数学联邦政治世界观
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柯西留数定理

定理1(柯西留数定理):

f(z)在周线或复周线C所围的区域D内,除α₁,α₂,. . .,αₙ 外解析,在闭域ˉD=D+C上除α₁,α₂,. . .,αₙ 外连续,则fᴄf(z)dz=2πi∑ⁿₖ₌₁Resf(z)

ᴢ=αₖ

留数理论是柯西积分定理的进一步发展,如果函数f(x)在点a是解析的,周线C全在点a的某邻域内,根据前面讲的柯西积分定理 《如何证明复变函数论中的柯西积分定理》可知f(z)在周线C上的积分为0。这时的周线C必须是一个单连通区域内的周线,那么当a点是一个孤立奇点,这时包含周线C的区域不是一个单连通区域(有一个奇点a),往往f(z)在周线C上的积分不为0。

定义1(留数):

设函数f(z)以有限点a为孤立奇点,即f(z)在点a的某去心邻域 0<|z-a|<R内解析,则积分

1

── ∫Γf(z)dz,其中

2πi

Γ:|z – α|=ρ,0<ρ<R

这个积分叫作f(z)在点a的留数,记为

Resf(z)

z=α

《洛朗级数与泰勒级数有什么关系?》里,洛朗级数的系数

1 f(ζ)

cₙ=── ∫Γ ──── dζ(n=0,±1,. . .)

2πi (ζ – α)ⁿ⁺¹

令n=-1,则

1

c₋₁=── ∫Γf(ζ)dζ,所以

2πi

Resf(z)=c₋₁

z=α

定理1(柯西留数定理):

f(z)在周线或复周线C所围的区域D内,除α₁,α₂,. . .,αₙ 外解析,

在闭域ˉD=D+C 上除α₁,α₂,. . .,αₙ 外连续,则

∫ᴄf(z)dz=2πi∑Resf(z)

ₖ₌₁ z=αₖ

证明:

画圆周|Γₖ:|z – αₖ|=ρₖ(k=1,2,. . .,n)使圆周和内部都包含于D,且彼此不相交,应用复周线柯西定理得

∫ᴄf(z)dz=∑∫Γₖf(z)dz,由定义得

ₖ₌₁

∫ᴄf(z)dz=2πi∑Resf(z)

ₖ₌₁ z=αₖ

现在来关注在无穷远点的留数。

定义2(无穷远点的留数):

设∞ 为函数f(z)的一个孤立奇点,即f(z)在去心邻域

N – ∞:0 ≤ r<|z|<+∞ 内解析,则

1

── ∫Γ⁻f(z)dz(Γ:|z|=ρ>r)

2πi

为f(z)在点∞ 的留数,记 Resf(z) 。

z=∞

注意这里的积分路径是负方向也就是顺时针方向。有的读者会疑问为何在无穷远点的留数积分路径为负方向,原因在于负方向的圆周绕着无穷远点则是正向了,因为无穷远点是在圆周之外。下面的定理把无穷远点的留数包含进来了。

定理2:

如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点),设为a1,a2,...,an,∞,则f(z)在各点的留数总和为0。

证明:

以原点为圆心作圆周Γ 使除∞外的奇点都包含于 Γ 内部,则根据留数定理,

∫Γf(z)dz=2πi∑Resf(z),于是

ₖ₌₁ z=αₖ

ₙ 1

∑Resf(z)+── ∫Γf(z)dz=0,即

ₖ₌₁ z=αₖ 2πi

∑Resf(z)+Resf(z)=0

ₖ₌₁ z=αₖ z=∞

某些实定积分的计算用留数定理会简洁很多,这再一次印证了曾有数学家说的一句话:实数之间真理的最短路径经过复数。下面演示某些三角函数类的积分可以用留数定理计算。

例:∫₀²π R(cosθ,sinθ)dθ

令z=eⁱθ,则

z+z⁻¹ z – z⁻¹

cosθ=───,sinθ=───,

2 2i

dz

dθ=──,

iz

θ 从0到 2π 时,z从1正向沿着圆周一圈,于是

∫₀²π R(cosθ,sinθ)dθ=∫|z| → ↓

z+z⁻¹ z – z⁻¹ dz

R(───,───) ──,

2 2i iz

只需要计算圆周内奇点的留数就能求出积分,对于原函数不易求的积分,这样的方法大大降低了积分求解的难度。

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