柯西留数定理

定理1（柯西留数定理）：

f(z)在周线或复周线C所围的区域D内，除α₁，α₂，. . .，αₙ 外解析，在闭域ˉD＝D＋C上除α₁，α₂，. . .，αₙ 外连续，则fᴄf(z)dz＝2πi∑ⁿₖ₌₁Resf(z)

ᴢ＝αₖ

留数理论是柯西积分定理的进一步发展，如果函数f(x)在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，根据前面讲的柯西积分定理 《如何证明复变函数论中的柯西积分定理》可知f(z)在周线C上的积分为0。这时的周线C必须是一个单连通区域内的周线，那么当a点是一个孤立奇点，这时包含周线C的区域不是一个单连通区域(有一个奇点a)，往往f(z)在周线C上的积分不为0。

定义1（留数）：

设函数f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心邻域 0＜|z-a|＜R内解析，则积分

1

── ∫Γf(z)dz，其中

2πi

Γ：|z – α|＝ρ，0＜ρ＜R

这个积分叫作f(z)在点a的留数，记为

Resf(z)

z＝α

《洛朗级数与泰勒级数有什么关系？》里,洛朗级数的系数

1 f(ζ)

cₙ＝── ∫Γ ──── dζ(n＝0，±1，. . .)

2πi (ζ – α)ⁿ⁺¹

令n=-1，则

1

c₋₁＝── ∫Γf(ζ)dζ，所以

2πi

Resf(z)＝c₋₁

z＝α

定理1（柯西留数定理）：

f(z)在周线或复周线C所围的区域D内，除α₁，α₂，. . .，αₙ 外解析，

在闭域ˉD＝D＋C 上除α₁，α₂，. . .，αₙ 外连续，则

ₙ

∫ᴄf(z)dz＝2πi∑Resf(z)

ₖ₌₁ z＝αₖ

证明：

画圆周|Γₖ：|z – αₖ|＝ρₖ(k＝1，2，. . .，n)使圆周和内部都包含于D，且彼此不相交，应用复周线柯西定理得

ₙ

∫ᴄf(z)dz＝∑∫Γₖf(z)dz，由定义得

ₖ₌₁

ₙ

∫ᴄf(z)dz＝2πi∑Resf(z)

ₖ₌₁ z＝αₖ

现在来关注在无穷远点的留数。

定义2（无穷远点的留数）：

设∞ 为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域

N – ∞：0 ≤ r＜|z|＜＋∞ 内解析，则

1

── ∫Γ⁻f(z)dz(Γ：|z|＝ρ＞r)

2πi

为f(z)在点∞ 的留数，记 Resf(z) 。

z＝∞

注意这里的积分路径是负方向也就是顺时针方向。有的读者会疑问为何在无穷远点的留数积分路径为负方向，原因在于负方向的圆周绕着无穷远点则是正向了，因为无穷远点是在圆周之外。下面的定理把无穷远点的留数包含进来了。

定理2：

如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点），设为a1,a2,...,an,∞，则f(z)在各点的留数总和为0。

证明：

以原点为圆心作圆周Γ 使除∞外的奇点都包含于 Γ 内部，则根据留数定理，

ₙ

∫Γf(z)dz＝2πi∑Resf(z)，于是

ₖ₌₁ z＝αₖ

ₙ 1

∑Resf(z)＋── ∫Γf(z)dz＝0，即

ₖ₌₁ z＝αₖ 2πi

ₙ

∑Resf(z)＋Resf(z)＝0

ₖ₌₁ z＝αₖ z＝∞

某些实定积分的计算用留数定理会简洁很多，这再一次印证了曾有数学家说的一句话：实数之间真理的最短路径经过复数。下面演示某些三角函数类的积分可以用留数定理计算。

例：∫₀²π R(cosθ，sinθ)dθ

令z＝eⁱθ，则

z＋z⁻¹ z – z⁻¹

cosθ＝───，sinθ＝───，

2 2i

dz

dθ＝──，

iz

θ 从0到 2π 时，z从1正向沿着圆周一圈，于是

∫₀²π R(cosθ，sinθ)dθ＝∫|z| → ↓

z＋z⁻¹ z – z⁻¹ dz

R(───，───) ──，

2 2i iz

只需要计算圆周内奇点的留数就能求出积分，对于原函数不易求的积分，这样的方法大大降低了积分求解的难度。

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