数学理论（五）

素数分布之道(原创彭秋年)

摘要：㈠创建能量参照法生成素数分布新论；㈡论各种奇素数组合的分布；㈢论偶数u的素数分解对的分布；㈣论m次函数中的素数分布；㈤论梅森素数的分布.

关键词：能量参照法、素数分布新论.

[本文节选㈠、㈣]

㈠、创建能量参照法生成素数分布新论.

首先陈述素数定理：如果以q表示自然数s以内的素数数量，则q=s/㏑s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算更精确)

当s足够大时，显然满足：

(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集.

且令：s以内集合X中大于2的元素依次是x₁，x₂…xₙ；同时定义s以内集合X中元素的能量和为e=1/㏑x₁+1/㏑x₂…+1/㏑xₙ.

则有：s以内集合N中元素的能量和e、素数数量q都趋近或等于s/㏑s，即q=e=s/㏑s.

以集合X={x|x=3a+1,(a∈N)}为例展开论述.

且令：集合X、N中与pᵢ互素的元素的分布比例分别为yᵢ、zᵢ.

(i∈N,p₀=2,i＞0时,pᵢ表示第i个奇素数)

则有：i=1时，y₁=1，z₁=2/3；

i≠1时，yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；

集合X、N中与p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别为y₀y₁…yᵢ、z₀z₁…zᵢ.

且令：rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有：r₀=1；i＞0时，rᵢ=1/(2/3)=3/2.

分析：s以内集合X中的元素相对于集合N中的元素，它们成为素数的能力强度其参照值是r=3/2；简述为集合X存在参照常数r=3/2.

且令：s以内集合X中元素的能量和为e.

则有：e=s/(3㏑s).

分析：s以内集合X中的素数数量q等于能量和e与参照常数r之积，即q=er=s/(2㏑s).

以此类推

且令：P={全体素数}；

X={x|x=pa+y,(a∈N)}.

(p∈P,y=1,2…p-1)

则有：p、y确定时，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/[(p-1)㏑s].

且令：P₀=P∩X.

则有：s以内集合P₀、P中元素数量分布之比为1/(p-1).

定义：使用能量和e与参照值r的概念对素数分布进行分析探讨的方法称为能量参照法.

素数定理与能量参照法结合为素数分布新论如下：

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集；集合X中与pᵢ、p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别为yᵢ、y₀y₁…yᵢ. (i∈N)

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

若存在n使得：i＞n，所有的rᵢ都趋近或等于r；则称集合X存在参照常数r.

且令：s以内集合X中元素的能量和为e，素数元素的数量为q. (s足够大)

则有：q=er.

㈣、论m次函数中的素数分布.

①、论一次函数(等差数列)中的素数分布.

以集合X={x|x=10a+1,(a∈N)}为例展开论述.

且令：集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ；zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ. (i∈N)

则有：10的素因数为p₀=2、p₂=5，对应y₀=y₂=1；i≠0、2时，yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；

且令：rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有：i＞1时，rᵢ=1/[(1/2)(4/5)]=5/2.

即，集合X存在参照常数r=5/2.

简述：10以内有4个正整数(1,3,7,9)与10互素，对应集合X存在参照常数r=10/4=5/2.

s以内集合X中元素的能量和为e=s/(10㏑s).

因此，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/(4㏑s).

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

以此类推

且令：X={x|x=ma+n,(a∈N)}；

m以内有u个正整数与m互素.

(m,n为互素的正整数,m＞n)

则有：集合X存在参照常数r=m/u；s以内集合X中元素的能量和为e=s/(m㏑s).

因此，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/(u㏑s).

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

②、论二次函数中的素数分布.

以集合X={x|x=a²+1,(a∈N)}为例展开论述.

且令：集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ. (i∈N)

则有：y₀=1/2；pᵢ=4c+1时，yᵢ=(pᵢ-2)/pᵢ；pᵢ≠2、4c+1时，yᵢ=1. (c∈N)

又，4以内共有2个正整数(1,3)与4互素.

因此，s以内有1/2的pᵢ=4c+1.

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有：rᵢ→1.37…

即，集合X存在参照常数r=1.37.

s以内集合X中元素的能量和为e=√s/㏑s.

因此，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=1.37√s/㏑s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

以此类推

且令：A={x|x=a²+n,(a∈N)}；

B={x|x=a²+a+n,(a∈N)}；

C={x|x=(a²+a)/2+n,(a∈N)}.(n∈Z)

则有：n确定时，s以内集合A、B、C中素数数量分布的计算公式都是q=er=rₙk/㏑s.

[k表示s以内集合X(X=A,B,C)中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算]

集合A的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、n=-b²(b∈N)时，集合A的表达式能够进行因式分解，rₙ=0.

2、n≠-b²(b∈N)时，令|4n|以内存在2u个正整数与|4n|互素，集合A的正元素中包含的与|4n|互素的素因数除以|4n|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b₁,b₂…bᵤ}；

当pᵢ整除|4n|时，令tᵢ=1；

当pᵢ=|4n|c+bᵥ时，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；

当pᵢ不能整除|4n|且pᵢ≠|4n|c+bᵥ时，令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1)；

s以内有1/2的pᵢ=|4n|c+bᵥ；

i足够大时，rₙ=t₀t₁…tᵢ=常数.

(i∈N,c∈N,v=1,2…u)

另外，如果m=nb²(b∈N+)；

b不存在与|4n|互素的奇素因数，则rₘ=rₙ；

b存在与|4n|互素的奇素因数d₁,d₂…dₓ，

当dᵢ=|4n|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，

当dᵢ≠|4n|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ，

则rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x；c、bᵥ同上)

例如：

n=7时，|4n|=28，28以内存在12个正整数与28互素，集合A的正元素中包含的与28互素的素因数除以28所得互异的余数(有且仅有6个)组成序列

B={b₁,b₂…b₆}={1,9,11,15,23,25}；

28的素因数为p₀=2、p₃=7，令t₀=t₃=1；

当pᵢ=28c+bᵥ时，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；

当pᵢ≠2、7、28c+bᵥ时，令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1).

(i、c∈N,v=1,2…6)

又，s以内有1/2的pᵢ=28c+bᵥ；

经计算，i＞167时，r₇=t₀t₁…tᵢ=1.96…

因此，集合A={x|x=a²+7,(a∈N)}的参照常数为r₇=1.96.

经粗略计算，r₁=r₄=1.37，r₂=r₈=0.71，

r₃=1.11，r₅=0.52，r₆=0.71，r₇=1.96，

r₀=r₋₁=r₋₄=0，r₋₂=r₋₈=1.89，r₋₃=1.38，

r₋₅=1.78，r₋₆=1.04，r₋₇=0.75.

(连续足够多个rₙ的均值为1)

集合B的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、n为偶数时，集合B中的元素均为偶数，rₙ=0.

2、n为奇数时，令|4n-1|以内存在2u个正整数与|4n-1|互素，集合B的正元素中包含的与|4n-1|互素的素因数除以|4n-1|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b₁,b₂…bᵤ}；

当pᵢ整除|4n-1|时，令tᵢ=1；

当pᵢ=|4n-1|c+bᵥ时，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；

当pᵢ不能整除|4n-1|且pᵢ≠|4n-1|c+bᵥ时，令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1)；

s以内有1/2的pᵢ=|4n-1|c+bᵥ；

i足够大时，rₙ=2t₁t₂…tᵢ=常数.

(i∈N+,c∈N,v=1,2…u)

另外，如果|4m-1|=|4n-1|b²(b为正奇数)；

b不存在与|4n-1|互素的奇素因数，则rₘ=rₙ；

b存在与|4n-1|互素的奇素因数d₁,d₂…dₓ，

当dᵢ=|4n-1|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，

当dᵢ≠|4n-1|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ，

则rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x；c、bᵥ同上)

经粗略计算，r₁=1.56，r₀=r₋₂=r₂=0，

r₃=1.01，r₋₁=3.43，r₋₃=1.61.

(连续足够多个rₙ的均值为1)

集合C的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、n=-(b²+b)/2(b∈N)时，集合C的表达式偶数项与奇数项能够分开进行因式分解，rₙ=0.

2、n≠-(b²+b)/2(b∈N)时，令|8n-1|以内存在2u个正整数与|8n-1|互素，集合C的正元素中包含的与|8n-1|互素的素因数除以|8n-1|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b₁,b₂…bᵤ}；

当pᵢ整除|8n-1|时，令tᵢ=1；

当pᵢ=|8n-1|c+bᵥ时，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；

当pᵢ不能整除|8n-1|且pᵢ≠|8n-1|c+bᵥ时，令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1)；

s以内有1/2的pᵢ=|8n-1|c+bᵥ；

i足够大时，rₙ=t₁t₂…tᵢ=常数.

(i∈N+,c∈N,v=1,2…u)

另外，如果|8m-1|=|8n-1|b²(b∈N+)；

b不存在与|8n-1|互素的奇素因数，则rₘ=rₙ；

b存在与|8n-1|互素的奇素因数d₁,d₂…dₓ，当dᵢ=|8n-1|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，

当dᵢ≠|8n-1|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ，

则rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x；c、bᵥ同上)

经粗略计算，r₁=1.98，r₀=r₋₁=0，

r₋₂=2.35，r₂=1.24.

(连续足够多个rₙ的均值为1)

综合而论

s以内集合X={x|x=k₂a²+k₁a+n,(a∈N}中素数数量分布的计算公式是q=er=rₙk/㏑s. (k₂∈N+,k₁∈Z,n∈Z,k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

集合X的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、集合X的表达式能够进行因式分解或者所有元素都被某个素数整除时(例如k₁、k₂为奇数,n为偶数时,所有元素都被2整除)，rₙ=0.

2、当集合X不符合第1条所述；k₁为偶数时，令A={x|x=a²+k₂n-k₁²/4,(a∈N)}；

k₁、k₂、n均为奇数时，令B={x|x=a²+a+k₂n-(k₁²-1)/4,(a∈N)}；

k₁为奇数、k₂为偶数时，令C={x|x=(a²+a)/2+k₂n/2-(k₁²-1)/8,(a∈N)}；

当k₂=2ᵐ(m∈N)时，令b=1；当k₂存在奇素因数d₁,d₂…dₓ，dᵢ(i=1,2…x)整除k₁时，令bᵢ=dᵢ/(dᵢ-1)，dᵢ与k₁互素时，令bᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，令b=b₁b₂…bₓ；

则rₙ等于集合X对应的集合(A,B,C三者之一)的参照常数乘以b.

(k₁,k₂不变,连续足够多个rₙ的均值为1)

③、论m(m∈N+)次函数中的素数分布.

且令：X={x|x=kₘaᵐ+kₘ₋₁aᵐ⁻¹…+k₁a+n,(a∈N)}. (m、kₘ∈N+，n、k₁…kₘ₋₁∈Z)

则有：s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=rₙk/㏑s.

(k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

集合X的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、集合X的表达式能够进行因式分解或者所有元素都被某个素数整除时，rₙ=0；否则，按2、3条计算，rₙ＞0，集合X中素数无穷多.

2、集合X中的正元素除以pᵢ所得余数呈现周期性分布规律，周期长度为pᵢ；每个素数都对应一个余数周期，这些周期内最多有m个0，最少则无0，平均为一个0；令pᵢ对应的余数周期中有dᵢ个元素与pᵢ互素；令tᵢ=dᵢ/(pᵢ-1)；i足够大时，rₙ=t₀t₁…tᵢ=常数. (i∈N)

3、第2条是关于集合X的rₙ值的直接计算法，前面计算表达式为二次函数的集合X的rₙ值用的是间接计算法，关于计算表达式为二次以上函数的集合X的rₙ值的间接计算法尚待探讨.

(m,k₁…kₘ不变,连续足够多个rₙ的均值为1)

另外，当集合X的表达式中某些项的系数不为整数时，若集合X中的正元素分布符合上述第2条，则集合X的rₙ值计算方法同上.

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