伽罗瓦理论之美（二）

比如，我们在有理数域Q上添加一个无理数√2 ，形成一个新的数域 Q(√2) ，则 Q(√2)/Q 就是Q上的一个扩域。由域的定义知道，这个形成的新域不只是包含 √2 ，还包含着任何通过有理数与 √2 进行加法和乘法得到的数。其实，除了加法和乘法，域里面还有着逆元，加法的逆元运算对应着减法，乘法的逆元运算对应着除法。也就是说，表面上域定义了加法和乘法，实质上确定了加减乘除四则运算。域是更高层次上抽象出来的结构，但是落实到我们日常的数字和运算上，与小学就开始学习的四则运算没有什么不同。

可以证明，任何可以表示为α＋b · √2 （a,b ∈ Q）的数都属于Q(√2) 这个域，而这个域里面的任何数也都可以表示成为α＋b · √2 （a,b ∈ Q）的形式。显然，这个 Q(√2) 就是一个范围大于Q但是小于R的数域。有了扩域这个工具，我们可以构造出无穷多个数域。

（2）之后伽罗瓦考虑的应该是如何定义方程的根式可解

因为在伽罗瓦从事数学研究的那5年，人们已经在开始猜测一般的一元五次方程不可根式求解。可是，到底什么是根式求解？字面意思很容易理解，就是一个一元高次方程的解如果可以使用方程的系数经过加减乘除和开方以及它们的组合运算表达出来，就是可以根式求解的；如果不能以这种方式表达，那就是不可以根式求解的。可这样的定义虽然从语言和表达的角度来说没有歧义，但是从数学的角度来说，还不够清晰。

伽罗瓦通过自己的深入思考，给出了根式可解的更优美的定义。在了解这个优美定义之前，需要思考以下一些毫无疑问是正确的结论：

（a）一个数域里面的任何数，都可以通过这个数域中的其它数的加减乘除运算组合表达出来；

（b）除了个别特殊情况外，一般来讲，数域中某个数的开方运算的结果是不属于这个数域的（类似于√2∉Q）；

（c）把数域中某个数开方运算的结果扩张进来成为一个扩域后，扩域中的数都可以使用原来数域中的数和这个开方运算的结果的加减乘除运算组合来表达，或者说这种扩域中的数一定可以使用原来数域之内的数的加减乘除和开方运算进行根式表达；

明白了上面这3条结论，就可以知道，能否根式表达与上面说的这种把数域中某个数的开方运算的结果扩张进来形成的扩域有着密切关系。我们把这种扩域定义为纯扩域。

纯扩域：B/F为扩域，B＝F(d) ， d∈B ， dᵐ∈F ，此时把B称为F的m型纯扩域。

显然，所谓m型纯扩域就是在域F中找一个数开m次方，然后把开方结果扩进来形成的扩域。可别小看这个纯扩域，根据前面的分析，纯扩域B中的任何数都可以通过域F中的数的加减乘除和开m次方运算得到。如果继续这样扩域下去，把F扩为F₁ ，把 F₁ 扩为 F₂ ，…，无论多少次这种扩域，只要是有限次，最终的扩域 Fₙ 中的数都可以由域F中的数经过加减乘除和开方运算得到。由此，引出一个新概念，根式塔。

根式塔：不断扩域形成的域列，F＝F₁ ⊆ F₂ ⊆. . . ⊆ Fᵣ₊₁ ，如果每个扩域 Fᵢ₊₁/Fᵢ （i=1,2, …,r）都是一个纯扩域，则称此域列为一个根式塔。

于是，数域F中的数通过加减乘除和开方运算所能得到的数，一定包括在某个根式塔的Fᵣ₊₁ 之中。由此，伽罗瓦给出了根式可解的更清晰优美的定义。

根式可解：设一元多次方程f(x)的全部系数都包含在域F之内，此方程的全部根都包含在域E之内，且E是包含f(x)全部根的最小域（此时称E为F上多项式f(x)的根域），如果存在根式塔F＝F₁ ⊆ F₂ ⊆. . . ⊆ Fᵣ₊₁，且 E ⊆ Fᵣ₊₁ ，称域F上的方程f(x)根式可解。

看到伽罗瓦给出的根式可解定义，我有一种感觉，也许伽罗瓦的脑子天生就是结构化的，他可以直接在一个大的范畴上进行思考和逻辑推导。本来通过语言描述的根式可解是一种模模糊糊的东西，但是经过伽罗瓦重新定义的根式可解变得清晰明确，有数学实体可以抓了。

三、“神来之笔”——域的自同构、伽罗瓦群与伽罗瓦对应‬

【伽罗瓦的故事】

伽罗瓦的葬礼因政治原因而变得混乱，政府认为伽罗瓦的葬礼将会造成一次政治集会，为了维护稳定，政府在葬礼之前的晚上逮捕了30名伽罗瓦的同志。尽管如此，还是有两千多个共和主义者参加了葬礼，从而与政府人员之间爆发了一场混战。这之后，不断有人怀疑伽罗瓦与斯特凡妮的风流韵事是一个阴谋，用来害死伽罗瓦的阴谋。直到今天，伽罗瓦到底是死于愚蠢的爱情还是政治阴谋仍然没有定论。但无论是哪种原因，这位研究数学才5年但是却被认为是最伟大的数学家之一的天才，在21岁的时候就离开了人世。这对数学界来说是一个重大的损失，只不过当时的人们还完全认识不到。

伽罗瓦虽然在决斗的前夜把他的数学思想写了出来，但是这种潦草的内容、跳跃的思维并不是立刻就被数学界所理解的。虽然伽罗瓦的兄弟和朋友把他写下的数学思想重新整理了一遍，并分送给了高斯、雅可比等人，但是伽罗瓦的伟大研究成果仍然没有得到理解和承认。直到14年后，法国数学家约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）重新整理并发表了伽罗瓦的著作，才使得伽罗瓦理论逐渐被世人所理解。

刘维尔本人也是一位著名的数学家，一生从事数学、力学和天文学的研究，涉足广泛，成果丰富，尤其对双周期椭圆函数、微分方程边值问题和数论中的超越数问题有深入研究。他是第一个证实超越数存在的人。

即使是这样一位著名数学家，仍然从1843年到1846年用了3年的时间来彻底研究伽罗瓦的理论，终于在1846年比较全面的理解了伽罗瓦的成就并发表出来。刘维尔虽然在数学领域有不小的贡献，但很可能他整理、理解并发表伽罗瓦理论是他在数学领域最大的贡献。代数学能够取得今天的成就，刘维尔功劳不小。

刘维尔在反思为什么伽罗瓦的理论在很长一段时间内不能得到理解的原因时，写下了这样一段话：

过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做。事实上，当你试图引导读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡尔说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰”。

伽罗瓦太不把这条箴言放在心上,……伽罗瓦再也回不来了！我们不要再过分地作无用的批评，让我们把缺憾抛开，找一找有价值的东西,……

我的热心得到了好报。在填补了一些细小的缺陷后，我看出了伽罗瓦用来证明这个美妙的定理的方法是完全正确的，在那个瞬间，我体验到一种强烈的愉悦 。

真心希望大家了解了伽罗瓦理论之后，能够像刘维尔一样有一种“强烈的愉悦感”。伽罗瓦的故事讲完了，伽罗瓦那天才的思想还需要继续。

【伽罗瓦理论】

从前面的介绍我们知道，根式可解需要找到一个根式塔，根式塔是一个域列。只知道这些，我们还是解决不了方程是否能够根式求解的问题，因为我们仍然不知道怎样判断是否存在这种根式塔？

伽罗瓦在思考这个问题的时候，发现或者说找到了一种对应关系——伽罗瓦对应。应该讲，这种对应关系是人类思维领域的“神来之笔”。我无法想象伽罗瓦到底是通过怎样的思考发现了这种对应关系，对我自己来说，能够较快理解伽罗瓦对应就已经谢天谢地了。

伽罗瓦对应的发现应该是从域的自同构映射开始的。

域的自同构映射：前面我们介绍了域的同构，知道了两个域同构意味着两个域之间存在着满足同构关系的映射。显然一个域一定是和自己同构的，我们把某个域E到自身的同构映射叫做自同构映射。事实上，这种自同构映射未必只有一个，我们把全部自同构映射组成的集合记为Aut（E）。

现在开始，我们的思维要在理解群、域的基础上再上一个台阶，开始思考域的自同构映射组成的集合了。记住，Aut（E）中的元素是E→E集合间的映射。

下面再做一个稍复杂点的思维体操，定义Aut（E）上两个元素σ₁ 和 σ₂ 之间的“乘法”为 σ₁ * σ₂(α)＝σ₁(σ₂(α)) ，证明Aut（E）在这个“乘法”下构成群。

＜1＞ 构成群首先要满足封闭性，也就是对于σ₁∈Aut(E) 和 σ₂∈Aut(E) ，要证明 σ₁ * σ₂∈Aut(E) 。证明如下：

请记住，Aut（E）中的 σ 都是自同构映射，必然满足 σ(α＋b)＝σ(α)＋σ(b) ， σ(α × b)＝σ(α) × σ(b) （请注意，这里的“*”代表域Aut(E)中的“乘法”，“ × ”代表域E中的“乘法”）。由此，我们可以得到

σ₁ * σ₂(α＋b)

＝σ₁(σ₂(α＋b))

＝σ₁(σ₂(α)＋σ₂(b))

＝σ₁(σ₂(α))＋σ₁(σ₂(b))

＝σ₁ * σ₂(α)＋σ₁ * σ₂(b)

σ₁ * σ₂(α × b)

＝σ₁(σ₂(α × b))

＝σ₁(σ₂(α) × σ₂(b))

＝σ₁(σ₂(α)) × σ₁(σ₂(b))

＝σ₁ * σ₂(α) × σ₁ * σ₂(b)

也即 σ₁ * σ₂ 也满足自同构映射的条件，于是σ₁ * σ₂∈Aut(E) 。封闭性得到了满足。

＜2＞ 结合律：

(σ₁ * σ₂) * σ₃(α)

＝(σ₁ * σ₂)(σ₃(α))

＝σ₁(σ₂(σ₃(α)))

＝σ₁ * (σ₂ * σ₃)(α)

也就是 (σ₁ * σ₂) * σ₃＝σ₁ * (σ₂ * σ3) ，满足结合律。

＜3＞ 单位元：显然对于E→E上的恒等映射 σₑ ，满足σₑ(α)＝α，∀α ∈ E ，容易验证σₑ即为Aut（E）的单位元。

＜4＞ 逆元： ∀σ∈Aut(E) ， α∈E 且 α ≠ 0 ，有

σ(0)＝σ(α – α)＝σ(α) – σ(α)＝0

σ(α)＝σ(1 × α)＝σ(1) × σ(α) ⇒ σ(1)＝1

σ(1)＝σ(α × α⁻¹)＝σ(α) × σ(α⁻¹)＝1 ⇒ σ(α) ≠ 0，即 α ≠ 0 时 σ(α) ≠ 0 。

于是得到， α ≠ b 时， σ(α – b)＝σ(α) – σ(b) ≠ 0 ⇒ σ(α) ≠ σ(b)。这说明 σ 是单射。单射必有逆映射，令其逆映射为 σ⁻¹ ，则必有 σ * σ⁻¹(α)＝σ(σ⁻¹(α))＝α ⇒ σ * σ⁻¹＝σₑ ，确定逆元必然存在。

综上，Aut（E）在上述“乘法”定义下构成群。

对群、域不熟悉的人来说，也许这个思维体操稍微有些“绕”，但是对于熟悉的人来说，这个关系是一眼就可以看出来的。我想，如果一个不熟悉的人把上述并不复杂的推导看明白后，也会感觉到愉悦的。

当然，我相信对于伽罗瓦来说，上述结论是瞬间就想到了的。不仅如此，伽罗瓦还进一步找到了群Aut（E）的一类子群——我们今天称之为伽罗瓦群。

伽罗瓦群：E/F是扩域，且E是系数在F内的某个多项式方程的根域（根域参见前面的说明，以后会将这种根域叫做F的正规扩域），E上全部自同构映射的集合Aut（E）中使F中元素不变的那些映射形成的子集构成Aut（E）的一个子群，称为E在F上的伽罗瓦群，记为G（E/F）。

概念越来越复杂了，解释一下，就是对于Aut（E）中的自同构映射，有一部分是在F上的恒等映射，也就是说F中的元素在这部分映射的作用下是不变的，这类映射的全体组成的集合也构成一个群，是Aut（E）的子群，叫做E在F上的伽罗瓦群。

有人会问，为什么要搞出个伽罗瓦群的概念呢？下面就是见证奇迹的时刻了：

设f(x)∈F[x] （意思是 f(x) 的系数都在 F 内），则对于任意 σ∈G(E/F) ，必然有 σ(f(x))＝f(x) ，这是因为 σ 作用在 F 上是恒等映射；同时，设方程 f(x)＝0 有n个根，分别是 α₁ 、 α₂ 、…、 αₙ ，那么 f(x)＝(x – α₁)(x – α₂). . .(x – αₙ) ，于是 σ(f(x))＝(x – σ(α₁))(x – σ(α₂)). . .(x – σ(αₙ))＝f(x)＝(x – α₁)(x – α₂). . .(x – αₙ) 。这说明 σ(α₁) 、 σ(α₂) 、…、 σ(αₙ) 只是 α₁ 、 α₂ 、…、 αₙ 的一组置换（意思是，还是这n个数，只是位置发生了变化，如 σ(α₁)＝α₂ 、 σ(α₂)＝α₁ 之类的变换）！

看到了么，伽罗瓦群中的每个映射都对应着方程根的一组置换！要知道，从500年前的费尔洛解出了一般一元三次方程，到400年前的塔尔塔利亚、卡丹、费拉里解出一元四次方程，一直到200年前的拉格朗日创造出了方程的预解式，高斯得到了高斯定理，都是在大量的计算推导中，模模糊糊的察觉到方程的解与根的置换似乎有关系。直到伽罗瓦横空出世，清晰的告诉世人，一元高次方程是否可以根式求解的奥秘，就藏在这些根的置换当中。

当然，只知道宝藏的位置还不够，还需要有打开宝藏的钥匙。天才的伽罗瓦找到了这把钥匙，我把它称为“神来之笔”——伽罗瓦对应。

记得讨论根式可解的时候，我们说需要找到一个根式塔，根式塔是一个域列。假设存在一个域列F＝F₁ ⊆ F₂ ⊆. . . ⊆ Fᵣ₊₁＝E （注意，这个域列不要求一定是根式塔），且E/F是正规扩域（参见上面描述），则可以证明任意 E/Fᵢ ， i＝1，2，. . .，r ，也是正规扩域。于是存在一组伽罗瓦群 G(E/Fᵢ) ，这组伽罗瓦群都是 G(E/F) 的子群，而且可以证明每个G(E/F) 的子群一定对应着一个 E 的子域，这种对应是一一对应。这个神奇的对应被称做伽罗瓦对应。

通过伽罗瓦对应，我们把对复杂的域列问题的研究转换到了对伽罗瓦群的子群列的研究上，这就是打开方程根式可解的金钥匙。

伽罗瓦那不到20岁的头脑中，可能就已经想通了这些问题。当我想到这一点的时候，心中对伽罗瓦的钦佩感无以复加。就像有人评论，欧拉作为数学史上最伟大的数学家之一，他对数学贡献的丰富程度可能远超伽罗瓦，但是如果考虑到欧拉专心研究数学60年，而伽罗瓦仅仅是残缺不全的5年，那么从天赋上讲，大数学家欧拉完败于伽罗瓦。

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