Fukaya范畴

给定一个辛流形(M，ω) ，有不同的Fukaya范畴的变种，但它们有共同的特征∴Fukaya范畴的对象都是带某种结构的Lagrange子流形，态射空间是Floer复形，合成映射由Floer乘积及其高阶结构给出.Fukaya范畴是一个 A∞ 范畴，即微分和乘积作用都是一系列作用的头两个： μᵏ ： Hom(L₀，L₁) ⨂ ... ⨂ Hom(Lₖ₋₁，Lₖ) → Hom(L₀，Lₖ) .若所有结构是 Z-分次的，则 μᵏ 作为算子的度数是2-k.

Fukaya范畴的例子：设(M，ω) 是一个辛流形，满足： 2c₁(TM)＝0 ，则Fukaya范畴的对象是闭的、定向的，具有spin结构的子流形L,且满足 [ω] · π₂(M，L)＝0 和Maslov类为0.可选定L的一个spin结构以及L的一个分次提升，使得L具有Z-分次结构，对这样的一对对象 (L₀，L₁) （可以是相同的）， 可以选取扰动数据 Hʟ₀ʟ₁∈C∞ ([0，1] × M，ℝ)， 和 Jʟ₀ʟ₁∈C∞ ([0，1]，𝓛 (M，ω)) .对所有对象组 (L₀，. . .，Lₖ) 和所有圆盘的模空间，可以选取相容的扰动数据对 (H，J) ，使得它们与对应 (Lᵢ，Lⱼ) 的扰动数据对 (Hʟᵢʟⱼ，Jʟᵢʟⱼ) 相容.选取这些扰动数据使得所有模空间都是横截的.此时定义态射空间 Hom(L₀，L₁)＝CF*(L₀，L₁；Hʟ₀ʟ₁，Jʟ₀ʟ₁) ，以及定义所有的作用（微分、乘积、高阶合成操作） μᵏ，k＝1，2，. . . .有了上述结构后，就得到一个范畴 𝓕 (M，ω)称为Fukaya范畴. 𝓕 (M，ω) 是一个 ∧-线性、 Z-分次、无单位元（但具有同调单位元）的 A∞ 范畴.

在应用时，可以减弱所需条件，比如不要求2c₁(M)＝0 和Maslov类消失的条件，此时得到Z/NZ-分次结构，也可以减弱定向和旋结构的要求，只考虑旋结构.

故Fukaya范畴依赖各种扰动条件的选取.然而，实际上不同的扰动数据只会导致拟等价的范畴（即各种范畴取上同调函子时会导出同构的上同调结构）.

对范畴取微分μ¹ 可以导出上同调群之间的关系，比如乘法结构等，此时称为Donaldson-Fukaya范畴，但链水平上的Fukaya范畴会含有更多信息.

在讨论同调镜像对称猜想时，Fukaya范畴还需包含Lagrange子流形上平坦线丛（局部系统）的信息.设𝓔 → L 是Lagrange子流形L上的平坦线丛，则存在其上的平行移动 γ .取 C 上的Novikov环，定义态射空间 CF*((L₀，𝓔₀)，(L₁，𝓔₁))＝⨁p∈L₀∩L₁∈Hom(𝓔₀|p，𝓔₁|p) .

注意：取k+1个对(L₀，𝓔₀)，. . .，(Lₖ，𝓔ₖ) ，相交点 p₀，. . .，pₖ 和同论类[u].对子流形 Lᵢ ，有平行移动所导出的同构 γᵢ∈Hom(𝓔ᵢ|pᵢ，𝓔ᵢ|pᵢ₊₁) .给定元素 ρᵢ∈Hom(𝓔ᵢ₋₁|pᵢ，𝓔ᵢ|pᵢ)，i＝1，. . .，k ，把所有这些映射合成起来则可得 η[u]，ρ₁，. . .，ρₖ＝γₖ.ρₖ. . .γ₁.ρ₁.γ₀∈Hom(𝓔₀|p₀，𝓔ₖ|p₀) ，

于是定义 μᵏ(ρ₁，. . .，ρₖ)＝∑

p₀∈L₀∩Lₖ

[u]：ind([u])＝2–k

𝓜：(p₀，. . .，pₖ；[u]，J)Tω([u])η[u]，ρ₁，. . .，ρₖ.

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