数学函数

这篇文章主要探讨了层归一化（Layer Normalization, LN）的非线性及其表示能力。LN是深度学习中的一种标准化技术，其主要作用是稳定训练过程，提高模型的收敛速度和性能。作者从理论上证明了LN是一种非线性变换。文章通过定义“Sum of Squares Ratio (SSR)”及其线性不变下界“Linear SSR (LSSR)”，并展示了LN可以打破SSR的下界，从而证明了LN的非线性。

一.LN的基本原理和作用

标准化过程：

• LN对每一个样本的每一层的神经元进行标准化。具体来说，对于输入向量 （包含 个神经元的激活值），LN通过计算均值 和标准差 来进行标准化。 xᵢ – μ

标准化公式如下： ˆx＝───，其中

1 d

＝√─ ∑(xᵢ – μ)²

d ᵢ₌₁

LN通过可学习的参数 γ 和 β 进行缩放和平移

主要作用：

• 稳定训练过程：通过消除内部协变量偏移（Internal Covariate Shift），使得每一层的输入分布更加稳定，从而加速训练过程。

提高模型性能：LN使得模型在各种任务（如自然语言处理和计算机视觉）中表现更加稳定和高效，特别是在Transformer模型中，LN是不可或缺的组件。

适用于小批量或单样本训练：不同于Batch Normalization（BN），LN不依赖于批量样本的统计信息，因而在小批量或单样本训练中更为有效。

二.LN的非线性

非线性度证明：文章提出了统计量SSR（Sum of Squares Ratio），SSR衡量的是不同类别样本在欧氏空间中的可分离性。SSR越小，样本越容易被线性分离。当对样本进行线性变换时，SSR也会发生变化。定义样本在所有线性变换下对应的最小的SSR为LSSR，用于衡量样本在线性变换下的最小可分离性。文章指出，当LSSR越小时，样本之间的线性可分性越强。

任意可分性的证明：文章将LN拆分为两个步骤：中心化（centering）和尺度缩放(scaling)。中心化从数学上是一个线性变换，因此LN的非线性主要存在于尺度缩放操作当中（文章称之为球面投影，是RMSNorm执行的操作）。作者以最为简单的线性不可分的异或数据为例，通过线性变换和球面投影将这四个点进行了正确分类。除了二分类文章还使用LN和线性层的组合对任意数目样本进行正确分类，研究了具备万能近似能力的LN-Net。通过构造算法步骤，将神经网络的逐层变换转换为同类样本合并问题，提出了PMA(projection merge algorithm)和PBA(parallelization breaking algorithm)。这一构造方法为计算神经网络的VC维也提供了新的思路。在此基础上，可以推断出有L个层标准化层的LN-Net，VC维至少有L+2。

三.LN非线性的利用

提高表示能力：

提出Projection Merge Algorithm (PMA) 和 Parallelization Breaking Algorithm (PBA)。PMA用于构造参数，使得LN-Net可以正确分类给定样本。PBA用于解决多分类问题中的样本混淆问题，通过将样本投影到不同平面来避免不同类别样本的混淆。并给出定理——给定任意标签分配的样本，存在一个具有3个神经元和O(m)个LN层的LN-Net可以正确分类这些样本。

分组归一化 (LN-G)：

通过将神经元分组，并在每组内并行执行LN操作，进一步放大LN的非线性。LN-G的非线性强于普通的LN，即使用适当的分组数量时，LN-G可以显著增强网络的非线性。

H(ψɢ(g；·)；x) d d

─────── ≥ ─ 当 g＝─

H(ψʟ(·)；x) 8 4

实验验证：

• 验证LN的非线性：在CIFAR-10和MNIST数据集上，实验结果显示LN-Net在没有激活函数的情况下仍然能够达到较高的分类准确率，验证了LN的非线性。实验中，LN-Net在CIFAR-10和MNIST数据集上分别达到55.85%和19.44%的准确率，远超线性分类器。

• 放大非线性实验：通过在CIFAR-10和MNIST数据集上引入LN-G，实验表明LN-G能够进一步增强模型的非线性和表示能力。不同分组数量的LN-G在CIFAR-10和MNIST数据集上的准确率明显高于普通LN，验证了分组归一化的有效性。

非线性对LN功能的影响：

• 增强表示能力：LN的非线性使得网络能够表示更加复杂的函数，这意味着在某些任务中，即使没有显式的激活函数，网络也能完成复杂的分类和回归任务。

提高模型的泛化性能：非线性有助于避免过拟合，标准化后的数据分布更均匀，更能捕捉到数据的本质特征。

在深度网络中的作用更加明显：随着网络深度增加，LN的非线性效果更加显著，这对于深层模型如Transformer尤其重要。

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