黎曼猜想（一）

Wir müssen Wissen，wir werden wissen

• 01 无穷级数

学习数学的时候，很重要的一点是知道你正处在数学的什么地方，它在哪个具体的领域之中。素数的故事从无穷级数开始，而这个领域，被数学家称之为分析。

实际上，分析往往被认为是对无穷大以及无穷小的研究，而推动这个领域的先驱，就是欧拉，以及他于1748年发表的著作 《无穷小分析引论》。

• 02 素数定理

素数的研究当然最早是用统计的手段，这也就有了素数计数函数，π(N)。而在分析素数统计的过程中，数学家引入了基于自然底数e的对数ln，通过分析数据发现了一个有趣的规律，N/π(N)～lnN，并且N越大，两者越接近。从而也就得到了素数定理（PNT）：π(N)～N/lnN。高斯最早接受了它，而它真正被发扬光大，则是因为欧拉。

• 03 黎曼的ζ函数

欧拉是从接触巴塞尔问题开始进入素数研究领域的。那么巴塞尔问题是什么？为平方倒数级数寻找一个闭型，也就是准确的表达式解。π2/6，这就是欧拉的答案。顺带着，欧拉还给出了所有的偶数次方的倒数级数的闭型，却没有给出奇数次方的。

幂最初是作为重复的乘法出现的（正整数域），但是后来它被延拓至其他数域，更进一步的，也可以把它作为一个未知量，用ζ表示，那么巴塞尔的平方倒数级数就成为了黎曼的ζ函数，而黎曼研究的数域，是复数域。大名鼎鼎的黎曼假设也是直接与ζ相关：ζ函数的所有非平凡零点的实部都是1/2。

对于ζ函数的分析首先是在实数域（有理数+无理数）上进行的，而自变量大于1的ζ函数图像在旋转90°之后，和lnx函数很相似。

• 04 解析数论与欧拉积公式

对于时间而言，当我们计算一个人的年龄时，总是取整的，这属于计数的范畴，而当我们精确界定时间时，我们需要进行度量。黎曼假设的产生也正是来源于计数逻辑与度量逻辑的邂逅：当来自算术的某些观念同来自分析的某些观念结合在一起的时候，就产生了一个数学新分支，解析数论。而这份开创，最早的领衔者是狄利克雷，正是由于其在关于素数的解析数论领域的研究，欧拉才得到了素数领域的金钥匙，而巧合的是，黎曼在柏林大学的时候正是狄利克雷的学生。

欧拉积公式是什么呢？这来源于欧拉用分析的语言去尝试描述“埃拉托色尼筛法”，通过去除自然数的所有素因子的合数，留下的自然就是素数。

ζ函数就这样与“埃拉托色尼筛法”产生了最直接且最深刻的关联，这简直是一个天才的想法。而这个公式，就是通过消除ζ函数中的素数而得到了一个新的函数：s的ζ函数等于对1减去p的负s次幂所得到的差的负1次幂取遍所有素数p的总乘积”。

而这也就是ζ函数与素数直接关联的起源之处，是通过“埃拉托色尼筛法”关联上的。这是欧拉的天才想法，也因而被称为“欧拉积公式”。

数学上的很多新概念的诞生，正是为了精确区分以往界定中的不清晰或不全面之处，而这种对于直观定义的深度抽象是非自然的，会使得数学思想与人类的思想和语言完全格格不入。数学是描述宇宙甚至是超出宇宙的语言，正因为宇宙的极度复杂，所以数学也趋于极度抽象。

它脱胎于自然感觉逻辑，却又在更深的层次上反对自然感觉逻辑，而只由严密的逻辑推理所支配，它超出了日常语言的范畴，只有天才的想法才能建立关联。

• 05 积分对数函数与素数定理2.0

数学家们的脑洞是很大的，有时候甚至连物理学家都无法理解他们的脑洞，虽然在我们眼里，物理学家的脑洞比起他们眼中的数学家们的脑洞，只大不小。

这一次数学家考虑把事情逆反过来考虑，也就是反函数，那么，微分函数1/lnx的积分是什么？遗憾的是，没有普通常见的函数能用于表达1/lnx的积分。然而，这个积分非常重要，为了方便，我们就把它定义为一个新的函数“积分对数函数”，并用Li(x)表示。

为什么要使用这么一个复杂的函数呢？因为它确实重要，它的斜率在任一点处的概率都是1/lnx，而这正好是x附近的一个整数是素数的概率！那么当N足够大，Li(N)~N/lnN~π(N)。事实上，Li(N)比N/lnN能更好地接近π(N)。从而素数定理2.0版本则是：π(N)~Li(N)。而这，就是黎曼的贡献了。

而在此之前，黎曼还得到了一个十分重要的数学成果：黎曼几何，而这是爱因斯坦广义相对论中四维时空的数学基础。通过黎曼的工作我们可以发现他的思想张力有两个方面：一是全局论者，从整体看待局部，从更大的系统视角度量局部的作用和表现；二是从分析出发去思考，深入分析微观机理，定量发掘局部性质。他始终擅长于在全局里看到联系，从微观中发掘机理。

• 06 扩展至复数域

在研究无穷级数中的等比数列时，如果我们把级数求和改写成函数表达式，会发现使得级数收敛的定义域范围只是函数定义域的一部分，就像二维空间的函数仅仅是三维空间函数的一部分，它本来还有更多的定义域被隐藏在更深的维度里。那么，ζ函数也是这种情况吗？它的定义域是否也可以扩展呢？

当然可以，但这首先需要探索ζ函数的性质，而直面ζ函数会非常复杂，需要用更简单的η(s)来重新表达ζ(s)。这样的转化手段在数学中经常用到，在一种形式下发散的很难处理的计算可以在数学上等效为另一种形式下收敛的容易处理的计算，同样的手段在弦理论中的采用卡-丘6维空间形态的转化情况解释空间结构破裂时也有应用。

素数计数函数π(N)与log积分函数Li(N)在N趋向无限大两者是越来越接近的，但这两者之间仍然存在一个误差项，黎曼提出了这个误差项的精确表达式，包含ζ函数的所有非平凡零点。因此理解这个误差项的关键以某种方式隐藏在这些零点之中，这也就是我们当前看到的，为什么黎曼假设目前的重点聚焦在于证明ζ函数的所有非平凡零点的分布是否在1/2线上，而这也就是把零点分布从临界区域限缩至临界线。

这个思路产生始终伴随着定义域的扩展：首先是无限级数表达为函数，定义域被扩展至除1以外的实数域（扩展定义域至一维全体）；然后是扩展至复数域（扩展定义域至二维复平面）。之后我们在更高维的空间中发现了这个函数的不一样的数学性质。

在目前的量子理论和抽象数学领域，有很多的理论问题在低维空间是不可解且不可观察的，我们通过对其性质的抽象推理升维至高维空间，借助维度的提升“看到”这个复杂函数在高维空间更多的视角和更完整的形态，从而获取了这个函数的本质特性，再利用这个发现的本质特性解决低维的问题。

从函数的映射角度考虑，高维空间的复杂函数投影至低维会存在多义性，比如一个三维的正方体以不同的姿态投影至平面我们会看到很多不同的平面图形，但我们通过分析顶点、棱边、和面之间的数学关系，可以抽象升维至高维领域，从而借助高维空间完整的总结归纳性质，再利用这些本质的特性解决在低维空间的投影问题。

数学是一门逐步累积的学科，每一个新的发现都被加到知识的主体之上，并且从来没有什么东西被去掉。它具有独特的权威，是基于准确严密的定义+逻辑+推理形成的学科，只要被证实为真理，它就一直在那里，且从不缺席，它就像一个游走于高维空间的神灵，脱离低维现实观察的影响。

• 07 莫比乌斯函数μ

把欧拉积公式取倒数，那么根据无限括号连乘积的排列组合规律，等式右侧就会出现一个和ζ函数有点类似的级数表达式，而这个级数可以用莫比乌斯函数μ进行简化表示，这样就在μ函数与ζ函数之间建立了紧密联系！

而μ的累加值的M函数的大O在一定程度上与黎曼假设等价。在第一次看到这个等式关系的时候，我是感到匪夷所思的，深深地感到数学家的大脑就像超级迷宫连着超级迷宫连着超级迷宫，没有地图得把人活活困死。

• 08 西格尔与非平凡零点

由于黎曼假设与ζ函数的零点密切相关，而关于黎曼假设的正统证明又遥遥无期，那么是否可以尝试尽可能多的计算出来这些非平凡零点，采用实验的方法进行证实呢？西格尔就走上了这一条道路，他详细研究了黎曼未发表的遗稿，并在那里边找到了新的思路，以远远超过同行的速度，这就是黎曼西格尔公式。

直到2002年，非平凡零点的前1000亿个已经得以验证，全部符合黎曼假设，但相对于数学上的无穷而言，这仍旧只是一个充分小的数，看来数学家们仍旧需要进一步探索。

• 09 希尔伯特波利亚猜想

在黎曼ζ函数的研究过程中，数学家们尝试揭示复数函数ζ和非平凡零点的实部为1/2的关系，然而由黎曼建立的堡垒太过精密，始终进展不大。既然在完整的复数域中收效甚微，那么我们是否可以限定一下黎曼猜想的定义域，限缩至一个更小一点的完备数域，证明一个类似的更简单的黎曼猜想呢？你看，数学家们就是反复无常，一下子扩展定义域，又一下子限缩定义域，这也是一个有趣的领域，并取得了一些成果。

与黎曼同期的数学家们还有很多可以研究的其他领域，矩阵计算就是其中一种，他们在探索其中的埃尔米特矩阵时，发现埃尔米特矩阵的所有本征值都是实数，这意味着埃尔米特矩阵的特征多项式的所有系数都是实数。这是由任何矩阵的本征值根据定义都是这个矩阵的特征多项式的零点这一事实得出的。

而黎曼之后的希尔伯特敏锐地把握到了黎曼ζ函数的非平凡零点与埃尔米特算子的本征值之间惊人的相似性，它们本质上都是复数对象的关键特性中浮现出来的出人意外的实数列表。看起来这在数学上只是一种相似，但是它真正的用武之地在核物理的量子理论领域。

20世纪50~60年代，核物理学家采用统计学解决量子计算问题，涉及到一个核心概念，随机矩阵，而有趣的是，它就是埃尔米特矩阵！这个矩阵的本征值直接解释了某种量子动态系统的行为模型，并且与实验中观察到的能级非常相符。

这种矩阵的随机间隔的统计特征函数有一个形状因子，而这个因子恰好可以描述黎曼ζ函数的非平凡零点之间的间隔关系。

数学家们再一次展现了自己的远见。黎曼ζ函数的非平凡零点产生于对素数分布的探究。随机埃尔米特矩阵的本征值产生于在量子力学的各种定律下对亚原子粒子系统行为的探究。素数的分布究竟与亚原子粒子的行为有什么关系？

• 10 拧动金钥匙

在介绍了莫比乌斯函数之后，对于素数的研究终于再一次回到ζ函数的主线。

首先，改写素数计数函数π(N)为J(x)，然后用J(x)反向表示π(x)，再引入莫比乌斯函数μ来对表达式进行简化，这是一种精确表达。随后经过黎曼大法师一阵令人头晕目眩的操作，甚至可以说是魔法之后，就得到了ζ函数的对数形式与J(x)的积分函数的关系（式19.6），而这直接导向了黎曼论文中的主要结果。它的伟大在于，一个离散的关于素数统计的函数最终竟然可以采用微积分进行处理了。

在此之后，数学家可以用ζ函数来表示π(x)。这恰恰就是黎曼当初着手做的事，因为后来人们会发现，π函数的所有特性以这样那样的方式被编制在ζ函数的特性中。π函数属于数论；ζ函数属于分析和微积分；而黎曼就在这两者之间架起了一座浮桥，跨越了计数和度量之间的鸿沟。

• 11 黎曼算子与混沌系统

在希尔伯特波利亚猜想之后，随机埃尔米特矩阵表达的算子有了一个新称呼，黎曼算子，那么它究竟代表什么？它代表了一个混沌系统模型。很匪夷所思不是么？

然而，纯粹的数论——关于自然数及其相互关系的各种概念——应该与亚原子物理学有关，这并不那么令人意外。量子物理学比经典物理学有着更强的算术成分，因为它基于物质和能量不是无限可分这一观念。而正是这个世界微观本质的离散分布特点，在物理本质上来源于量子不相容，确实有点类似于数学领域的素数没有公因子。作为一个经典案例，薛定谔的波动方程与量子力学的矩阵形式，非常类似于黎曼假设中的素数表示的微积分形式和计数形式。

物理学家贝里论述道，如果存在一个黎曼算子，那么它可以作为一个这样的半经典混沌系统的模型，它的本征值，即ζ函数零点的虚部，就是这个系统的能级。这个类似经典混沌的系统中的周期轨道相当于素数的对数！

他进一步论述道，这个半经典系统将不具有“时间反演对称”的特性——就是说，如果这个系统中所有粒子的所有速度都能在瞬间被同时逆转，这个系统将不会回到它的初始状态。

而这种不具备“时间反演对称”特性的系统，是以“高斯幺正系综”为模型，正是这种随机埃尔米特矩阵的集合，而这样的结论，在普里戈金的耗散系统的热统计力学中得到了进一步证实。

在量子力学中，函数是波函数，它定义了一个系统中的粒子在一个给定的瞬间以某个速度出现在某个位置的概率。换句话说，这个空间中的每一个点都代表系统的一种状态。用于量子力学的算子将这个系统的可观测特征编码——最有名的是哈密顿算子，它将系统的能量编码。

哈密顿算子的本征值是这个系统的基本能级。每一个本征值都特定地联系着这个空间中的一个关键的点——函数，叫做本征函数，代表着处于那个能级的系统的状态。这些本征函数是这个系统本质的、基本的状态。这样的黎曼算子需要为其构造特定的空间，比如阿代尔空间，而这又涉及到了群论。这一段探索的旅程，我只能看到科学家们一直在抽象，抽象，抽象，还是TMD抽象，往死里抽象，往不要命的方向抽象！

直面黎曼假设的路那么的艰难以至于难以攀登，于是不同领域的学者们选择了从其他角度破局的方式。索性，目前无法对黎曼假设证伪，当前所有的结果全都符合黎曼假设的断言。

• 12 误差项与整函数

整函数具有很优良的数学分析性质，然而ζ函数不是一个整函数，只是有点相似。黎曼用一个很复杂的逆转过程解决了这个问题。虽然在数学上用容易解决的方法解决等价的难以解决的问题属于常态，但是这一次的等价转换关系着实是需要超非凡的天赋。作为结果，黎曼把ζ函数变换成一个整函数，其零点恰恰是ζ函数的非平凡零点。至此，我们可以用那些零点来写出这个稍有不同的函数。而在这个变换的过程中，那些平凡零点很容易地消失了。

一旦当我们这个做了的时候，我们就可以利用图像来分析黎曼函数对素数估计的误差项的分布性质了，而这是一个有趣的新领域。

• 13 感悟

我最早认为文学作品的人脑洞已经足够大了，但毕竟艺术脱胎于生活而无法超越生活；所以还是那群发现宇宙大爆炸和量子理论的物理学家脑洞更大，毕竟他们能发现这个世界反直觉的东西；直到我遇到了以严谨著称的数学家，才发现他们的脑袋里的东西已经不属于这个世界了。

关于黎曼假设的等价和转化关系让人看的眼花缭乱，大脑宕机。所以其实严谨和开放在无穷远处其实是等价的么？正如数轴的正半轴和负半轴在延伸至无限的时候也是等价的那样。

在追随素数分布的探索过程中，很多的数学家和物理学家投入其中，是否有用并不在他们的考虑之中，激起他们兴趣不是任何改善人类的健康和设施的想法，而是发现新事物的纯粹乐趣和解决难题的挑战。

正如阿达马在 《数学领域中的创造心理学》所说，“对我们来说答案出现在问题之前……。实际应用不用找也会发现，可以说文明的整个进展都依赖这个原则……。实际的问题常常是依靠现存的理论解决的……。很少有重要的数学研究是由于看到一个给定的实际应用而进行的：它们是由一种愿望引发的，这种愿望是每一项科学工作的共同动因，即想知道和理解事物的愿望。”

那么我们应该如何对待黎曼猜想呢？有一天我们将会知道最后的答案。我不知道结果将会如何，我也不相信有人知道。不过我确信，这些结果将是惊人的。在探索的尽头，我们的认识将会发生转变。在那之前，所有的乐趣和魅力就在于探索本身，并且——对于我们中的那些没有着手探索的人来说——在于看到探索者的活力、决心和创造力。我们必须知道，我们必将知道。

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