巴拿赫-塔斯基悖论

目录

等度分解 ▹

第一阶段-忽略些难搞的东西 ▹

轨道的分割 ▹

难搞的点 ▹

重组 ▹

第二阶段-搞定多余的起始点 ▹

第三阶段-希尔伯特旅馆 ▹

搞定多余的不动点 ▹

搞定球心 ▹

巴拿赫-塔斯基悖论 (Banach-Tarski Paradox) 是一个从古典几何学过渡到解析几何后失效的经典例子，其展示了对于一个单位球 (Unit Ball) B：＝{(x，y，z)∈ℝ²：x²＋y²＋z²＝1} 可以被分解为有限个单位（比如5块），再重组后（刚体移动和旋转）可以形成2个不连接的单位球，相当于体积变成了2倍！从一个单位球变成了两个单位球！来看看人类理性带来的有趣悖论。（如果你不理解无限、可数无限、不可数无限的话应该是理解不了的，可以去搜搜看）

等度分解

先来理解一个从古典几何学就存在的概念 -等度分解 (Equidecomposable)。

在数学中，两个几何物体（也就是解析几何中点的集合）是等度分解的，就是说可以将一个几何物体分割 (Partition) 成有限多个元素，同时使用这些分割的元素通过旋转、平移，重新组成到另一个几何物体。倘若可以这么做，那么我们就说这两个几何物体是等度分解的。

因此乍一看巴拿赫-塔斯基定理是真的很怪。为啥一个球可以分成一些份，然后可以重组为两个球。其实这就是选择公理 (Axiom of Choice) 使用的结果，组合起来的东西是没法测量的 (Not Measurable)。（这个我们放到测度论去聊，现在先来看下这诡异的悖论）

第一阶段 - 忽略些难搞的东西

我们先看第一阶段的描述，可以将一个不包含球心的球分解，重组为两个不包含球心的球，还多出一些不用的部分；第二阶段中，我们再看多余的部分怎么通过一些调整被包含在重组的不包含球心的球里；第三阶段，我们把球心塞回去。

既然要分解，我们肯定要选取一个角度。任何不是π 的有理数倍的角度都是可以的。基本原则是当球绕着某个轴按这个角度旋转不管几次（即使是可数无限次），除了旋转轴上两点，任何点都无法回到原来的位置。

比如我们按经典设置，可以令

1

θ＝arccos(─) ，

3

这就不是 π 的有理数倍。接着我们考虑球所有绕 x-轴和 z-轴的旋转序列（不需要 y-轴，这两个就足够了），每次旋转都是 θ 的角度，我们简单将绕x-轴正方向的旋转和反方向的旋转分别用 x，x⁻¹ 表示，同理绕z-轴的旋转用 z，z⁻¹ 来表示。

球上选一个任意点，任意按x，x⁻¹，z，z⁻¹ 去旋转，我们得到一条旋转轨迹 (Path)，这条路径将这个点映射到了球上另一点。注意，我们不去记录往返的轨迹，如 xx⁻¹，x⁻¹x，zz⁻¹，z⁻¹z ，这些旋转都会相互抵消掉。

当对一个起始点遍历过所有可能的轨迹，我们得到了这个点能到达的终点的集合，我们将这个集合称为轨道 (Orbit)。

因为轨道上的轨迹和轨迹上的点都是可数无限，但是球上有不可数无限个点，我们必须在球上对不可数个点重复这样的操作直到覆盖了整个球上的点。因此我们会有不可数无限条轨道。

好的，现在我们有了一个集合是覆盖整个球所需要的可能的轨道。但是我们没有直接挑选它们的办法，为此我们需要使用选择公理。

选择公理的表述会有些出入，这里采用的是：将一个集合和一个这个集合的等效关系 (Equivalence Relation) 作为入参，返回一个函数，这个函数对于是表示每一个元素所属的等效类 (A Representative of The Equivalence Class It Belongs To)。对于一个等效类，表示是唯一的：对于同一个类的两个元素，这个函数的返回值是一样的。

对于我们而言，在同一个轨道上就是一个等效关系。使用上述的选择公理我们就可以得到覆盖整个球的轨道：选择函数的像 (The Image of The Choice Function) 会给我们轨道上所有的表示。简单理解就是我们可以通过其挑选球面上的点了。

轨道的分割

有了这些我们就可以分割我们的球了，选择一个轨道，我们对轨道上的点分为五个集合：

1. 起始点

2. 所有轨迹以 x 为结束的点

3. 所有轨迹以 x⁻¹ 为结束的点

4. 所有轨迹以 z 为结束的点

5. 所有轨迹以 z⁻¹ 为结束的点

可想而知这就是一个轨道上所有的点。

但是有些点是很特殊的，如x-轴上的点 (1，0，0) ，倘若它是起始点，那么它肯定在第1个集合里，但同时，因为旋转操作 x 和 x⁻¹ 都不改变它的位置，它也一定在第2和第3个集合中。

类似的点在每个轨迹都有，可以说只要是旋转轴与球的交点就会有这个问题，它一定会出现在至少两个集合里（一个起始点，一个终点）。

难搞的点

注意，我们上方说的是“每个轨迹都有”。因为我们有可数无限个轨迹，因此有可数无限个不动点。我们将其列为一个集合 D 。因此如果我们除掉这个集合，也就是说我们讨论的是 B\D 。那么上面五个集合就形成了一个对于他们轨道集合真实的分割了。

重组

好的，我们可以来看这个情况下的巴拿赫-塔斯基悖论了。对于除了集合D 的点，我们总体归纳为5个集合：

1. 集合 M ，包含全部起始点

2. 集合 S(x) ，包含全部轨迹以 x 为结束的点

3. 集合 S(x⁻¹)， 包含全部轨迹以 x⁻¹ 为结束的点

4. 集合 S(z) ，包含全部轨迹以 z 为结束的点

5. 集合 S(z⁻¹)， 包含全部轨迹以 z⁻¹ 为结束的点

因为M 包含了对于每个轨道全部的表示，它就是我们选择函数的像。这5个集合就构成了一个关于除去点 D 的球的分割。

这5个集合每个都包含了不可数无限个点。

重点在于我们可以只用集合2、3构建一个球！

我们可以直接使用集合2，再在把集合3做多一次x ，因为集合3是以 x⁻¹ 结尾的，那么所有 x⁻¹ 都会就会和 x 相互抵消，这时集合3里的点可以重新分配为

1. 集合1，起始点 M ，来自于原来起始轨迹就是 x⁻¹

2. 集合3，所有以 x⁻¹ 为结束的点，来自于原来轨迹是以x⁻¹x⁻¹结尾的轨迹

3. 集合4，所有以 z 为结束的点，来自于原来轨迹是以zx⁻¹结尾的轨迹

4. 集合5，所有以 z⁻¹ 为结束的点，来自于原来轨迹是以z⁻¹x⁻¹结尾的轨迹

只会分配到这4个集合里，不会分配到原本的集合2中，因为原本的集合3中不可能出现以xx⁻¹ 结尾的情况（这样就相抵消了），因此，我们发现原来的集合3经过旋转后其实就是集合2的补集 (complement)， xS(x⁻¹)＝S(x)ᶜ

同理，集合4和5也是这样的关系。

由此，我们就从集合2+旋转后的集合3得到了一个球，又从集合4+旋转后的集合5得到了一个球。

当然这两个球目前都除去的集合D ，同时我们还有集合1里的 M 点作为多余的部分。

这就是第一阶段~

第二阶段 - 搞定多余的起始点

接着我们来思考多余的部分M ，开始第二阶段。

现在我们将原来的集合1，也就是M ，加到集合2中，这样除了集合 D 以外，我们的分割变成了4个集合

1. S(x)∪M

2. S(x⁻¹)

3. S(z)

4. S(z⁻¹)

但这样我们不能直接使用第一阶段的论述，因为这样M 会出现了2次，一次在 S(x)∪M 中，另一次在旋转后的 S(x⁻¹) 的集合1中。为了解决这个问题，我们考虑一个新的集合 G 使得

G＝x⁻¹M∪x⁻²M∪x⁻³M∪. . .

我们把这个集合加到集合1中，并从集合2中剔除，于是

1. A₁＝S(x)∪M∪G

2. A₂＝S(x⁻¹)\G

3. A₃＝S(z)

4. A₄＝S(z⁻¹)

又因为

xG＝M∪x⁻¹M∪x⁻²M∪. . .＝M∪G

当我们用 x 旋转了 A₂ ， M 也就从 A₂ 中被排除了。

重新审视这个时候的xA₂ ，我们得到了新的一组集合

1. 集合1，此时是一个空集了 ，来自于原来起始轨迹就是 x⁻¹

2. 集合3，所有以 x⁻¹ 为结束的点但是除去了所有从起始点出发只做 x⁻¹ 方法移动的点，也就是 G ，来自于原来轨迹是以x⁻¹x⁻¹结尾的轨迹

3. 集合4，所有以 z 为结束的点，来自于原来轨迹是以zx⁻¹结尾的轨迹

4. 集合5，所有以 z⁻¹ 为结束的点，来自于原来轨迹是以z⁻¹x⁻¹结尾的轨迹

于是A₁ 和 xA₂ 就又符合我们第一阶段的论述， xA₂＝A₁ᶜ ，作为了新的一种分割形成了一个球。这样的两个球，就没有多余的部分了，只是我们还没有包含集合 D 里的点。

第三阶段 - 希尔伯特旅馆

搞定多余的不动点

为了考虑D ，我们需要使用希尔伯特旅馆 (Hilbert's Hotel) 的招数。通过旋转，用一个点去填补 D 里的一个点，再用另一个点去填补刚出现的空缺，重复无限次，这样整个球就填满了。希尔伯特旅馆的方法每次听都很不可思议，所以让我们再仔细思考下。

我们先选取一个轴，轴上两个点并不在D 里。这是可能的，因为我们说过 D 是可数无限，但球面上的点是不可数无限。其次我们考虑一个旋转角度，所有以这个角度的旋转记为集合 J₁ ， J₁ 里至少有一个点可以使得 D 内一点映射到另一个 D 内的一点。

又因为D 是可数无限的，我们需要可数无限个 J₁ 这样的旋转，将所有这些记为 J ，显然 J 也是可数无限的。

但是对于不可数无限个点，所选择的轴也是有不可数无限的，因此，对于 J 里不包含的旋转我们记为 ρ 。

J 是用来填补 D 中缺口的，而 ρ 则不论如何旋转都无法填补 D 。由此我们定义一个集合

E＝D∪ρD∪ρ²D. . .

这些是从 D 中点出发的所有旋转，但是没有一次会落在 D 中的点上。

注意到

ρE＝ρD∪ρ²D∪ρ³D. . .＝E\D

那么对于一个球 B 而言，我们可以将其分割成 E 和 B\E ，这会是球上的全部点。

而对于一个除去了D 的球 B\D 而言，我们可以将其分割成 ρE＝E\D 和 B\E ，这也会是球上的全部点。因为两个图形的第二块分割 B\E 是一样的，而图形一和二之间的第一块分割只是通过将其旋转了个 ρ 完成的，这两个无限不可数的集合是一样的。

所以一个球B 和一个除去了 D 的球 B\D，其实是等度分解的！

搞定球心

我们上述所有的描述中其实有一个点也很特殊，就是球心，仔细想想，不管怎么旋转，球心都还是那个球心，所以它其实会无差别地落入那5个集合。因此我们上述的三个阶段都只讨论了掏出球心那一个点的情况。

但想必读到这儿（如果还没崩溃的话）应该能意识到，球心这个点也可以用希尔伯特旅馆的方法处理。

我们可以假设球心从(1，0，0)处取了一个点过来，那我们只用用希尔伯特取处理这个点就好了，那就跟上面是一样的。令集合 G＝{(1，0，0)}

我们绕z 旋转，因为之前选择的旋转角度的缘故，没有点可以映射到它本身的位置，不论转多少次。令

F＝G∪zG∪z²G. . .

zF＝zG∪z²G∪z³G. . .＝F\G

那么有球心的球 B 可以分割为 F 和 B\F ；而没球心的球 B\G 可以分割为 zF 和 B\F 。

后一项分割是一样的，而前一项分割只是旋转，所以有球心的球B 和没有球心的球 B\G 是等度分解的！

巴拿赫-塔斯基悖论对于我们的直觉而言，可以说是莫名其妙。但是其影响是十分重要的，而且你可能在高中的学习中就已经接触到了。在计算连续概率密度分布的时候，我们常会说只有讨论一部分区间，概率才会有意义，也就是说

P(x₀＜x＜x₀＋Δx)＝∫x₀＋Δx x₀ p(x)dx

但是为什么组成其的 P(x＝x₀) 又必须为0呢？

所以巴拿赫-塔斯基悖论倒逼我们去重新审视“可测量”是什么意思？测度是什么意思？概率是什么意思？更重要的是从一个集合中“选择”到底意味着什么？

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