环同态核ideals的generators

Find generators for the kernels of the following maps。下面这些映射都是环同态，它的核是理想，所以题目就是要找出生成理想的元素。

• ℝ[x] → ℝ，f(x)⇝f(2)。

sol：环同态的核是理想，𝔽[x] 的理想都是主理想，且由最低阶首一多项式生成，所以该映射的核为 (x – 2) 。

•【artin代数_第二版_11.3.3】ℤ[x] → ℂ，f(x)⇝f(2＋i)。

sol：ℤ[x] 的理想并不是主理想，所以不能通过找到最低阶首一多项式生成。因为我们可以凑出来 (2＋i)² – 4(2＋i)＋5＝0 ，即 x² – 4x＋5 是核中的元素，所以由它生成的主理想 (x² – 4x＋5) 都是核中的元素。假设核中有其它元素 g(x) 不在该主理想中，恰好 x² – 4x＋5 是首一多项式所以可以做多项式除法得到 g(x)＝(x² – 4x＋5)q(x)＋r(x) ，其中 r(x) 只能是一阶整系数多项式或整数，且 r(x) 也必须在核中，但是没有一阶整系数多项式 z₁x＋z₀＝0 以 2＋i 为根，所以 r(x) 只能是 0 。综上，该映射的核为主理想 (x² – 4x＋5) 。

•【artin代数_第二版_11.3.3】ℤ[x] → ℝ，f(x)⇝f(1＋√2)。

sol：和上题完全类似，核为主理想(x² – 2x – 1) 。

•【artin代数_第二版_11.3.3】ℤ[x] → ℂ，x⇝√2＋√3。

sol：思路同上，也是先找到尽可能低阶的根为√2＋√3 的整系数多项式 x⁴ – 10x²＋1 ，因为是首一多项式，所以可以做多项式除法，又因为找不到非零更低阶的根为 √2＋√3 的整系数多项式，所以该映射的核就是主理想 (x⁴ – 10x²＋1) 。

• ℚ[x] → ℂ，x⇝³√2。

sol：思路同上。该映射的核就是(x³ – 2) 。

• 【artin代数_第二版_11.3.3】 ℝ[x，y] → ℝ，f(x，y)⇝f(0，0)

sol：x，y 都在该映射的核中，所以由它们生成的理想 (x，y) 也在核中，而 f(x) ∈ ℝ[x，y] 都可以表示为 f₁＋c ，其中 f₁ ∈ (x，y) ，若 f(x) 在核中，则必有 c＝0 ，所以该映射的核为 (x，y) ，它不是主理想。

• ℤ[x] → 𝔽ₚ，f(x)⇝f(0)(mod p)。

sol：p，x 都在该映射的核中，所以由它们生成的理想 (p，x) 也在核中，而 f(x) ∈ ℤ[x] 都可以表示为 f₁＋c ，其中 f₁ ∈ (x) ， c 为整数，若 f(x) 在核中，则必有 c＝p ，即 f(x) 始终是 x 和 p 的整系数线性组合，所以该映射的核为 (p，x) 。

• ℝ[x，y] → ℝ[t]，x⇝t²，y⇝t³。

sol：多项式y² – x³ 在该映射的核中，所以它生成的主理想 (y² – x³) 在该映射的核中。假设g(x，y) ∈ ℝ[x，y] 在该映射的核中，那么 g(x，y)＝(y² – x³)q(x，y)＋r(x，y) ，其中 r(x，y)＝(r₁(x))y＋r₂(x) ，且 r(x，y) 也在核中，那么就有 r₁(t³)t²＋r₂(t²)＝0 ，因为第一项只能包含 t 的奇次幂，第二项只能包含 t 的偶次幂，所以 r(x，y)＝0 ，即该映射的理想是主理想 (y² – x³) 。

• ℂ[x，y] → ℂ[t]，x⇝t，y⇝t²。

sol：思路同上，(y – x²) 是该映射的核。

•【artin代数_第二版_11.3.3】ℂ[x，y，z] → ℂ[t]，x⇝t，y⇝t²，z⇝t³。

sol：理想(y – x²，z – x³)在核中。又有 f(x，y，z)＝(y – x²)c₁(x，y，z)＋(z – x³)c₂(x，z)＋c₃(x) ，若它在核中，则 c₃(x)＝0 ，所以核为 (y – x²，z – x³) 。

•【artin代数_第二版_11.3.4】】ℂ[x，y] → ℂ[t]，x⇝t＋1，y⇝t³ – 1。

sol：思路同上，核为主理想(y – x³＋3x² – 3x＋2) 。

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