拓扑

个人觉得拓扑能带17年之前理论的发展大概可以以(Bi/Sb)(Se/Te)拓扑绝缘体体系的提出（Nat. Phys. 5, 438 (2009)）以及量子反常霍尔效应的实验实现（Science 340, 167 (2013)）为界分为前后两个阶段。每个阶段又大致上有两条发展路线：一条主要偏向于形式理论，如提出拓扑绝缘体、拓扑半金属等概念以及试图对材料进行拓扑分类；另一条则更加关心体系的输运，如研究能带贝利曲率对输运性质的影响，指出拓扑材料中的反常磁振荡等。

第零阶段

一切都始于量子霍尔效应的发现（Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980)），K. v. Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper在材料中实现了“二维电子气”，并通过测量霍尔电导，发现了e²/h 整数倍的霍尔电导平台。随后Laughlin利用Gauge Invariance Argument为二维电子气的整数霍尔电导给出了完美的解释（Phys. Rev. B 23, 5632 (1981)）。

然而真实的材料中并非完美的二维电子气，TKNN四人考虑了位于磁场和晶格周期势中的二维电子气，并发现当元胞磁通为有理数时，同样可以得到整数量子霍尔电导平台（Phys. Rev. Lett. 49, 405 (1982)），这个结论很大程度上依赖于计算电导的线性相应公式Kubo公式‬

ie²

σʜ＝── ∑ ∑

A₀ ℏεα＜Eғ εβ＞Eғ

(∂ₖ₁Hαβ)(∂ₖ₂Hβα) – (∂ₖ₂Hαβ)(∂ₖ₁Hβα)

─────────────────

(εα – εβ)²

通过一些列推导，Kubo公式可以被化为

ie²

σʜ＝── ∑ ↓

2πh occ.bαnd

∫ d²k ∫ d²r (∂ₖ₁u* • ∂ₖ₂u – ∂ₖ₂u* • ∂ₖ₁u)

的形式，其中uₖ(r) 是类Bloch函数的准周期部分（有理数磁通的磁场改变了周期势的周期）。他们证明了当费米能级落在能隙中时，上式的积分是 2πi 的整数倍，从而给出了整数霍尔电导平台。

随后Haldane提出了他的Haldane Model（ Phys. Rev. Lett. 61, 2015 (1988)），并指出量子化霍尔电导出现的根本原因并非净的外磁场，而是体系时间反演对称性的破坏。净的外磁场确实可以破坏时间反演对称性，但除此之外还可以是材料本身的磁性造成的。这篇文章中还根据其模型的参数画出了是否为量子霍尔效应态的相图。

第一阶段（1980前后-2010前后）

形式理论

TKNN数某种意义上以经有一点拓扑的意思了，但想要更清楚的看出这一点，离不开Berry Phase概念的提出（Proc. R. Soc. A Math. Phys. Eng. Sci. 392, 45 (1984)）。一旦有了Berry Phase和Berry Curvature的概念，我们重新看TKNN理论中用到的计算电导的公式，立马发现其正是Berry Curvature在整个布里渊区（一个二维流形）上的积分，其值一定是2πi 的整数倍，这个数在数学中通常称为陈数，从而我们便有了陈绝缘体的概念。

1997年， A. Altland and M. R. Zirnbauer基于时间反演、手性对称性和粒子空穴对称性给出了多粒子体系的十重分类（Phys. Rev. B 55, 1142 (1997)），每一个类别中体系可以由一个整数或是奇偶数来标记。此时人们发现量子霍尔效应体系中的整数量子霍尔电导/TKNN数/陈数实际上就对应了十重分类中的A类。在此基础上，人们自然就会思考，其他类别中的那些整数/奇偶数又可以对应什么现象呢？

2001年Kitaev给出了他著名的Kitave Chain模型（Physics-Uspekhi 44, 131 (2001)），这个模型描述了了一个一维超导系统，在该系统端点可以出现Majorana零能模。而这个体系属于AZ十重分类中的D类，D类在一维可以由一个ℤ₂ 数刻画，具体到Kitave Chain模型就是零能模的有无。

2005年Kane和Mele提出了ℤ₂ 拓扑绝缘体的概念并指出了及其与量子自旋霍尔效的关联（Phys. Rev. Lett. 95, 226801 (2005)、 Phys. Rev. Lett. 95, 146802 (2005)）。前边提到量子化的霍尔电导/陈数来自于体系时间反演对称性的破坏。因此对于有时间反演对称性的体系，陈数总是0。但时间反演对称性的存在，可以让我们对所有的能带按照时间反演本征值进行分类，可以预见，对两类能带分别计算陈数可以得到两个互为相反数的整数。那么这个整数的奇偶性就可以用来刻画这样一个体系。实际上这样的体系属于AZ十重分类的AII类，确实可以用一个 ℤ₂ 数/奇偶数来描述。

X. L. Qi, Y.-S. Wu and S.-C. Zhang三人也做出了类似的工作（Phys. Rev. B 74, 085308 (2006)）。在此基础上Bernevig, T. L. Hughes, and S.-C. Zhang提出可以在HgTe量子阱结构中实现量子自旋霍尔效应（ Science 314, 1757 (2006)）。

随后L. Fu, C. L. Kane, and E. J. Mele考虑了量子自旋霍尔效应在三维的推广，并提出了三维拓扑绝缘体的概念（Phys. Rev. Lett. 98, 106803 (2007)）。他们建议用四个ℤ₂ 数来刻画三维体系，这篇文章中他们给出了在有空间反演对称性的系统中这些 ℤ₂ 数的简单计算公式。在随后文章（Phys. Rev. B 78, 045426 (2008)），他们提出了可能实现的该三维拓扑绝缘体的材料 Bi₁₋ₓSbₓ ，并很快在实验中得以验证（Nature 452, 970 (2008)）。随后H. Zhang, C.-X. Liu等人提出了一大类可以实现3DTI的材料： Bi₂Se₃，Bi₂Te₃，Sb₂Te₃ (Nat. Phys. 5, 438 (2009))。

与此同时，C. Liu, X. Qi, X. Dai, Z. Fang, and S. Zhang等人也在思考如何得到量子反常霍尔效应，即通过材料本身的磁性而非外磁场得到量子化的霍尔电导平台，起初他们提出或许可以在量子自旋霍尔效应中进行磁性掺杂破坏掉时间反演来实现（Phys. Rev. Lett. 101, 146802 (2008)）。随着3DTI的发现，他们发现直接在3DTI中进行磁性掺杂似乎是更有效的方法（Science 329, 61 (2010)）。随后薛其坤团队采用了此方法，并终于首次实现了量子反常霍尔效应（Science 340, 167 (2013)）。

有很多综述很好的总结了这一段时间领域的发展历程：

[1] M. Z. Hasan and C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010).

[2] X.-L. Qi and S.-C. Zhang, Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011).

输运

前面提到贝利相为概念提出后，人们恍然发现，线性响应中用于计算电导的Kubo公式竟然可以写成能带的贝利相为在整个布里渊区的积分。

为了论证这一结论的普遍性，G. Sundaram and Q. Niu利用波包动力学的方法，重新研究了能带贝利曲率对体系输运性质的影响，并给出了贝利曲率一阶修正下波包(k，r) 的运动方程（Phys. Rev. B 59, 14915 (1999)）。在该理论下，反常霍尔电导实际上时贝利曲率在所有占据态上的积分。随后Z. Fang等人在SrRuO3中计算了贝利曲率的积分并与材料的反常霍尔电导进行对比，为该半经典输运理论提供了有力的论据（Science 302, 92 (2003)）。

在G. Sundaram and Q. Niu 1999年那篇文章中，他们也研究了贝利曲率对相空间半经典轨道的影响（即轨道贝利曲率对Bohr-Sommerfeld量子化条件的修正）。

随后D. Xiao, J. Shi, and Q. Niu进一步研究了贝利曲率对相空间态密度的修正，结合玻尔兹曼方程，给出了完整的贝利曲率修正下的半经典输运理论（Phys. Rev. Lett. 95, 137204 (2005)）。

关于贝利曲率与半经典输运理论，可以参考综述：

[3] D. Xiao, M.-C. Chang, and Q. Niu, Rev. Mod. Phys. 82, 1959 (2010).

第二阶段（2010前后-2017）

形式理论

3DTI提出后不久，人们关心的对象就绝缘体转向了无能隙的体系。

早在1981年H. B. Nielsen和M. Ninomiya就已经证明了晶格体系中可以存在手性元激发（外尔费米子），但不同手性的必须成对出现（Nucl. Phys. B 185, 20 (1981)）。X. Wan等人通过DFT计算首次提出Y2Ir2O7能带中存在外尔点，可能存在外尔费米子型激发（Phys. Rev. B 83, 205101 (2011)）。随后G. Xu等人发现HgCr2Se4也是一个这样的外尔半金属（Phys. Rev. Lett. 107, 1 (2011)）。这两个体系均破缺了时间反演对称性，具有磁性，因此难以试验检测。随后H. Weng等人提出破缺了空间反演对称性的体系TaAs、TaP、NbAs和NbP中也存在外尔费米子型激发（Phys. Rev. X 5, 1 (2015)）。

在绝缘体中，人们关心的拓扑不变量通常来自于整个布里渊区的贡献，但在半金属中，人们关心的是通过费米面上的量构造的拓扑不变量。例如在外尔半金属中，能带贝利曲率在整个费米面上的面积分是2πi 的整数倍。对于线性色散的外尔半金属，这个整数只能是 ±1 ，也就是这个外尔点的手性。但C. Fang等人指出，当外尔点在系统高对称线上并被某些旋转对称性保护时，包裹外尔点的费米面陈数可以大于1，此时低能激发仍有手性，但色散关系不再是线性（Phys. Rev. Lett. 108, 266802 (2012)）。

人们早就认识到石墨烯中存在狄拉克费米子型激发，因此人们也希望可以在三维体系中找到狄拉克费米子型激发。Z. Wang等人提出A3B(A=Na,K,Rb)体系中可能存在无质量狄拉克费米子型激发（Phys. Rev. B 85, 195320 (2012)），随后他们提出Cd3As2中也存在这样的激发（Phys. Rev. B 88, 125427 (2013)）。实验很快跟进并验证了他们的理论（Science 343, 864 (2014)， Nat. Mater. 13, 677 (2014)）。但不同于外尔点，狄拉克点很容易因为微扰打开能隙，为了保证狄拉克点稳定性，这些体系通常要求额外的晶体对称性保护。B.-J. Yang and N. Nagaosa分类了三维系统中晶体对称性保护下可能存在的四重简并的费米子型激发（Nat. Commun. 5, 4898 (2014)）。

半金属中，导带与价带接触除了外尔、狄拉克半金属中的点接触，还可能是线接触，基于此，人们也提出了nodal line半金属的概念（Phys. Rev. B 84, 235126 (2011)），nodal line的稳定存在性通常由mirror或者PT对称性保证。更多关于nodal line半金属的内容可以参考综述：Chinese Phys. B 25, 117106 (2016)。

这一阶段，人们兴趣点除了转向半金属系统，也开始开始更加关心晶体点群对称性可能带来的能带拓扑性质。关于这一阶段的总结，可以参考综述：

[4] C.-K. Chiu, J. C. Y. Teo, A. P. Schnyder, and S. Ryu, Rev. Mod. Phys. 88, 035005 (2016).

输运

前面提到，人们通过引入能带贝利曲率，建立了一套半经典输运理论。基于此理论D. T. Son 等人指出外尔半金属体系中可能出现“手征反常”（Phys. Rev. Lett. 109, 181602 (2012)）以及由此带来的负磁阻效应（Phys. Rev. B 88, 104412 (2013)）。随后负磁阻成为了除ARPES外检测是否为外尔/狄拉克半金属的另一个必要不充分条件。

此时人们提出半金属体系另一个输运反常是其磁振荡的频率和相位与传统电子气不同（Phys. Rev. Lett. 117, 077201 (2016)）。这一点并非难以理解的，毕竟统计物理中计算电子气磁振荡时，电子气的色散关系起到了重要作用。从WKB近似的角度考虑，反常的磁振荡其实来自于贝利曲率对Bohr-Sommerfeld量子化条件的修正，以及由此带来的不同于经典电子气的朗道能级（Phys. Rev. B 97, 144422 (2018)）。

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