拓扑绝缘体：狄拉克锥

相信大家已经很了解贝里相位(Berry phase)以及贝里相位对电子输运的影响了（如果并非如此可以先了解一下贝里曲率~）。那么接下来一个非常自然的问题就是在什么样的体系中会存在非零的贝里相位（陈数）呢？这是一个非常重要的问题，如果我们能够找出这样的一种体系，那么非零的贝里相位就导致电子有反常速度，就会有新奇的输运现象，如果再加上量子化，就会有量子霍尔效应(quantum hall effect or QHE)呀！所以找到一个非零贝里相位的体系是很重要的。

固体材料中最简单的非零贝里相位体系就是狄拉克锥(Dirac cone)。二维情形下，其哈密顿量H＝kₓσₓ＋kyσy，（注意这里的泡利矩阵并非一定作用于自旋空间，而是二能级体系矩阵的一个记号罢了）。这个哈密顿量对应的能量为E±(k)＝±√k²ₓ＋k²y＝±|k|. 这个能量色散关系正对应无质量的狄拉克方程，所以对应的能带结构被称作狄拉克锥，当然，交点被称作狄拉克点(Dirac point)。容易证明，体系的贝里相位非零，为π.[1] 非零的贝里相位会导致什么样的新奇输运现象呢？且待下文揭晓。

Eₖ、kₓ、ky

非常经典的石墨烯中的狄拉克锥的能带

那么接下的问题就是狄拉克锥这么有趣，我们去哪里寻找呢？上图其实已经给了你答案，对了，可以去石墨烯(graphene)中寻找。倘若用紧束缚模型写出石墨烯的哈密顿量，我们会惊讶的发现，在其布里渊区的6个高对称点附近，都有以该点为中心的狄拉克锥。石墨烯作为非常热门的材料，与它神奇的能带是分不开的。

那么除了石墨烯之外还有什么地方可以找到呢？大家惊讶地发现在一类绝缘体中居然可以找到，即拓扑绝缘体(topological insulator)。确切的说，是在拓扑绝缘体的边界可以找到。什么叫边界呢，简单来说就是材料体系的最外层，三维情况下就是材料的“表面”(surface)，就像橘子的皮一样，二维情况下就是材料的“边”(edge)，就像披萨边一样。[2]拿三维情况来举例，由于真实的材料体系都是有限大小的，所以平移对称性不总是成立，那么体态和边态就会不同。倘若将三维拓扑绝缘体的紧束缚模型写出，并在边界处求解的话，哈密顿量恰为狄拉克锥的形式，并且在纵深方向上电子波函数急速衰减，即局域在边界。三维拓扑绝缘体的边缘态能带是一个狄拉克锥，也就是说，三维拓扑绝缘体的边缘态就和一个石墨烯差不多。也就是说，一个体态是绝缘的材料，竟然会有导电的边缘态，实在有趣是有趣的性质。

拓扑绝缘体如何得到呢？我们一步一步地考虑，首先，一个常规的绝缘体和一些原子无相互作用地聚在一起，其实在拓扑意义上没有区别（贝里相位都为零），那么我们要做的就是让他的上下两个相邻的能带的间隙逐渐变小，直到能带相互接触，此时形成狄拉克锥，体系出现非零贝里相位，然后再重新打开能隙，在重新打开能隙的过程中，贝里曲率是不会变化的，最终，就得到了非零贝里相位的绝缘体。（过程如下图所示）

e²

Δσₓy＝─

ℎ

能隙关闭并重新打开

那么狄拉克锥究竟有什么新奇的物理现象呢？最重要的当然就是量子霍尔效应(quantum hall effect or QHE)以及量子自旋霍尔效应(quantum spin hall effect or QSH)，由于贝里相位非零的特性，那么只需加一个磁场打破时间反演对称性，再将费米面调制到狄拉克点附近，就会出现量子霍尔效应。量子自旋霍尔则需要自旋轨道耦合(Spin-Orbit coupling or SOC)的参与，自旋轨道耦合会导致自旋动量锁定，即运动方向相反的电子会带相反的自旋，加之非零的贝里相位，就会出现自旋量子霍尔效应。在实验上，石墨烯中的量子霍尔效应以及HgTe量子阱(quantum well)中的自旋霍尔效应是拓扑领域中先驱式的作品。如果更进一步在拓扑绝缘体中掺杂磁性材料，还能实现量子反常霍尔效应(quantum anomalous hall effect or QAH)。以后出现的狄拉克半金属(Dirac semimetal)以及外尔(Weyl semimetal)半金属也有丰富而有趣的性质。

关于应用，现在大家都认为拓扑绝缘体导电边态可以做到无耗散的传输，以及自旋霍尔效应在自旋电子学以及磁性调控方向具有前景。

为啥拓扑绝缘体中的陈数只能实现陈数为1的量子霍尔效应呢？这就涉及拓扑分类的知识了。

本文参考Topological insulators and topological superconductors / B. Andrei Bernevig with Taylor L. Hughes.

参考：

1. 其中有非零的贝里曲率其实非常好理解，在贝里曲率的计算式中，分母能级能量之差，当能级能量相等时，即出现一个奇点，非零的贝里相位就容易理解了。

2. 其实拓扑绝缘体这个名字也是有由来的，一是这里对应数学意义上的拓扑中的边界概念，二是在布里渊区对贝里曲率积分得到的陈数，类似拓扑中进行连通性分类。所以经常会拿数学上拓扑分类（比如球、甜甜圈等）类比拓扑绝缘体的拓扑分类。

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