格罗滕宇宙

格罗森戴克宇宙¹

卡罗尔帕克

信息学研究所

Bialystok大学

波兰

总结。Mizar数学库[2]的基础，是一阶塔斯基-格罗滕狄克集理论。然而，基础只

明确提到Tarski的公理A，它指出每一个集合X都有一个Tarski宇宙U，这样X∈U。在本

文中，我们使用Mizar [3]forma-来证明

他认为格罗滕代克的名字是合理的。我们展示了塔尔斯基和格罗滕狄克宇宙之间的关

系。

首先，我们在定理（17）中证明了每个格罗滕狄克宇宙都满足塔尔斯基的公理A。

然后在定理（18）中，我们证明了每一个包含给定集合X的格罗滕狄克宇宙，即使是用

格罗滕狄克宇宙X表示的最小（关于包含），也有一个包含X的子集，用塔斯基-克

lassX表示。由于塔尔斯基宇宙，相对于格罗膝狄克宇宙[5]，可能不是传递的（在Mizar数学库[1]中称为传递的），我们将注意力集中在证明塔尔斯基类X车格罗滕狄克

宇宙X对于某些X。

然后我们在定理（19）中证明了Tarski-ClassX，其中X是任意无限集的单例，是宇宙的一个适当子集。最后，我们证明了在X是一个传递集的假设下，塔斯基类X=的宇

宙X是成立的。

形式化是在[4]中使用的形式化的扩展。

MSC： 03E70 68V20

关键词：塔尔斯基-格罗滕狄克集合理论：Tarski的公理A；格罗森狄克的宇宙

NML标识符：第3类，版本： 8.1.10 5.63.1382

¹这项工作得到了波兰国家科学中心的决定的支持不2015年12月19日/d/st6/01473。

212卡罗尔帕克斯坦

1.格罗森戴克宇宙公理

从现在开始，X，Y，Z表示集合，X，Y，Z表示对象，A，B，C表示序数。

让我们考虑一下X。我们说X是幂闭的当且仅当(Def。1)，如果是Y∈X，那么是2Y∈X.

我们说X是并闭的当且仅当

变形2)，如果是Y，∈，X，那么ⁿY∈x.

我们说X是家庭联盟关闭的，当且仅当

变形3)为每个Y和每个函数f，这样dom f=Y和rng f⊆X和Y∈X成立n rng f∈X.

注意，塔斯基的每个集合也是幂闭的和子集闭的，传递的和塔斯基也是并闭的和族闭的，传递和族闭的集合也是并闭的，传递和幂闭的集合也是子闭的。

格罗滕狄克是一个传递的、幂封闭的、族联合封闭的集合。

2 . 格罗森戴克宇宙算子

设X是一个集合。X的格罗滕狄克是由（Def。4）X∈它。

设g1，g2是希腊。可以验证G1 \ G2是传递的、功率关闭的和族联合关闭的。现在，我们陈述这样一个命题：

（1）让我们考虑格罗森迪克的g1，X的g2。那么G1 \ G2是X的一个。

设X是一个集合。产生X的格罗滕代克宇宙（X）定义为

变形5）为每一个格罗滕狄克G的X，它是⊆G。

该方案关闭下替换处理一个集合X和一个格罗滕狄克X的八和一个一元函子F产生一个集合并表示

学校1) {F (x)，其中x是X：x∈X)∈八的一个元素

如果

如果是Y∈X，则为F（Y）∈八。

在续集中，U表示格罗滕狄克。现在，我们陈述这样一个命题：

格罗滕狄克宇宙213

（2）让我们考虑一个函数f。如果是∈U和⊆U，那么是∈U。

证明：设置一个=dom f。定义S（设置）={f（＄1）}.考虑s是一个函数，即dom s=A，并且对于每个X，即X∈a持有s (X)=S(X)。rng s ⊆ U . ⁿs ⊆ rng f . rng f ⊆ⁿ s.样

3.达到给定等级的所有集合

设x是一个对象。定义了产生传递集的函子Rrank(x)

按条款

变形6)Rrk(x).

现在，我们陈述以下命题：

（3）X∈拉当且仅当存在B，使得B∈A和X∈2RB.证明：如果为X∈拉，然后存在B，B∈A和X∈2RB. 样

（4）Y∈Rrank(X)当且仅当Z存在，使Z∈X和y∈2R等级（Z）

证明：如果Y∈Rrank（X），则存在Z，使得Z∈X和y∈2R等级（Z）. 样

（5）如果x∈x和y∈Rrank(x)，则y∈Rrank(x)。

（6）如果Y∈Rrank（X），则存在x，x∈X和Y⊆Rrank（X）。这个定理是（4）的结果。

（7）X ⊆ Rrank(X).

（8）如果X ⊆ Rrank(Y)，则R⊆(X)⊆Rrank (Y)。

（9）如果X∈Rrank(Y)，则R∈(X)∈Rrank (Y)。

（10）（∈）∈Rrank(Y)，或（i

i）∈∈(Y)⊆Rrank(∈)。

（11）（i） Rrank (X)∈Rrank (Y)，或

（ii） Rrank (Y)⊆Rrank (X)。

（12）如果为X∈U和X≈A，则为A∈U。

证明：为每个X定义P[序号]≡，使X≈＄1和X∈U持有＄1∈U.对于每一个序数A使得对于每一个序数C使得C∈A持有P[C]持有P[A].对于每个序号0，P，P[0]。样

（13）如果为X∈Y∈U，则为X∈U。

（14）如果为X∈U，则为Rrank（X）∈U。

214卡罗尔帕克斯坦

证明：为每个集合A定义P[序号]≡，使rk（A）∈＄1而A∈U持有Rrank (A)∈U。对于每一个A，对于每一个C，都是这样的

C∈A持有P[C]持有P[A].对于每个序号0，P，P[0]。样（15）如果是一个∈U，那么拉∈U.

证明：定义P[≡的序号]，如果是＄1∈U，然后R＄1∈U.对于每一个A，对于每一个C，C∈A持有P，[C]持有P[A].对于每个序号0，P，P[0]。样

4.塔斯基vs。格罗森戴克宇宙

现在，我们陈述以下命题：

∉（16）如果X⊆U和XU，那么存在一个函数f，使f是一对一的，dom f＝On U和rng f=X。

证明：对于每个集合x，x∈On U持有x是一个序数，x⊆On U。重新考虑∧＝的U作为一个序数。存在一个函数，对于每个集合x，∅x⊆x持有(x)∈x。≠考虑是一个函数，对于每个集合x，这样∅x⊆x持有（x）∈x。≠定义R（设置

）={rk(x)，其中x是＄的一个元素1：x ∈＄1),对于每个集合A和每个对象，x，x∈R(A)如果存在一个集合，即∈a和x＝rk(a).

定义Q[设置，对象]≡＄]2 ∈ X\＄1对于每一个序号B，B∈R(X \ ＄1)持有rk（＄2）⊆ B.定义F（超限序列）=The（其中x是x：Q[＄的rng元素1，x] }）.考虑f是一个超限序列，这样dom f＝∧，对于每个序数a和每个超限序列L，这样a∈∧和L＝frA持有f（A）=F（L）。对于每一个序数A，使A∈∧保持Q[rng（frA），f（A）]。f是一对一的。rng f ⊆ X，X ⊆ rng f .样

（17）每个格罗滕狄克人都是塔尔斯基

。证明：如果是X≈U，则是X≈U。

∉样

让我们注意到，每一个传递的、幂闭的和族并闭的集合也是通用的，每一个普遍的集合也是传递的、幂闭的和族并闭的。

现在，我们陈述以下命题：

（18）让我们考虑一个X的格罗滕狄克G。然后是T（X）⊆G。

（19）让我们考虑一个无限集X。然后X T（[X]）。∉

证明：定义B（设置，设置）=＄2∪2＄2.考虑f是一个函数，即dom f＝N和f（0）={ {A}，∅}，以及对于每个自然数n，f（n＋l）=B（n，f（n））。设置U=n f.定义M[对象，对象]≡＄]1 ∈ f（＄2）和＄2∈dom f和每个自然数i，j，

使得i＜j＝＄2

格罗森狄克宇宙215

持有＄1∉f（i）.对于每个对象x，使x∈U存在一个对象y，使M[x，y]。

考虑M是一个函数，即dom M＝U，并且对于每个对象x，即x∈U持有M[x，M（x）]。U是子集关闭的。对于每一个X，这样的X∈U持有2个X∈U。定义D[自然数]≡f（＄1是有限的。对于每个自然数n，使D包含D[n＋1]。对于每一个自然数n，d［n。对于每个集合x，这样x∈dom f持有f（x）是可数的。对于每一个X，这样的X⊆U持有X≈U或X∈U。A U.∉样

（20）让我们考虑一个无限集X。然后是⊂的宇宙宇宙（{X}）。该定理是（18）

和（19）的结果。

（21）（i）格罗森氏宇宙（X）是一个通用类，并且（ii）对于每一个通用类U，这样X∈U都成立GrothendieckUniverse (X) ⊆ U .

（22）让我们考虑一个传递集X。然后是T（X）=宇宙宇宙（X）。这个定理

是（18）的结果。

参考文献

[1]Grzegorz班切雷克。序数。形式化数学，1（1）：91-96，1990年。

[2] Grzegorz班克雷克，Czeslaw比林斯基，亚当格拉博夫斯基，Artur Kornilowicz，罗马马-

图舍夫斯基、亚当 • 诺莫维茨、卡罗尔 • 帕克和约瑟夫 • 厄本。Mizar：最先进的和超越的。在曼弗雷德 • 克贝尔、雅克 • 卡富特、塞扎里 • 卡里兹克、弗洛里安 • 拉贝和沃尔克 • 索尔格，编辑《智能计算机数学》，《计算机科学课堂讲稿》第9150卷，第261-279页。施普林格国际出版公司，2015年。ISBN 978-3319-20614-1。

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[3] Grzegorz班克雷克，Czeslaw比林斯基，亚当格拉博夫斯基，Artur Kornitowicz，罗马马-

图舍夫斯基，亚当 • 诺莫维奇和卡罗尔 • 帕克。Mizar数学库在Mizar的交互式证明开发中的作用。《自动推理杂志》，61（1）：2018年9-32日。doi：10.1007/s10817-017-9440-6.

[4]乍得E。棕色和卡罗尔巴克。一个关于两套理论的故事。在塞扎里 • 卡利兹克，埃德温 • 布雷迪，家德里亚 • 科尔哈斯 • 科恩，编辑，第12届智能计算机数学国际会议，CICM 2019，CIlRC，布拉格，捷克共和国，2019年7月12日，计算机科学讲座笔记第11617卷，第44-60页。施普林格，2019年。

doi：10.1007/978-3-030-23250-4_4.

[5] N.H.威廉斯棉在格罗森戴克宇宙。《数学组合》，21（1）：1969年1-3。2020年5月31日接受

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