超数学

有人问：由 x²+x+1=0 得到 3=0 错在何处？

因为 x²+x+1=0

所以：

(x−1)(x²+x+1)=0

这方程的实数解为x=1 。再代入

x²+x+1=0，得 3=0 。‘

这就是民科的思维，在一般的数学里当然是错的，错因也很明显。

但这结果不够一般。这么“强大”的数学工具这么用就被糟蹋了，才得到这么弱的一个结论，简直就是杀鸡用牛刀，实在不过瘾。不如直接搞成：

既然 x²+x+1=0那么任取实数 x₀，都有 (x−x₀)(x²+x+1)=0奇迹又一次出现了，方程实数解的谜底再次出现在谜面儿上： x=x₀。因此，任意实数都是 f(x)=x²+x+1这个方程的根。那当然 f(−12)=0 。

我们再引入 fy₀(x)=4y₀3f(x)=4y₀3(x²+x+1)因此，任取实数 y₀≠0 ， fy₀(−12)=y₀，而根据上一段的结论， fy₀(−12)=4y₀3f(−12)=0 ，所以 y₀=fy₀(−12)=0 ，也就是说任何不等于 0 的实数都等于 0 ，这也就是说任何实数都等于 0 ，整个实数域“收缩成一个点”，“现有数学体系大厦”就翻得更彻底了。

问题在哪儿？这位民科的每个推理步骤都是，“如果 A 成立，那么 B 成立”，因此民科那推理过程的意思实际上是：如果 x 满足①，那它也满足②，再依次推出它满足③、④、⑤。但到最后一刻，他却想当然地认为他的推理过程保证了“如果 B 成立，那么 A 也成立”。这样，他就想当然地从 x 满足⑤“推出” x 满足④、然后依次“推出”它满足③、②、①。在这个的推理过程中，尤其错误的是从③到②的推理用到了①，而方程的次数变化正是出现在这一步。因此他想当然地把最后一个式子的结论运用到第一个式子上，是混淆了充分条件和必要条件。所以这位民科从根本上来说，是逻辑混乱。如果逻辑清楚，那即使他不知道增根和复数这些概念，也不可能犯这种错误。

具体到这个例子上，根据代数基本定理，如果重复计算重根，那么“一元二次方程有两个根”，“一元三次方程有三个根”，所以把一元二次方程变换成一元三次方程势必可能引入新的、不属于原方程的根。这位民科大概做初中模式化的数学题做多了：在初中的解题套路里，一次方程变换之后还是一次方程，二次方程变换之后还是二次方程，很容易得知变换前后的根的数量不变，便以为所有的方程变换后根的数量也不变，这就大错特错了。

一般数学对3=0这样的错误分析到这已经是鞭辟入里了。

但超数学对3=0的问题却有不同看法。

超数学由1/0=∞出发，得出0X∞=1，则接受0=1这样看似矛盾的结果。既然0=1，那么0=3亦可接受，关键在于审查什么时候0=3。

就像一般数学中的解析延拓，在解析延拓下，全体自然数的和为-1/12，正数之和为负数。在超数学的视角下，0=3是一种赋值，相当于给0赋值为3。给0赋值为3，相当于给全体自然数之和赋值为-1/12，在某种条件下是成立的。

换句话说，0=3在某种条件下成立，亦即在其他条件下不成立。即0=3不是无条件成立的，0=3的成立需要特定条件。为保证0=3的成立，需要对成立条件进行审查。充分考虑成立条件，是超数学与无条件成立的一般数学的重大区别。

显然，上述例子中，超数学是认可0=3的。因为 x²+x+1=0，所以(x−1)(x²+x+1)=0，即x³-1=0，这方程的实数解为x=1 。x=1是x²+x+1=0的增根。但增根也是根。超数学认为方程的根可以同类替换，增根代替根代入 x²+x+1=0，得 3=0 。即将0赋值为3在这种同态替换时是可行的，某种程度上可以简化计算。

比如，x³-1=（x-1）（x²+x+1）=0

由x-1=0得x²+x+1=3

同理，x²-1=（x-1）（x+1）=0

由x-1=0得x+1=2。

如果求limₓ→₁（x³-1）/（x²-1）的值。

一般数学中x→1时，x³-1=0，x²-1=0，这是0/0型的极限，要用罗必塔法则求：

x³-1求导得3x²

x²-1求导得2x

则limₓ→₁（x³-1）/（ⅹ²-1）=

limₓ→₁（x³-1）'/（ⅹ²-1）'

=limₓ→₁3x²/2x=3/2。

如果用超数学，则是limₓ→₁（x³-1）/（x²-1）=limₓ→₁（x-1）（ⅹ²+x+1）/（x-1）（x+1）=limₓ→₁（x²+x+1）/（x+1）=3/2。

同样结果，计算简单得多。

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