数学

摘自《数学史辞典新编》 杜瑞芝主编 [P731]

数（number） 最基本的数学概念之一。通常包括自然数、整数、有理数、实数复数以及在它们的基础上形成的其他概念，例如代数数、超越数、四元数、八元数等等。

数的概念具有悠久的历史，尤其是自然数观念的产生当在史前时期。在中国史前文化遗存的陶器刻符中就有数字，说明早已形成数的观念了。数的观念产生的详情现在已无法追溯，但严谨的数的理论，尤其是自然数理论，却直到19世纪末才建立起来。

一般认为，原始人在用匹配法计数及考察动作的顺序时就产生了自然数概念，在自然数概念产生的同时，也产生了自然数的运算——算术四则运算，在一定程度上可以说，自然数概念的完善也依赖于数的运算。进行除法运算，即求解方程ax=b(a≠0)，a，b为自然数，方程未必有自然数解，要使它恒有解，也就是使除法运算得以顺利进行，数的概念就要由自然数扩张到正有理数。巴比伦的泥板、古埃及的纸草书中就已有了自然数和分数，中国古代的《周髀算经》给出了分数运算的方法。可见在人类进入文明之初就已有了自然数和分数（即正有理数）的概念。

中国人最先引进负数概念，《九章算术》“方程”章的“正负术”进一步给出了负数的加减运算法则。如果说《九章算术》还仅限于负整数的话，宋元时人们解高次方程就涉及到负有理数了。印度人先提出零的概念（公元5世纪）和零号“0”（公元9世纪）。中国古人由于使用算筹记数，从而形成了独特的零的概念和记号（公元12世纪），其后，中国人开始了完整地认识整个有理数的过程。从解方程的角度看，中国古人一般不考虑负数解；第一个承认方程可以由负数解的是印度人婆什伽罗（12世纪），西方则是许凯最先在1484年给出二次方程的一个负根，后来才承认负数是数。

人们对（正）无理数的认识比对负数的认识早得多。当然，开始认识的只是一部分无理数，首先是一些非平方数的（正的）平方根。最著名的是古希腊的毕达哥拉斯学派（公元前6世纪）发现等腰直角三角形的直角边和斜边的长度不可公度，即直角边长为1的等腰直角三角形的斜边之长不是有理数。据说，他们还证明了这一点。这一点是严格的逻辑证明的结果。这是古代希腊数学的一个特点。为了与毕达哥拉斯学派的“万物皆数（整数及其比）”观点相协调，他们有意避开了非平方数的开方计算问题。中国古人很早就会作开方（开平方、开立方）运算，三国时刘徽已认识到开方不尽数，并且认识到可从不足和过剩两方面逼近开方不尽数，他的算法相当于给出两种开方近似公式：

r r

√α²＋r≈α＋─── √α²＋r≈α＋─

2α＋1 2α

并创用十进分数逐次逼近法。印度人也早就认识到开方不尽数，婆什伽罗等人把无理数视为与有理数一样的数，统一进行处理，这是一大成就。中世纪后期，东方数学传入欧洲，欧洲数学向代数学转化，方程理论成为中心研究课题。16世纪中叶，塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里等人解决了三次、四次方程的求解问题。这时，由于解高次方程的需要，人们经常遇到开方不尽数，但对其认识却较缓慢，施蒂费尔（16世纪）虽然运用过形式复杂的无理数，但认为它们不是真正的数，甚至帕斯卡、巴罗等数学家也认为不尽根√3是“不可解释的”，直到沃里斯、斯蒂文（17世纪）等人才承认无理数是一种实在的数。虽然如此，由于实际的数学工作的需要，在16-17世纪，人们在实际的数学计算中，已承认正数的任何次方方根的存在，对某些无理数的研究已达到相当充分的程度。

研究方程求解，免不了要遇到负数开偶次方的问题。1484年，许凯首先注意到这一问题，他在解二次方程4＋x²＝3x时得到根

3 1

x＝─ ± √2─ – 4，

2 4

他认为这是不可能的。1545年，卡尔达诺认真研究了这种情况，他给出负数开平方的运算方法，并引入最早的虚数记号，但称这种数为“诡辩量”，并怀疑其运算的合法性。1637年，笛卡尔在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，和“实数”相对应。但对于怎样理解虚数，又产生了很大的争议。1797年，韦塞尔给出虚数的几何解释。1799年，高斯提出“复数”概念并给出复数的几何表示法；1801年，他系统使用i表示[公式]（最先是欧拉采用的，但未流行），并用a+bi（a，b为实数）表示复数。后来，高斯又提出用实数的有序对(a，b)表示a+bi，用纯代数方法定义了复数的运算。这一思想由哈密顿于1837年发表出来。人们把数的概念扩张到复数。

哈密顿认真研究了从实数扩张到复数的过程。类比于此，他于1843年提出“四元数”的概念：把复数的有序对(α，β)定义为一个四元数。其后不久，凯莱又用四元数的有序对定义八元数。它们都被称为“超复数”。于是产生了两个问题：数的概念的扩张准则是什么？数的概念能否无限制地扩张下去？人们深入研究了这些问题，1867年汉克尔提出了数的扩张原则（固本原则），大意是：数的概念的扩张是为了满足某种代数运算的需要；扩张的结果必须保持原来的运算都能继续进行（保持各种算律）；扩张所得得新数集中必有一个子集与原来得数集同构。他指出，复数是满足固本原则进行扩张所能得到的最大的数集，六种代数运算可在复数范围内自由实施，n次代数方程在复数域内有n个根；再向超复数扩张，就不能满足固本原则了：四元数的乘法不满足交换律；八元数的乘法既不满足交换律，又不满足结合律。如果舍弃更多的运算性质，超复数还可以扩张到十六元数、三十二元素等。

从自然数到复数构成了通常所说的“数系”，即包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统，这些数之间有如下关系：

自然数零 整数 有理数 实数

} } } } 复数

负整数 分数 无理数 虚数

18世纪数学分析的大发展促使人们对分析基础的研究，分析基础问题最根本的就是实数理论的问题。从19世纪初开始，人们致力于建立实数理论，而实数理论，本质上就是无理数的定义问题。

1821年柯西利用有理数序列的极限定义无理数，但依他的定义，该极限应是预先确定的数，只不过要求它与序列中的项之差趋于零而已。这实际上是一个循环定义。无理数的算术定义，必须在逻辑上无矛盾才行。G·康托尔在1872年用有理数的“基本序列”来定义无理数，把有理数基本序列的集合关于一种等价关系（具有同一极限）的等价数叫做实数，所有实数构成的集合记为R。对有理数a，令序列{a，a，…}所在的等价类与之相对应，就能在实数集中找到一个子集ˉQ与有理数集Q同构，ˉQ的元素也被称为有理数，不是有理数的实数被称为无理数。同一年，戴德金采用了对有理数进行划分的方法定义无理数，他还进一步证明了实数的连续性，外尔斯特拉斯于1860年提出了用递增有界数列来定义实数的思想，恰巧也在1872年，他的学生利萨克正式发表了他的定义。

1844，刘维尔开创了超越数研究。1874年，随着G·康托尔引入“可数”概念，人们发现，作为代数方程的根的无理数只是无理数的极小的部分，“几乎所有”的实数是都是超越数。

综上所述，人们在理解有理数的基础上定义出无理数，有理数本身却是未加严格定义的，定义无理数的需要无疑促使了对有理数的研究。1860年，外尔斯特拉斯在一次讲课时，用自然数的有序对定义出正有理数，用另一类型的自然数对定义负整数，再用一对正负整数来定义负有理数。稍加改进，就是现代采用的有理数定义方法。外尔斯特拉斯认为，只要承认自然数，建立数的理论就不需要进一步的公理了。他认为，自然数的本质和属性不能再作逻辑分析了。持这种观点的典型代表是克罗内克，1886他曾说过：“上帝创造了自然数，其余都是人做的工作。”但在19世纪末数学基础的研究中，人们还是要求证明自然数的无矛盾性——即对自然数加以准确的逻辑分析和定义。1889年，皮亚诺运用集合论思想给出了自然数的一个一个定义。皮亚诺的定义是所谓“序数”定义；G·康托尔等人则给出自然数的“基数”定义，当然，二者是等价的。至此，人们对数的认识画上了一个巨大的圆圈（从自然数到自然数），达到了新的层次。

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