黎曼猜想（二）

黎曼在一篇仅有八页的论文里提出来一个堪称数学高峰的重要猜想，160多年来经过一些最聪明的数学家的接续努力，至今仍然未被征服。

1859年8月，32岁的伯恩哈德·黎曼为答谢柏林科学院授予的通信院士这一崇高荣誉，提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文，虽然这篇论文只有短短的八页，但却是数学史上极其重要的一篇论文，其中蕴涵非常深刻的数学思想，而且提出了被称为最重要的数学问题之一的黎曼猜想。

黎曼猜想是关于素数分布的猜测。素数也叫质数，是大于1的自然数中所有只能被1或自身整除的数。素数之所以重要是因为所有自然数都是素数或者等于素数的乘积，所以素数又被称为所有数字的基石。素数列为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29…，不光是一般人，历史上很多顶尖的数学家都认为素数分布没有什么规律，而黎曼却告诉世人，素数可能不是杂乱分布的，而是存在一个规律。黎曼猜想的表述是：ζ函数的所有非平凡零点都分布在实部为1/2的直线上。素数分布的奥秘可能就隐藏这条直线上。

素数定理‬

黎曼的论文题目中的“小于给定数值的素数个数”这个问题，最先是谁提出的呢？是黎曼的老师——高斯。高斯认为既然素数的通项公式看起来是极其难求的，那么换个简单一点的问题，可不可以求出小于任意给定值的素数个数呢？后来数学家把小于等于任意给定值x的素数个数称为素数计数函数π(x)。高斯在闲暇时间通过计算来寻找并统计素数，发现素数的分布密度平均地接近于其对数的倒数。几年后勒让德独立发现了相似的结果。这就是著名的素数定理，于1896年由阿达马和德·拉·瓦莱布桑各自独立证明。素数定理也可以表述为小于给定值x的素数个数渐进地趋于x与lnx的比值，即π(x)~x/lnx。当x比较大时，从1到x的所有数中，90%以上的数的位数都和x的位数相同或者少一位，它们的素数分布密度相对来说更接近，也就是前面分布密度较高的素数被“稀释”了，所以由此得出素数定理的一个推论：x附近的一个自然数是素数的概率接近于1/lnx。随着x的增大，对数积分函数‬

1

Li(x)＝∫ˣ₂ ──dt

in t

是逐渐趋于x/lnx的，即Li(x)~x/lnx。根据素数定理，π(x)~Li(x)也成立。实际上在估计π(x)时，Li(x)要比x/lnx好得多，也就是x更大时，Li(x)比x/lnx更接近π(x)。

黎曼猜想

素数定理给出的是小于给定值的素数个数的粗略估计，有必要继续寻求关于素数分布的更精确的规律。黎曼富有创造性地实现了这一点，其起点是欧拉的成果。欧拉通过对无穷级数‬

1 1 1 1 1

∑ ─＝1＋─＋─＋─＋─＋· · ·

nˢ 2ˢ 3ˢ 4ˢ 5ˢ

进行研究处理，得到欧拉乘积公式‬

1 1 1 1 1

1＋─＋─＋─＋─＋· · ·＝(──) ↓

2ˢ 3ˢ 4ˢ 5ˢ 1

1 – ─

2ˢ

1 1 1 1

× (──) × (──) × (──) × (──) × · · ·

1 1 1 1

1 – ─ 1 – ─ 1 – ─ 1 – ─

3ˢ 5ˢ 7ˢ 11ˢ

，缩写形式为

∑n⁻ˢ＝∏(1 – p⁻ˢ)⁻¹

ₙ ₚ

，其中 n为大于零的自然数且 p 为素数。其证明过程本质上与古老的埃拉托色尼筛法相似。黎曼把这两个表达式命名为ζ（zeta）函数，即

ζ(s)＝∑n⁻ˢ＝∏(1 – p⁻ˢ)⁻¹

ₙ ₚ

，此公式第一次建立了ζ函数和素数之间的联系，也由此开启来现代素数研究的大门。

黎曼对ζ函数进行了解析延拓，使得ζ函数在s<1的地方也获得了定义，同时把复数引入ζ函数后，ζ函数在复平面上除了s=1这个点之外都有了定义。黎曼把ζ函数的定义域扩展到复数之后，从某种意义上使得ζ函数更容易处理了。黎曼将等式

ζ(s)＝∏(1 – p⁻ˢ)⁻¹

ₚ

转化成

1 ∞

─ ln ζ(s)＝∫ J(x)x⁻ˢ⁻¹dx

s ₀

，其中

1 1 1

J(x)＝π(x)＋─ π(√x)＋─ π(³√x)＋─ π(⁴√x)

2 3 4

1

＋─ π(⁵√x)＋· · ·

5

，对这两个式子分别使用梅林逆变换公式和莫比乌斯反演并交换顺序得到

1 1 1

π(x)＝J(x) – ─ J(√x) – ─ J(³√x) – ─ J(⁵√x)

2 3 5

1 1 1

＋─ J(⁶√x) – ─ J(⁷√x)＋─ J(¹⁰√x)

6 7 10

μ(n)

＝∑ ──J(ⁿ√x)

ₙ n

1 ds

J(x)＝── ∫ᵃ⁺ⁱ∞ₐ₋ᵢ∞ lnζ(s)xˢ ─

2πi s

。这样，素数计算函数π(x)就可以用ζ（s）来表示了。对

1 ds

J(x)＝── ∫ᵃ⁺ⁱ∞ₐ₋ᵢ∞ lnζ(s)xˢ ─

2πi s

进行处理，最后得到黎曼素数计数函数的精确公式

∞ dt

J(x)＝Li(x) – ∑ Li(xρ) – ln2＋∫ ─────

ᵨ ₓ t(t² – 1)lnt

。J(x)实际上是π(x)的一个近似。

在

∞ dt

J(x)＝Li(x) – ∑ Li(xρ) – ln2＋∫ ─────

ᵨ ₓ t(t² – 1)lnt

这个式子中，第三和第四项都是比较容易算的，而且数值贡献远小于前两项。第一项为Li(x)，之前说过Li(x)能较好地估计π(x)，它为π(x)提供了主要贡献（也为J(x)提供了主要贡献）。第二项为π(x)的提供了次要贡献，第二项中的ρ正是ζ函数的非平凡零点。

什么是ζ函数的非平凡零点呢？数学家很容易得出-2，-4，-6，-8，…等所有的负偶数都是ζ函数的零点，于是把这些显而易见的零点称为平凡零点。而除了负偶数之外还有其它不是显而易见的零点，数学家们就把这些难算的零点称为非平凡零点。黎曼证明了这些非平凡零点都位于复平面上实部大于等于0且小于等于1的被称为“临界带”的竖直条带内。后来阿达马和德·拉·瓦莱布桑沿着黎曼的思路，证明了非平凡零点不会出现在临界带的边界即实部为0和1的直线上，而只能出现在临界带的内部，由此证明了素数定理。

黎曼在他那篇论文中得出了所有非平凡零点都关于实部为1/2的直线对称，在计算了几个非平凡零点发现其实部都等于1/2之后，黎曼认为这并非偶然，于是提出了一个猜想：ζ函数的所有非平凡零点的实部都是1/2。这就是著名的黎曼猜想，被认为是数学中最大的未解之谜之一。

Li(x)对π(x)的估计有一定的误差，而黎曼直接给出了一个π(x)的精确表达式！这个精确表达式是对这个误差的修正。理论上这个精确表达式可以完全贴合π（x）的阶梯曲线，你可以想象这有多么奇妙。而ζ函数的非平凡零点和这个误差的修正密切相关。加入的非平凡零点越多，对这个误差的修正越准确。当把所有的非平凡零点都加入时，误差就消除了。

1900年，被称为“无冕之王”的数学家希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了指引20世纪数学前进方向的23个问题，其中黎曼猜想和哥德巴赫猜想、孪生素数猜想被包含在第8个问题中。2000年，克雷数学研究所的科学顾问委员会选定的每个悬赏一百万美元的七个“千年大奖问题”中，黎曼猜想赫然在列。在这两次世纪之交引起轰动的事件中提出的问题里面，唯有黎曼猜想均位列榜单。

为什么黎曼猜想这么重要呢？一部分原因是它是关于素数分布的问题，如果获得了证明，那么我们对素数分布的了解将前进一大步；还有一部分原因是目前有一千多个数学命题是以黎曼猜想（或其推广形式）的证明为前提的，如果黎曼猜想被证明，那么我们马上获得一千多个新的定理，然而如果黎曼猜想被证伪，那么这些命题中至少有一部分会马上作废。曾经有人问希尔伯特如果500年后复活最想问的问题是什么，希尔伯特回答是：最想知道是否有人解决了黎曼猜想。

黎曼猜想至今仍未获解决，而且似乎离解决还比较远，能解决黎曼猜想的天才头脑不知道什么时候才会出现，可能几十年，甚至可能上百年（人类证明费马大定理用了350多年）。然而，也许正如希尔伯特所言，我们必须知道，我们必将知道。

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