的图形，最初就是平面图形，欧氏几何，点，线，面，三角，正方，圆之类的图形，他们的关联，以及计算关系。这就是经典几何学，后来发展出来了仿射与射影几何，透视原理，这是艺术创作对数学的推动作用，即使在几天，透视原理与画法几何也是几何学最重要的应用，人们所认为的几何学基本上也是这个模样，就像画画一样。再后来，是第五公设的打破，导致了非欧几何，椭圆几何，球面几何，双曲几何，可以说点出了一个关键概念，空间的弯曲，这也是后来高斯曲率，黎曼曲率的由来，传统几何学是在平直空间中进行的，也就是平面，而非欧几何是在弯曲空间中进行的，也就是球面，伪球面，他们具有本质性的不同，曲面的弯曲程度，就像我们对一张纸进行的操作，弯折，折叠，团成一团，在火上烤的凹凸不平，浸水后导致的褶皱，我们采取的这些操作直接塑造很多奇特的非平面的空间，称之为弯曲空间可能都显得太过局限，因为折叠不满足可微性，折纸难道就不是几何了吗？不要带有这种偏见。

所以，当人们意识到空间可以弯曲折叠的时候，几何学就已经发生了根本性的改变，这就是后来出现的微分几何，当这些弯曲空间满足某种性质时，可以定义为微分流形，在流形上建立几何学理论就是微分几何。那么自然的，我们可以考虑在折叠空间上的建立某种形式的几何学，这样的几何学甚至比微分几何还要深刻，就像可微函数族之于连续函数族一样，我们可以认为微分几何是建立在可微函数上的，那么连续几【这是随意起的名字，毕竟我不清楚是否有这样的几何学】就是直接建立在连续函数上的。自然的，可以考虑比连续函数还要基础的函数，可测函数，那么是否存在可测几何呢？还可以直接一步到位，考虑最基础的函数，集合函数上的几何，所谓的集合几何。

这就是通过函数族所诱导的几何学，有没有觉得很自然呢？复几何之于解析函数，微分几何之于可微函数，连续几何之于连续函数，所以是一种自然的推广。当然，这并不是我所要阐述的内容，这顶多算是几何学，拓扑学与函数论的统一理论。通过函数诱导拓扑，在拓扑上建立几何。

离散几何与连续几何

这一部分讨论另一种几何学的建立方案，那就是按照点的分布形式建立，点集除了有限集就是无穷集，有限集容易刻画，无穷集却有很多奇异性，比如康托集，他是一种很奇特的集合，通过递归构造出来的离散的不可数集，也就是说按照通常的模型来说，你可以一个一个的数出来这个集合的每一个元素，就好比你一个一个数出所有实数。听起来像一句玩笑话，但是他所呈现出来的性质确实如此，不可数的离散点集，那么康托集上的几何是什么样子的呢？往往被称为分形几何，也就是通过递归方法制造的无穷几何形。这种几何与函数诱导的几何很不一样，其实只是因为目前的人类数学太落后，不认为任意集合函数可以诱导几何学导致的，康托集再复杂也不过是一个集合函数，所谓的实函数，无非是这种函数通过递归方法定义，显得不可理解。

无穷集除了康托集，还有其他的类型，比如实数集，他通常被看作连续统，具有某种序完备性。实数集上的几何往往被称为连续几何，有限集上的几何就是离散几何，中间其实还隐藏着一个分形几何，这就是按照点集的类型所诱导的几何学，目前的话，我了解到人们试图将连续几何与离散几何统一起来，也就是说在数论中定义连续几何，而在分析中定义离散几何。前者可以看作解析函数方法，把数列看作特殊的函数的特征点集，也就是说生成函数方法，任意数学配合特定的函数基生成连续函数，而后者则是离散不变量方法，通过离散的谱刻画连续函数的特征，比如拓扑不变量，微分不变量，代数不变量，都可以，这就是离散几何与连续几何的统一理论。似乎也可以看作朗兰兹纲领。当然我对这个理论了解不多，只知道他涉及了数论和函数论的统一。形式上看，似乎就是离散和连续的统一性。

但是，是不是漏了些东西，对，分形几何是怎么回事，难道说他不能被统一进去吗？这个就涉及到了非线性微分方程，动力系统与混沌理论，分形几何确实是普遍存在于数学现象中的，但是，问题在于人们没有办法去研究他，他是以迭代的形式体现的，而迭代意味着复杂度的折叠，最好不要去展开他，展开一个迭代公式会出现指数爆炸现象，项的数目以指数级增长，很快就超出了可表示范围。这就是问题所在，不是说人们把他漏掉了，而是因为人们没有能力去处理这样的对象。时至今日，分形与混沌相关的理论看上去仍然像玄学而不是数学，因为计算不可能，也只能通过观察数学对象的图形来猜测一些性质，就像流体力学做的那样，因为计算不可能，只能通过经验来推理一些东西。这些东西即使有用，也不知道是不是严格成立的，有没有例外情况。

由此，几何学的基本样貌就清楚了。然后才是我要谈论的东西。

图的几何学

看起来不可思议，但是显得理所当然，毕竟我的基本观点就是所有的数学对象都代表了某种图，所有的数学理论都是图论的子集，刻画了特殊形式的图，这里提及的图论具有超越性，他不是数学体系中的图论，而具有某种象征性的意味，就像人所看到的所有事物都是图，是这个图的含义，不是数学中的图。那么原则上人们所能理解的一切事物都是图，以图的形式重建一切数学理论才具有可理解性。

这个图有几何吗？这个问题很没有水平，因为只需要反问，你看到的事物具有规律吗？这才是人类所具有的一种的终极的几何学，将眼前所见的一切事物几何化，这种几何学甚至都不需要你去思考，大脑会自动的完成相关的计算，电线是平行的，墙角是垂直的，看到了球，看到了正方形，三角形，以及其他，你需要考虑自己为什么能看到并且认出这些东西吗？肯定不需要啊，这就是一种默认认知方式，学过语言和概念后，自然就具有了这样的能力，而且所有人都具备这样的能力。

所以，图的几何学就是可理解的几何学，对这种几何学的建立，发展与替换会直接重建人的认知体系，实现自由的认知模式替换，假如说这是未来的数学，你觉得如何呢？有没有信心在这个时代就建立起这套理论呢？

让我看的话，时机不成熟，因为认知学的发展不够充分，人眼所见的事物，对这些事物的分类，命名依赖于何种机制是不清楚的，那么假如我们想要替换这种默认模式，根本就不知道从何入手。而假如可以实现了，不如先构建出来完全的虚拟现实技术，又何必去搞什么几何学呢？那么只能是虚拟世界完全建立，人们已经厌烦了，打算在现实建立虚拟世界时才会去关注这样的科学领域，不妨当作科幻听，只需要调整一个按钮，眼前的一切事物都会像添加了滤镜一般，变得多姿多彩，可以肉眼看到电磁波的海洋，可以肉眼看到所有的声波，可以把所有的事物分解为基本振动，这样的技术可以称得上是惊世骇俗了，每个人都成为了超人。

所以，我一直再说现有的科技水平太低，数学太局限，这并不是什么嘲讽，而是谈论一些简单的事实，把想象力彻底解放之后，世界会变得非常精彩，无论是虚拟，现实，真实，科幻，他们都可以被看作认知中的现实。只不过，距离实现的那一天，估计会很远很远，或许是几万年，或许是几亿年，或许人类已经不存在了，换做了其他的智慧生命。不过，即使沧海桑田，数学依然存在，没有丝毫的改变。这就是数学的超越性。

结束

科幻是科学文明的诗，带有未来性，激发人们的向往之心，而数学科幻，其实就不是幻想了，而是一种数学超越性，即使时空消失，数学依然永存。不过，数学科幻的限制在于物质载体的不完备性，很多数学结构无法实现为真实世界的造物，其实，有一条捷径，那就是虚拟世界，数学规律都具有真理性，只要构造就必然出现，那么在虚拟世界中，物质是极大丰富的，不会受到现实世界的制约，那么实现任意的数学结构原则上没有任何问题，因此游戏可以认为是一种虚拟数学，将数学规则以游戏的形式体现，从而制造现实中无法观察到的现象，产生惊奇感。具备了这样的技术，很多抽象数学构造就具备了可见的性质，通常也被称为数学可视化。所以，数学可视化并不局限于人们所认为的那样，具有深刻的影响。

简单举例，可视化依赖于规则与对象，规则为数学规律，对象为具备了某种数学特征的物体，那么物体在规则下的演化就是数学规律的可视化。所以，他也是一种基于模式的数学理论，具有对象无光性，只要给物体赋予数学特征，就能实现对应的数学演化，考虑三维建模，是不是对每一个物体都能拉伸，旋转，平移，这已经说明了数学理论是对象无关的。他是一种性质，性质与物质的结合，给出来的才是物质运动，同样也是数学可视化。所以这里也有一个等式，物质运动=数学可视化。

其实，之前也获得了很多等式，数学=物理，数学=逻辑，数学=游戏，数学=科学，每一个等式的物理实现都代表了文明的一次深刻转变。只不过，想要实现这些等式，还有有赖于所有人的努力。这就是成人科幻，将科幻具现化为现实，而不仅仅是一种幻梦。

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