伽罗瓦理论之美（一）

伽罗瓦（Évariste Galois，1811～1832），一个21岁就去世了的年轻人，开创了现代代数学的先河。他创建的群论、域论，优美奥妙，已经成为现代代数学的基本工具。我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论，随着理解的深入，我内心不断感受到震撼，心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样，不由自主的希望与别人共享。遗憾的是，数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。伽罗瓦理论虽然优美，但是却足够深奥，除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外，尚不能被普通大众所理解。

可是我不甘心，我期望着尽自己的努力，用最简明通俗的语言，尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导，而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人，伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事，一边尝试着攀登这座高峰吧。

首先，我们来引用伽罗瓦的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify them according to their complexities rather than their appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in this work.”（跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类；我相信，这是未来数学的任务；这也正是我的工作所揭示出来的道路。）

当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候，没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑中存在了1年多的时间了。甚至是在伽罗瓦第二天参与一个愚蠢的决斗而死后的14年内，都没有人彻底弄明白伽罗瓦写的到底是什么，他头脑中那伟大而天才的数学结构是怎样的？看看这些霸气的名字吧，高斯、柯西、傅立叶、拉格朗日、雅可比、泊松、……，这些在那个时代、同时也是人类历史上的伟大的数学家、物理学家都没有理解伽罗瓦的理论，从这个意义上讲，伽罗瓦恐怕是人类历史上最具天才的数学家了。

让我们先来看一些对比：

（1）1824年，挪威数学家阿贝尔发表了《一元五次方程没有一般代数解》的论文，用了50多页的篇幅和大量的计算，论证了对于一般的一元五次方程是不可能根式求解的。当时阿贝尔的证明今天看来，充满着智慧和复杂的计算，但是仍不够严谨。当我们今天使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候，论证过程为“一般一元五次方程的伽罗瓦群同构于全置换群S5，而S5不是可解群，因此一般一元五次方程不可根式求解。”

（2）1801年，年轻的24岁“数学王子”高斯通过复杂的计算推导，证明了x^p-1=0（p为素数）是可根式求解的，证明过程使用了大量计算技巧，充分展示了高斯的数学计算天赋。今天我们使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候，论证过程为“方程x^p-1=0（p为素数）在有理数域Q上的伽罗瓦群同构于素数阶模p同余类乘群Zp，而Zp是循环群，必为可解群，因此方程x^p-1=0可根式求解。”甚至我们可以类似的论证p不为素数时的方程x^n-1=0在Q上的伽罗瓦群同构于模n同余类乘群Z’n，为可换群（阿贝尔群），必为可解群，因此方程x^n-1=0可根式求解。

伽罗瓦理论还可以轻松的解决正n边形的尺规作图问题，证明三等分角、倍立方、化圆为方（这个有赖于π是超越数的证明）的尺规作图不可能问题。今天，伽罗瓦的理论已经发展成叫做“近世代数”（又叫抽象代数）的一个专门数学分支，其应用拓展到了拓扑、微分几何、混沌等前沿数学研究领域以至于物理、化学等众多科学领域，成为了现代科学研究的重要基础工具。1994年英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明著名的“费马大定理”的时候，就主要应用了伽罗瓦理论。

当看到一大批通过繁杂计算很难得到证明的问题，能够被使用精巧的数学结构来简洁而精准证明的时候，你也许开始感受到伽罗瓦理论的优美——但这仅仅是一个开始。从这个“开始”，我们会逐渐感受到伽罗瓦所说的“Jump above calculations, group the operations.”的含义。那么伽罗瓦到底发明了什么数学结构和工具，使得原来复杂的问题变得清晰起来了呢？

一、更高层次的抽象——群、环、域

【伽罗瓦的故事】

有人说“数学也许只存在于数学家的头脑之中”，至少数学是发端于数学家头脑的。1823年，12岁的埃瓦里斯特·伽罗瓦进入了他的第一所学校——路易·勒格兰皇家中学，一所声望很高但相当专制的学校，但是直到16岁，伽罗瓦才被准许读他的第一门数学课程。虽然12～16岁期间的伽罗瓦没有机会研究数学，但是这时期法国社会上和学校中发生的一些事件点燃了他的共和主义倾向，奠定了他日后参与政治的悲剧人生的基础。

原本成绩优秀的伽罗瓦一旦开始学数学，就像变了一个人，变得对其它课程都不重视，而只醉心于数学这一门课程。学校给他的评语是“该生只宜在数学的最高领域中工作，这个孩子完全陷入了对数学的狂热之中。”没有人知道16～18岁中学时期的伽罗瓦头脑中在想些什么，人们只能从表面上看到他所掌握的数学知识足以通过中学的考试要求，但是他对问题的解答往往让考官理解不了。更糟糕的是，他经常把大量的演算放在头脑中进行，使得平庸的考官们更为茫然和沮丧。

现有的材料表明，17岁的伽罗瓦已经开始研究一般的一元五次方程求解的问题了，他曾提交了2篇论文给法国科学院，当时的评审专家是著名数学家柯西。柯西显然被伽罗瓦的论文所震惊，他建议伽罗瓦重新以专题的形式提交这两篇论文，并参加数学大奖的评审。这期间正赶上伽罗瓦的父亲因政治原因而自杀，伽罗瓦在参加完父亲的葬礼后，把改好的专题论文提交给了法国科学院秘书、著名数学家傅立叶。可惜的是，傅立叶在评审前几个星期就去世了，在这个过程中伽罗瓦的论文也丢失了，从而失去了参加评奖的机会。天知道为什么这两篇很可能是那个时代最伟大的论文被丢失了？难道上帝都在嫉妒伽罗瓦么？

【伽罗瓦理论】

在我们已经全面了解并极大发展了伽罗瓦理论的今天，回想1828年伽罗瓦提交的那两篇论文，我们有理由猜测，伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。在伽罗瓦看来，“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构，这是一种更加本质、更加抽象的数学结构，当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候，就形成了新的数学概念——群。

（1）群：给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”（这个“乘法”不是数字运算的乘法，而只是借用了这个名字，因此加上了引号），如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足：

＜1＞ 封闭性：集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内；

＜2＞ 结合律：这个“乘法”满足(a*b)*c=a*(b*c)；

＜3＞ 单位元：集合中存在某个元素e，对于任意集合中的其它元素a有e*a=a*e=a，e被称为单位元；

＜4＞ 逆元：对于集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一个元素α⁻¹，使得α * α⁻¹=α⁻¹ * α=e，a与α⁻¹互为逆元。

此时，这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。

我本不愿意罗列概念，但是如果要想感受到伽罗瓦理论之美，就必须弄清楚“群”的概念。就像一个人想要欣赏美妙的音乐，你总要能区分音调高低、节奏快慢一样，如果高音“1”和低音“1”在你听来是一样的，那么很难想象你可以欣赏美妙的交响乐。

“群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。容易验证，整数集合在加法运算下成群（这里的加法就通常意义的数字加法，对应着群定义中的“乘法”），其单位元是数字0；但是整数集合在乘法运算下不成群，这是因为对于大部分整数，没有乘法的逆元。

其实群在日常生活中也会存在，常见的是魔方，它的全部操作构成一个集合，再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”，则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群，叫做RUBIC群。

（2）环与域：在一个集合上定义两种运算“加法”和“乘法”，如果这个集合在这个“加法”下成群，而在这个“乘法”下只满足“封闭性”与“结合律”，则称这个集合与这两种运算构成一个“环”；如果这个集合去除“加法”群下的单位元后形成的新集合在“乘法”下成群，则称这个集合与这两种运算构成一个“域”。显然，“域”是一种特殊的“环”（以上不是环与域的严格定义）。

对不起了，伽罗瓦理论是够抽象的，对于完全没有接触过群论、域论的人来说，这几个概念就挺费琢磨。可是没有办法，伽罗瓦理论这座高峰就需要踩着这些概念的台阶来攀登，你想欣赏最美好的风光，就需要把这些“概念”踩在脚下，“无限风光在险峰”。

如果看懂了这三个概念，特别是看懂了“群”和“域”这两个概念，就会理解这些结构其实就是从基础的数字运算关系中抽象出来的。比如：有理数在加法和乘法运算下构成一个域，0是加法单位元，1是乘法单位元，不包含0的有理数在乘法运算下成群；实数、复数在加法和乘法下都构成域；无理数在加法和乘法下不能构成域，这是因为无理数之和可能是有理数，不满足封闭性。

下面用群和域的概念做一个思维体操，证明有理数是最小的数域（由数字和加法、乘法构成的域）：

step 1 : 数域必有加法单位元0和乘法单位元1；

step 2 : 由加法封闭性得到n个1相加必然还在域内，于是任意自然数n在域内；

step 3 : 再由加法存在逆元得到-n也在域内，这样全部整数必然在域内；

step 4 : 再由乘法存在逆元得到，任意整数n（0除外）的倒数1/n必在域内；

step 5 : 再由乘法成群（去除0后）得到，任意m/n（m和n是整数）也在域内。

这样，就证明了有理数必须在数域之内，而且构成了一个域。因此，有理数是最小数域。

做完这个思维体操我们可以知道，不要小看群、环、域这样一些基本概念，这些概念定义的是一种数学结构，只从基本概念出发，就可以得到很多复杂的结果。譬如直到上世纪80年代，数学家们才真正彻底解决了全部有限单群分类的问题，这是经过了近30年时间、由超过100位数学家在500多种期刊上写下的超过10000页的论文而最终解决的，其基础则是200年前伽罗瓦提出的概念——群。

（3）群和域的同构

群，不是随随便便就能构成的；域，或许更复杂一些。

伽罗瓦发现，有些表象不同的群之间，其实质是完全相同的。这样的群称为是“同构”的，也就是说，这样的群在结构和性质上都完全相同，只有表面符号上存在差别。同构的群在去掉表象之后，可以认为是同一个群。

比如，对某一向量进行旋转的操作构成一个集合A={逆时针转0度，逆时针120度，逆时针240度}，定义这个集合中元素的“乘法”为先进行第一个操作、再进行第二个操作，于是A在此“乘法”下构成一个群；再定义另外一个集合B={1，e²πⁱ/³，e⁴πⁱ/³}，定义其上的“乘法”为普通的复数乘法，则B在乘法下也构成一个群。简单分析即可发现，A和B这两个群结构是完全相同的。

群同构的严格定义是：存在两个群A、B之间的一个双射（即一一对应的映射）ϕ:A→B，满足ϕ(a*b)=ϕ(a)×ϕ(b)，其中a、b∈A，ϕ(a)、ϕ(b)和ϕ(a*b)∈B，*和×分别是群A和B的“乘法”。

类似的，域也有同构的情况。简单说两个域的同构定义为：两个域上的“加法”群同构，并且去除“加法”单位元之后的两个域上的“乘法”群也要同构。

好了，先不再讲述数学概念了，一些不熟悉数学的人可能已经糊涂了。哪怕只看完最基本的概念，我们也会震惊于伽罗瓦的天才头脑。一个16岁才开始接触数学、21岁就因决斗而死去的年轻人，是如何在那短短5年的时间里面，想通如此复杂的数学构造、得到如此美妙的数学结论的呢？

二、巧妙的概念——扩域、根式可解、根式塔‬

【伽罗瓦的故事】

由于伽罗瓦的父亲死于政治事件，再加上伽罗瓦自身的共和主义政治倾向，导致他偏执的认定他的论文丢失事件是由于政治原因而被法国科学院故意制造的。特别是一年以后，伽罗瓦的另外一篇论文被科学院拒稿后，他更认定了这一点。

但是，今天再来分析这件事，可以比较确定的讲，伽罗瓦的这种判断完全是他的一厢情愿。事实上论文丢失很可能就是一个偶然事件（特别是由于傅立叶的去世），而第二次拒稿则是由于伽罗瓦的思维过于跳跃，论文中的论证过于简单，没有详细展开，导致论文评审者无法判定论文是否严密正确。事实上，以伽罗瓦的天才，在他眼里看来很简单、显然成立的论证过程，可能在别人眼里看来是需要复杂证明的。

于是，伽罗瓦开始放松了他的研究工作而主要来从事共和主义事业的斗争。这时的伽罗瓦就读于高等师范学校，他作为闹事者的名气已经超越了作为数学研究者的名声，大家已经不再把他当作是数学研究者了，而更多的把他看成是闹事学生。特别是在1830年的七月革命期间，他公开发表严厉攻击校长的言论，终于被校长基尼约特给开除。从此，伽罗瓦的正式数学生涯到此结束。

被开除后的伽罗瓦参加了国民警卫队的炮兵部队，试图成为一名职业反叛者。可是仅仅1个月后，新国王路易·菲利普取消了炮兵部队，伽罗瓦彻底失业了。索菲·热尔曼，一位当时的年长女数学家曾经在信件中记述伽罗瓦“他身无分文，他的母亲也几乎没有钱财，但他却不改变得罪人的习性”。

在1831年上半年的一次共和主义者聚会活动上，伽罗瓦表达了杀死国王的意图，于是被控“威胁国王生命罪”而受审。陪审团最终考虑到他年仅20岁，尚未完全成熟，判决无罪释放。一个月后，1831年7月14日的巴士底日，伽罗瓦身着已经被解散并查禁的炮兵警卫队制服在巴黎游行，从而被判处监禁。之后在监狱的几个月中，他学会了喝酒，在一次喝醉后还试图自杀。

1832年3月，由于霍乱的爆发，伽罗瓦被提前释放。之后的几个星期里，伽罗瓦和一位巴黎医生的女儿斯特凡妮发生了风流韵事。偏偏这个女人已经和一名叫做Pescheux d’Herbinville的绅士订婚了。这名绅士知道了自己未婚妻和伽罗瓦的事情后，十分愤怒，毫不犹豫向伽罗瓦提出挑战。这名绅士是当时法国一名最好的枪手，伽罗瓦深知决斗会给自己带来什么，但是他仍然接受了挑战。

挑战的前夜，伽罗瓦知道第二天将是自己生命的终结了，他唯一担心的是他被法国科学院拒绝的数学研究成果会永远消失，毕竟当时还没有人能够理解他的理论。他在这一个晚上力图写下他全部的数学思想，书写的字里行间不时的出现“斯特凡妮”或者“一个女人”等字样，还多次出现“我没有时间了”的感叹。在第二天凌晨，伽罗瓦写完了他的数学思想，并给他的朋友写了一封信。

信中，伽罗瓦自信的写到“在我的一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我写在这里的一切已经清清楚楚地在我脑海里形成1年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。请公开请求雅可比或者高斯对这些定理的重要性（而不是定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有益处的事”。

第二天，1832年5月30日，伽罗瓦只身一人参与决斗，最终腹部中弹，无望地倒在地上，胜利者悄然离去。伽罗瓦的兄弟阿尔弗雷德在几个小时之后到达现场，把他送到医院，但是为时已晚，腹膜炎已经形成，5月31日，伽罗瓦离开了人世。

【伽罗瓦理论】

我无法想象1830年到1832年这段时间，伽罗瓦在食不果腹、不断入狱的条件下，在把主要精力都投入到政治斗争的情况下，是如何继续深入思考他的数学研究课题的。在我看来，即使衣食无忧的情况下想把伽罗瓦的理论全部学懂，都是不容易的，何况是创造出来。

由于伽罗瓦的研究成果是以上面提到的方式展现在世人面前的，因此没有人能够准确知道他到底是如何想到这些概念和证明的，先后顺序是怎么样的，思维总体上是怎样贯穿的？以下只是我个人的猜测。

（1）伽罗瓦可能首先从“域”的角度出发，思考了域的扩张。

我们知道，有理数域Q是最小的数域，实数R、复数C也都构成一个数域，那么是否存在数域，范围大于有理数Q但是小于实数R、或者大于R小于C呢？甚至是否存在数域，其范围大于Q小于C，同时又不完全包含或者包含于R呢？这要从最小数域的扩张开始，域的扩张称为扩域。

扩域：把某个域F中添加进一个或几个不属于这个域的元素，在不改变原来域的“加法”和“乘法”的条件下，按照域的定义形成的新域E被称为原来域的扩域，记为E/F。

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