希尔伯特（二）

我们知道，任何一个速度都可以看做几个方向上的速度叠加。例如，向东北方向的一个速度，可以看做向东的速度和向北的速度两个分量的叠加。我们应该注意的一点是，这个叠加的方式是任意的，有无穷多种。相应地对一个速度而言，它所处的坐标系也就是是可以任意选取的。如下图，一个速度w，它在坐标系1（红色）中，是由vx和vy两个速度叠加的，而在坐标系2（蓝色）中，是由ux和uy两个速度叠加的。总之，在一个平面中，我们只需要两个坐标轴，就能表示所有的矢量。对于同一个矢量，我们选择不同的坐标系，对应的叠加方式（系数）就不同，因而，它的坐标表现就不同，例如，在坐标系u中，W的坐标为（a，b），而在坐标系v中，它的坐标就是(x,y)。也就是说，同样的一个速度矢量，在不同的坐标系下，它所表现出来的坐标是不同的，但是矢量还是那个矢量，一点都不会变化。

在一个二维平面中，所有的矢量都可以用两个互相正交的单位矢量（坐标轴）以及这两个方向上的坐标来确定；相应地，在三维空间中，我们需要三个方向。一旦这三个方向确定了，整个空间的所有的点就确定了。

W=auₐ＋bub＝xvₓ＋yvy

速度可以看做不同方向上的速度叠加

同样道理，当我们把一个波函数看做是若干其它波函数的叠加时，我们是不是只有一种叠加方式选择吗？答案是否定的。就好像5可以是1+4得到，也可以是2+3得到，还可以是1.5+3.5得到，……，总之，我们可以把5看做是无数种数字组合相加的到底。相类似地，一个波函数也可以看做是无数种不同的波的组合模式。一个波函数，我们都可以看做其他几个波函数叠加而成的，和速度矢量类似，这种叠加方式也是任意的。比如说我们前面所说的波函数：

ψ(x)＝αψʟ(x)＋bψʀ(x)

如果我们先ψL和ψR作为“坐标轴”，那么，这个波函数的坐标就是（a，b）。我们也可以用这两个波函数的任意叠加构造出另外任意不同的波函数，例如，我们构造这样两个波函数：

1

ψ₁(x)＝── (ψʟ(x)＋ψʀ(x))

√2

1

ψ₂(x)＝── (ψʟ(x) – ψʀ(x))

√2

请注意，上式中的1/√2是为了满足归一化的系数。前面我们提到过，ψL和ψR是不重叠的，因而是正交的。那么我们可以用矢量的表示方法把这种构造表示出来：

ψ₁、ψ₂、ψʟ、ψʀ

1

─

√2

1

– ─

√2

1

─

√2

我们可以看到，在我们这种构造方法中，ψ1和ψ2也是正交的。现在，我们可以把我们最初的波函数ψ变换一下，用ψ1和ψ2的叠加方式来表示，很容易经过简单运算，我们就可以得到：

ψ(x)＝αψʟ(x)＋bψʀ(x)

α＋b α – b

＝─── ψ₁(x)＋─── ψ₂(x)

√2 √2

也就是说，可叠加性就必然意味着，ψ不但可以用ψL和ψR叠加而成，也可以用ψ1和ψ2叠加而成，只不过是它们的系数变了。那么，ψ可以在ψL和ψR构成的坐标轴下表示，它的坐标为（a,b），同时，我们也可以选取ψ1和ψ2作为坐标轴，此时这个波函数的坐标就变成了：

α＋b α – b

(──，──)

√2 √2

这个坐标轴的变换和上述速度的坐标变换并无二致：

ψ、ψ₁、ψ₂、ψʟ、ψʀ

α＋b α – b

───、───

√2 √2

ψ(x)＝αψʟ(x)＋bψʀ(x)

α＋b α – b

＝─── ψ₁(x)＋─── ψ₂(x)

√2 √2

量子态可以看做任意的其他量子态的叠加

推而广之，对于一个任意的波函数Ψ都可以看做是一组波函数ψ的叠加，也可以看做是另一组波函数φ的叠加。我们总是可以根据我们的意愿选择这样的一组ψ或者一组φ，使得任意一个波函数都可以用它们的叠加来表示。这就是量子态作为“态矢量”的几何意义。

就像是空间中的每个点，我们都可以通过笛卡尔坐标系来度量一样，对于某一个量子系统，我们也想选择一组坐标轴特定的量子态φ，用它们的叠加把这个量子系统的全部可能量子态表示出来，这组φ就被称为一组“基矢”，它担当着类似笛卡尔坐标系中的坐标轴的作用 – 笛卡尔坐标系用三个坐标轴方向上的叠加把所有的空间矢量都表达出来，希尔伯特空间中用一组基矢的叠加把所有可能的量子态表达出来。与笛卡尔坐标系不同的是，要想覆盖所有的量子态，所需要的基矢数目是不同的。由一组基矢如果可以覆盖全部的量子态，那么这组基矢就可以定义一个量子态的空间（“张成”一个空间），这就是希尔伯特空间。

所以，我们用抽象语言来表达波函数或量子态，就可以这样说：

量子态是居住在希尔伯特空间中的一个矢量 – 态矢量。态矢量的线性叠加决定了它的坐标系可以任意选取，态矢量的幺正性决定了它只能在希尔伯特空间中的单位球面上旋转。

既然在态矢量的居所 – 希尔伯特空间 – 中我们可以任意选取坐标轴来描述一个波函数，那么我们一般应该如何选择这个坐标系呢？在前面速度矢量的例子里，一个三维欧几里得空间中，我们最常见的选择就是笛卡尔坐标系 - 这个坐标系的方向可以根据需要任意旋转。当然我们可以选择其他的坐标系，例如任意三个不同面的方向（不一定是两两垂直）都可以，在有的特定情况下这种选择更加方便。我们甚至可以选择三个曲线作为坐标系。例如在下图中，红色的是笛卡尔坐标系，绿色的是一般的直线坐标系，而蓝色的则是一般曲线坐标系。

显然，笛卡尔坐标系是最符合直觉的、最方便的一种坐标系选取方法。那么希尔伯特空间中有没有类似的，一般情况下都比较“方便”的坐标系呢？事实上是有的。例如说，我们前面提到的，任何一个波函数都可以看作是无数个确定位置的“尖峰” δ波叠加而成。因而这些尖峰就构成了一组基矢 – 一组坐标轴。而显然这些尖峰所代表的态矢量之间是没有重叠的 – 它们互相正交。因而这组尖峰就构成了一组类似于笛卡尔坐标系的互相垂直的坐标轴。我们可以把每个波函数都看作是这些尖峰的加权组合。在连续的系统中，这些坐标轴是无穷多个的、连续的，而在某些系统中，粒子只能有特定的离散位置，那么这些坐标轴就是离散的、或者有限多个的。

对于同一一个波函数，除了上述叠加以外，我们还有一些方便的叠加形式。例如，一个波函数可以看做是无数多个具有不同波长的简谐波叠加而成的。简谐波就是一种可以用你们数学中学过的正弦或余弦描述的[3]、具有严格周期性的、单一波长的波动。因为这种周期性，它必然是在空间无限延展的。

在量子力学中，波函数的波长是和粒子的动量联系在一起的[4]，一个确定的波长，就意味着一个确定的动量。因而，任何一个这样的简谐波，都代表着一个确定的波长，而不存在任何随机的概率。只有一个确定波长的波在数学中叫做“平面波”，它是一个在整个空间中均匀分布的，向前后两个方向无限延展的正弦波：

例如，同样是前面这个波函数，我们还可以用一系列平面波叠加得到：

数学上可以证明，任意一个波，我们总是可以找到某一组（可能是无数多个）具有一系列不同波长的平面波以及每个平面波的加权系数，把这个波写作它们的加权叠加。

给定一个波函数，我们把它“分解”成为这一系列的平面波以及它相应的权重系数，这在数学上叫做“傅里叶分析”。比如说我们讨论的这个波函数，它可以被分解成为9个不同波长的平面波的叠加（如上图所示）。我们同样可以证明，所有这些简谐波之间，也都是正交的。

而我们刚刚提到，每一个平面波都对应着一个确定的动量。那么一个波函数看作是这些平面波的叠加，就意味着这个波函数是由若干个动量态叠加而成的，根据玻恩规则，当我们测量它的动量时，我们会获得这些动量叠加中的其中一个结果，概率就取决于波函数与这个确定动量的量子态之间的夹角：

我们前面看到，对于一个“尖峰”的波函数，它的的位置是确定的。也就是说这样的波函数在我们测量时，总是会得到一个唯一确定的结果，而没有任何不确定性。那么我们把这个尖峰波函数称作位置的本征态。同理，对于一个空间无限延展的简谐波，它只有一个单一波长，因而我们测量它的动量时，就总会得到一个唯一确定的动量值，而没有任何不确定性。那么我们把这种简谐波叫做动量的本征态。在波函数的希尔伯特空间中，我们既可以用位置本征态作为坐标轴（此时我们可以把希尔伯特空间称作“位置空间，或坐标表象”），也可以选取动量本征态作为坐标轴（此时我们可以把希尔伯特空间称作“动量空间，或动量表象”），来表示一个波函数。这两种坐标系的选取方法，就是两个笛卡尔坐标系的旋转过程。如下图所示，我们用红色的坐标系来代表位置空间，它的两个坐标轴代表着粒子的两个位置本征态，而紫色的坐标系代表着动量空间，它的两个坐标轴是两个动量本征态。

现在再希尔伯特空间中有一个波函数，它既可以看做是动量空间中几个不同动量的叠加，也可以看做是位置空间中几个不同位置的叠加。当我们想要观测它的动量时，我们就只看动量本征态 – 动量空间的坐标轴，例如上图中，这个波函数与动量1的夹角为α，根据玻恩规则，我们观测得到动量1的结果的概率就是cos²(α) 。

也就是说，这个概率是该波函数在动量1这个矢量的投影决定的。而观察之后系统由于已经具有了确定的动量1，那么观察后的波函数必然就变成了动量 的本征态 – 它坍缩到了“动量1”这根坐标轴上了。如果我们不依赖于希尔伯特语言来表述这个过程，那就是当我们观察动量时，我们把波函数用一系列简谐波的叠加表示出来，观察的结果必然导致这一系列简谐波的其中之一，而这个简谐波的出现概率就是它的加权系数的平方（归一化之后）。

同理，当我们观测粒子的位置时，我们就只看位置本征态 – 位置空间的坐标轴。而得到某个确定位置的概率，也是由波函数在这个位置本征态上的投影决定的，观测结束之后，波函数就坍缩到这个位置本征态的坐标轴上了。

因而，从形式理论上，玻恩规则又被称作“投影公理”。

进而我们可以把这个过程进行推广，除了位置和动量，其它所有的可观测量（诸如能量、角动量等）都存在着一组本征态：就是这样一种特定的波函数，它只包含了唯一可能的测量结果。进而，一个粒子的波函数其实不光可以表示为位置本征态的叠加、动量本征态的叠加。对每一个可观测量，它的一组本征态，都可以通过叠加的方式构造出这个粒子的波函数。这就是态叠加原理的普遍性。

从数学上可以证明，任何一个可观测量的一组本征态，都有一个非常有意思的特点，让它们表现的非常像欧氏空间里的笛卡尔坐标轴：

• 笛卡尔坐标轴相互正交。一个可观测量的一组本征态互相正交；

• 欧氏空间中的所有点都可以用笛卡尔坐标系来表示，希尔伯特空间中的任何一个量子态都可以用一个可观测量的一组本征态来表示；

• N维欧氏空间中一组n个坐标轴，是能够表示空间中所有点所用到的的最少数量的坐标轴，一个可观测量的全部本征态是能够表示希尔伯特空间中所有量子态所用的最少基矢。

简言之，任何一组本征态，它们两两之间互相正交，它们可以组合成为所有可能的量子态，并且它们是能够组合成所有量子态所用到的最少数量的基矢。用数学语言表述，它们可以构成一组最简完备的正交基矢。

那么，我们很自然地，选取某个可观测量的一组本征态作为基矢（“坐标轴”），就像是欧氏空间中选取笛卡尔坐标系一样水到渠成。用它来表示所有的波函数。任何一个波函数都可以看做是这组本征态的叠加。而每个本征态，就代表着一个确定的可观测量取值。因而，任何一个量子态所代表的力学量，都可以看做是它所有可能取值的叠加。

那么，自然而然地，我们可以把一个动量本征态（具有一定波长的平面波），表示为位置本征态的叠加。我们前面看到，动量本征态是一个在空间上无限延展，均匀分布的状态，这就意味着它需要在空间上前后无限远的范围内无穷多个δ波来叠加。也就是说，动量本征态是一个动量完全确定、但是位置分布在全空间的状态，也就是说，是一个动量完全确定，但是位置完全不确定的状态反过来，位置本征态也可以用动量本征态来叠加。我们用不同波长的平面波来叠加，随着我们用到的各种波长数目增多，我们可以发现，叠加而成的波就会渐渐地从空间的均匀分布向中心集中。波长数目用到的越多，这个波就越集中，中间出现的波峰就越“尖”。如下图所示，我们可以比较2个不同波长的平面波叠加，以及4个、8个、16个叠加的情况，就可以看出这种向中心的尖峰集中的趋势。我们可以合理得到结论（这个数学上可以证明），当我们用到从零到无穷大分布的无数个波长的平面波叠加时，我们就可以得到一个无限窄的Delta波。这就是我们如何用动量本征态叠加得到位置本征态的方法。我们可以看到，一个位置本征态是由无数个波长叠加成的，也就是说，位置完全确定，但是动量却完全不确定。

那么我们可以看到很明显的趋势：当波函数在空间分布非常窄（极限情况是δ波）的时候，它的波长分布非常宽（极限情况是平面波）；而反过来，当它在空间分布非常宽的时候，它的波长分布非常窄。这样我们就得到了一个不确定原理的美妙的解释：动量越确定，位置越不确定，反之动量越不确定，位置就越确定。因而我们可以看到，不确定原理其实是态叠加原理和玻恩规则的自然结论。

我们在第一部分说到过冯诺依曼定义的两类量子演化。这里我们可以有更深的认识。U过程就是幺正演化的过程，也就是我们不观察粒子的时候，它安装薛定谔方程的演化。这个过程是决定论的、连续的、幺正的。我们可以完全确定地计算任何时刻下粒子的量子态。当我们对其进行观测时，U过程就失效了，取而代之的是R过程，也就是概率性的、突变的、非幺正的坍缩过程。这个过程取决于我们要观察的可观测量。如果我们观测位置，那么它会坍缩在某个位置本征态（尖峰波），如果我们要观测动量，它会坍缩在某个位置本征态（简谐波）

这个过程在希尔伯特空间中，就是这样的：U过程是态矢量由薛定谔方程决定的、连续的、确定的旋转过程；而R过程则包括了我们选择一组可观测量的本征态，然后态矢量突然地按照投影的概率坍缩到这个本征态上。

这两种表述方法，就是在实际空间中以及希尔伯特空间中的不同表现形式。现在我们就有了一个非常方便的类比：波函数不过是希尔伯特空间中不断旋转的一个骰子。为何这么说呢？听我细细道来。

通常，量子态的维度是很多维的，我们前面在三维空间或二维平面中只是表达一下它的大致意思而已。也就是说，任何一个量子态，都是一个由很多个面叠加而成的“骰子”。比如说我们就拿一个简单的立方体骰子做类比。这个骰子是由六个面组成的。但是我们是否就能说，它只是由六个面组成的吗？当然不可以，因为我们可以从很多个不同的角度来观察这个骰子。当我们从每个面的正面观察，它就是六个平面构成的。但是如果我们从每个棱的正面来观察呢？那么我们看到的每一面，都是由两个平面构成的。如果我们从每个角的正面来观察呢？它就会是这样的：我们完全可以说，一个骰子是由上面六种状态叠加而成的，每一个状态都包含了三个平面。就好像是说，对一个量子态而言，我们可以认为它由一系列位置本征态叠加而成，同样我们也可以说它由一系列动量本征态叠加而成 – 每个动量本征态包含了若干位置本征态的叠加。

而对于一个量子态而言，我们如果问：“它到底是由什么状态叠加的？”无异于在问，“一个骰子到底是由那些面构成的？”是的，他有一种最方便的描述方式 – 由六个平面构成，但是它完全可以由上面这六种方式构成 – 由六种三面组合构成。说到底，它只是这样一种立方体结构，而讨论它由何种状态组成，是完全任意的。

我们说过，当一个量子态在没有被观察的时候，它按照薛定谔方程的规则在希尔伯特空间中旋转。这个时候，如果我们问，“它的真实状态到底是什么？”这无异于我们在问一个抛在空中不停旋转的骰子，“这个骰子到底是几点？”再一次，我们对此的回答只能是：“你这个问题毫无意义，这个骰子只是这样一种立方体结构 – 它由很多种状态、以任意的方式叠加，我们无法回答它是几点。”

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