奇异基数（数学定理）

EM蓝图和0#

0♯基数

向集合论语言 L∈ 加入可数个常元{ck：k＜ω} 得到新语言 L∈∗ 。

称 Lκ 是 L∈∗ 的一个典型结构，当且仅当κ＞ω 且 κ 是极限序数、 ck 在 Lκ 的赋值 ak 是一个序数且 ak＜ak+1 、 I={ak：k＜ω}⊆Lκ 是省略结构 (Lκ，∈) 的不可辨元集：对于任意 ψ∈L∈ ，Lκ⊨ψ(a1,⋯,an)↔ψ(a1′,⋯,an′) ，其中a1＜⋯＜an 且 a1′＜⋯＜an′∈I 。

称 L∈∗ 的理论 T 是EM蓝图当且仅当 T是某个典型结构 Lκ 的真理论。

根据定义不难看出，对于任意 c1＜⋯＜cn 与 c1′＜⋯＜cn′ ，ψ(c→)∈T↔ψ(c→′)∈T 。

注意 Lκ 中的不可辨元集 I 的序型很可能不是 ω ，那么对 ck 的不同赋值（或者说不同的序型为 ω 不可辨元集）会不会导致 T 不同呢？答案是不会的，因为 I 是不可辨元集， {ck：k＜ω} 可以按顺序赋值为 I 的任意可数子集 J⊆I 。

定义基本模型 M(T，α)=(M,E) ，该定义是指“ M⊨T 且存在 M 的不可辨元集 I⊂M， I 的序型是 α ，同时 SH(M，E)(I)=M”。

注意到 L 上有可定义的良序 ＜L ，并且＜L 保证α＜β∧rankL(x)=α∧rankL(y)=β→x＜Ly，那么我们在定义公式 φ(x→，y) 的斯科伦项时可以运用这个良序：任选x1，⋯，xn∈L ，如果 L⊨∃yφ(x→，y) ，那么定义 hφ(x→)=y∈L ，其中φL(x→，y)∧∀z∈L，(φL(x→，z)→y＜Lz)。

按照这样的方式定义斯科伦项，可以保证对于任意 M∈L 和任意的X⊆M∧X∈L ， SHM(X) 唯一。

下面我们证明如下引理：

引理 1 ：对于任意EM蓝图 T 和任意极限序数 α＞ω ，都在同构的意义下存在唯一的基本模型 M(T，α) 满足如下性质， I⊂M 是不可辨元集：如果 a0＜⋯＜an∈I ，那么对于任意 ψ∈L∈ 都有ψM(a0，⋯，an)⇔ψ(c0，⋯，cn)∈T 。

证明：我们向 L∈∗ 中加入一组新常元{cξ：ω≤ξ＜α} 得到新语言 L∈∗∗ ，再向 T中加入一组新语句：

{cξ＜cη∧cξ是序数:ξ＜η＜α} 以及{ψ(cη0，⋯，cηn)：ψ∈L∈∧ψ(c0，⋯，cn)∈T} ，其中 η1＜⋯＜ηn＜α 。

令得到的新语句集是 S ，下面证明 S 有限一致：令 S′⊂S 是有限子集，令 ⋀S′中出现的所有常元为 cδ1＜⋯＜cδn ；由于 T 是EM蓝图，不妨假设 T 是(Lκ，∈，ak)k＜ω 的真理论，那么(Lκ，∈，ai)i≤n⊨⋀S′ ，因此 S 有限一致，令 S 的模型为 (M，E，aξ)ξ＜α 。令 I={aξ：ξ＜α} ，定义 SH(M，E)(I)=A ，那么SH(M，E)(I)=A=SHA(I) ， A 即为所求。

现在证明同构：假设 (M，E)，(N，F) 都是M(T，α) 的模型且 M，N 中的不可辨元集I，J 的序型都是 α ，令 π：I→J 是一个保序映射，由于 M，N 中的元素都可由 I，J的斯科伦项定义，因此 π 可以延拓为M→N 的同构映射，因此引理 1 成立。 ⊣

现在我们知道对于任意极限序数 α＞ω都有 M(T，α) 存在且唯一，但这也并不意味着 M(T，α) 是一个有秩关系，因此其并不一定是集合论模型。

下面我们要讨论 T 在什么情况下 M(T，α)有秩。

引理 2 ：以下命题等价：

1.∀ω≤α＜ω1(M(T，α)有秩)

2.∀β≥ω1(M(T，β)有秩)

3.∃β≥ω1(M(T，β)有秩)

证明： 注意到如果 M(T，α)=(M，E) 和M(T，β)=(N，E′) 且 α＜β ，令 I，J 是 M，N 不可辨元集，那么任意 f：I→J 的保序映射都可扩张为初等嵌入映射，所以 3→1成立。

假设

∀ω≤α＜ω1(M(T，α)有秩) 且存在 β≥ω1， M(T，β)=(M，E) 不是秩关系，那么有无穷递减序列 ⋯Ec1Ec0 ，令 A={aξi}i＜ω⊂I 是生成这些 {ci}i＜ω 的 M 中的元素，由于 A={aξi}i＜ω 的序型必为一个可数序数 γ ，那么 SH(M，E)(A) 是一个含有序型为 γ 的无差别元集的模型，且该模型不是有秩关系，矛盾，反证1→2 。 ⊣

以后我们直接将 (M，E) 写成 (M，∈) 。

下面继续讨论 M(T，α) 和 T 之间的关系。

注意 α 始终是大于 ω 的极限序数。

现在引入一个更强的条件“无界性”： T具有无界性，当且仅当对于任意极限序数 α＞ω ， M(T，α) 的不可辨元集无界。

引理 3 ：以下条件等价：

1. T 具有无界性；

2. 任意斯科伦项 τ 与 c0＜⋯＜cn ，T⊢τ(c→)∈Ord→τ(c→)＜cn+1

证明：令 M(T，α)=(M，∈) ，注意到如果 I在 M 中无界，即任选 a0，⋯，an∈I 与斯科伦项 τ(a0，⋯，an) ，若M⊨τ(a→)∈Ord ，那么存在 aξ＞τ(a→)，根据不可辨元的定义 τ(c0，⋯，cn)＜cn+1 ，反方向也是如此，引理 3 成立。 ⊣

继续增强 T 的条件！现在假设 T 具有无界性，并引入“神奇性”：假设M(T，α)=M∧α＞ω ，如果 γ＜α 是极限序数， aγ 是 I 的第 γ 个元素，那么{β∈M：β∈aγ}⊂SHM(X) ，其中 X={aδ：δ＜γ} 。

换言之，所有 M 中的小于 aγ 的序数都可以用 M 中小于 aγ 的不可辩元定义。

引理 4 ：假设 T 有无界性，那么 T 具有神奇性，当且仅当对于任意斯科伦项τ(c1，⋯，cm，cm+1，⋯，cm+n) ，如果τ(c1，⋯，cm+n)∈Ord 且 τ(c1，⋯，cm+n)＜cm+1 ，那么τ(c1，⋯，cm+n)=τ(c1，⋯，cm，cm+n+1，⋯，cm+2n) 。

证明：充分性：假设 M(T,α)=M∧α＞γ，且 {β∈M：β∈aγ}⊂SHM(X) ， X={aδ：δ＜γ} 。

令 x1＜⋯＜xm＜y1＜⋯＜yn＜z1＜⋯＜zn ，其中 y1=aγ 且 τ(x→，y→)＜y1 ，由神奇性，存在 u1＜⋯＜ui＜y1 与斯科伦项 ρ 满足 τ(x→，y→)=ρ(u→) ，那么M⊨τ(x→，y→)=ρ(u→) ，由不可辨元集定义， M⊨τ(x→，z→)=ρ(u→) ，因此τ(c1，⋯，cm+n)=τ(c1，⋯，cm，cm+n+1，⋯，cm+2n) ；反过来，假设 β＜aγ∧β∈M（注意 β∈M 这个条件不能少，否则如果 aγ=|η|＞γ ，那么 SHM(X) 的基数不可能是 η ，这与神奇性矛盾），那么令x1＜⋯＜xm

下面我们称 T 是“神奇的EM蓝图”，当且仅当 T 是EM蓝图，且对于任意极限序数 α＞ω ， M(T，α) 都是有秩关系、且M(T，α) 的不可辨元集无界、且具有神奇性。

引理 5 ：如果 T 是神奇的EM蓝图，那么 T 具有“闭性”：对于任意极限序数α＞ω ， I 是 M(T，α) 不可辨元集，那么对任意极限序数 γ＜α ， aγ=supδ＜γaδ。

证明：反证法，假设 aγ＞η＞supδ＜γaδ，根据神奇性，存在 x1，⋯，xn＜aγ 满足η=τ(x1，⋯，xn) ，令 J={aδ：δ＜γ} ，则有η∈SHM(J) ；由无界性得 η＜aδ ，矛盾，反证引理 5 成立。 ⊣

下面我们将证明，如果存在神奇的EM蓝图，那么可构成集宇宙 L 将与 V 有天壤之别。

定理 1 ：如果存在神奇的EM蓝图 T ，对任意不可数基数 κ ， M(T，κ) 的坍缩映射像是 Lκ 。

证明：首先 M(T，κ) 是一个基数为 κ 的模型且 M(T，κ)⊨V=L ，因此存在 α≥κ 满足 Lα≅M(T，κ) ，不妨设 Lα=M(T，κ) 。

如果 α＞κ ，设 aγ 是最小的 ＞κ 的序数，注意 γ＜κ 。令 J={aδ：δ＜γ} ，由神奇性可得 ∀β∈κ(β∈SHLα(J)) ，但是SHLα(J) 的基数 =|γ|＜κ ，矛盾，反证定理 1 成立。 ⊣

定理 2 ：如果存在神奇的EM蓝图 T ，假设 κ＜λ 是不可数基数，那么 Lκ≺Lλ且 Iλ∩κ=Iκ 且 κ∈Iλ ，其中 Iκ 是 Lκ 的序型为 κ 的不可辨元集。

证明：令 J={aδ：δ＜κ}⊂Iλ 和SHLλ(J)=M ，根据 T 的神奇性得∀β＜aκ(β∈M) ，因此假设 π：M→N 是坍缩函数，那么 π[J]=J ；由于 M 由 J生成，因此 π[M]=M ，即 M 传递，根据哥德尔凝聚性引理得 M=Lα，α≥κ ；又根据定理 1 得 M=Lκ ，因此 J⊆Lκ 且Iλ∩κ=Iκ 。

由引理 5 的闭性和 T 的无界性可知κ=⋃J∈I 。

任选 j：Iκ→Iλ 都可扩张为 Lκ→Lλ 的初等嵌入映射，因此定理成立。 ⊣

根据定理 2 有 Iλ∩κ=Iκ ，那么我们可以定义 I⊂Ord 满足 I=⋃κIκ 。

根据之前的分析，类 I 满足如下性质：I 在 Ord 无界；任意不可数基数 κ 都有I∩κ=Iκ 且 κ∈I 。

不难看出，这个 I 就是可构成集宇宙 L的不可辨元集。

而这立马就引出了如下定理：

定理 3 ： ℵηV 在 L 中都是不可达基数。

证明： L⊨cf(ℵ1V)=ℵ1V 且L⊨∀α＜ℵωV(2α＜ℵωV) ，由不可辩元集的定义，所有不可数基数 ℵηV 在 L中都是正则与强极限基数，因此都在 L中不可达。 ⊣

定理 4 ： ℵ1L≈ω 。

证明：因为 ℵ1V 在 L 中不可达，因此ℵ1L＜ℵ1V ，所以 ℵ1L≈ω 。

事实上 ℵ1L 比最小的 γ∈I 还要小，因为对于任意 β≤ℵ1L ， L⊨β≤ℵ1L ，但是 L⊭ℵ1V≤ℵ1L 。 ⊣

定理 5 ： (Pω∩L)≈ω 。

证明：由于 L⊨(Pω)L=ℵ1L ，因此定理成立。

由于 |x|+ 是不可达基数，因此定理 5 可以推广到一切无穷集合。 ⊣

现在可以定义 0♯ 基数了：0♯ 基数存在当且仅当存在神奇的EM蓝图。

定理 6 ：如果存在神奇的EM蓝图 T ，那么 T 唯一。

证明：由定理 2 可得：注意到 Lκ≺Lλ即可。 ⊣

根据定理 6 ，T 可以这么定义： T={ψ(ci1，⋯，cin)：Lℵω⊨ψ(ℵi1，⋯，ℵin)} 。

由于我们可以给全体公式编码，因此此时的 T 实质是一个实数，在这里我们看到了大基数、初等嵌入、 L 与 V 的关系以及实数集 R 之间的关系。

定理 7 ：如果存在Ramsey基数 κ ，那么存在神奇的EM蓝图。

证明：由于 κ⊂Lκ ，因此根据定理，Lκ 有序型为 κ 的不可辨元集 I ，令 T是典型结构 (Lκ，∈，ak)k＜ω 的真理论。

根据引理，由于 Lκ 是有秩关系且 I 在Lκ 中无界，现在只需证明 T 有神奇性即可。

然后不会了。

0#基数的一个等价形式

定理：假设 κ 是不可数正则基数，如果 0♯ 存在，那么对于任意X∈P(κ)∩L ，要么 X 包含一个无界闭集，要么 κ−X 包含一个无界闭集。

证明：注意到无差别元集 Iκ 是 κ 的无界闭集，因此要么 Iκ⊆X ，要么Iκ⊆κ−X ，定理成立。 ⊣

定理 2 ：上述定理的逆定理也成立。

证明：假设 κ 是不可数正则基数，如果对于任意 X∈P(κ)∩L ，要么 X 包含一个无界闭集，要么 κ−X 包含一个无界闭集，现在求 Lκ 有不可数的无差别元集：令 φ0，φ1，⋯ 是只含一个自由变元的纯集合论公式的枚举，令Xi={x∈κ：φiL(x)} ，那么 Xi，κ−Xi 中必有一个含有无界闭集 Ci∈L ，这就得到了一组无界闭集 C0，C1，⋯ ，令 C=⋂nCn，由 κ 是不可数正则基数得 C 也是无界闭集，且 x，y∈C →(φL(x)↔φL(y)) 。

现在令 ϕ0，ϕ1，⋯ 是只含两个自由变元的纯集合论公式的枚举，那么∃y∈C(x∈y∧ϕ0(x，y)) 就是含有一个自由变元的公式，因此对于 C 的元素 x 来说只有两种情况：要么所有 x∈C 都满足 ∃y∈C(x∈y∧ϕ0(x，y)) ，要么都满足 ∀y∈C(x∈y→¬ϕ0(x，y)) 。

如果第一种情况成立，令 x0，x1，⋯ 是 C的元素、且满足 ϕ0(xα，xα+1) 与∀y∈C(y＜xα+1→¬ϕ(xα，y)) ，同时如果α 是极限序数，那么 xα=sup{xβ：β＜α}∈C ；令 D0={xα}α＜κ ，则 D0 是无界闭集；如果第二种情况成立，那么直接令 C=D0 ，如上递归可得 D0，D1，⋯ ，那么 D=⋂nDn 也是无界闭集，则对于任意 x，x′，y，y′∈D 、如果 x＜x′∧y＜y′ ，那么L⊨ϕ(x，x′)↔ϕ(y，y′) 。

继续递归上述过程，可得无界闭集Ω⊂κ ，其中 Ω 是 κ 的无差别元集且 |Ω|＞ω ，因此定理成立。 ⊣

定理 2 的标准证明方法是： L 中的 κ 子集要么是无界闭集，要么是无界闭集的补集，则 L 可以定义 κ 完备的超滤子，进而得到 L 上的非平凡初等嵌入，根据之前的证明可得存在 0♯ 。

0#基数的进一步讨论

定理 1 ：如下四个命题等价：

1. 0♯ 存在

2. 存在 j：L→L 非平凡初等嵌入映射

3. 存在序数 α，β 满足 j：Lα→Lβ 是非平凡初等嵌入映射

4. 存在某个 (Lκ，∈) 有不可数个不可辨元集。

我们之前在文章和文章中证明了2和3等价、2蕴含4。

如果 0♯ 存在，令 I 是 L 的不可辨元类，那么任意 j：I→I 非平凡的保序映射都可以延拓为 L 上的非平凡初等嵌入（注意到φL(hφ(x→)，x→)↔φL(j(hφ(x→))，j(x→))，因此 hφ(j(x→))=j(hφ(x→)) ），因此1蕴含2（这意味着存在无穷多个 L 上的非平凡初等嵌入）。

下面我们证明4蕴含1，这样定理 1 获证。

引理 1 ：假设 Lλ 含有一个序型是 κ 的不可辨元集、 κ 是不可数基数，那么存在 γ 满足 Lγ 上存在序型是 κ 的不可辨元集 I ，且 I 在 Lγ 在上无界。

令 T 是 Lγ 上的EM蓝图，那么 T 是有秩、无界、神奇的EM蓝图。

证明：令 λ=min{δ：Lδ有基数为κ的不可辨元集} ，令 I 是 Lλ 的基数是 κ 的不可辨元集，定义 M=SHLλ(I) ，由哥德尔凝聚性引理得 M≅Lα 且 α≤λ ，又因为λ 的最小性得 α≥λ ，即 α=λ 。

因为 Lλ 上有一个序型是 κ 的不可辨元集 J 且 Lλ=SHLλ(J) 。

下面证明 J 在 Lλ 中无界：否则有 α＜λ满足 α＞supJ ，令斯科伦项 τ 与 β1＜⋯＜βn∈J 满足 α=τ(β→) 。

现在任选 γ1＜⋯＜γm∈J 与 η1＜⋯＜ηm∈J ，根据不可辩元的定义有Lλ⊨ψLα(γ→)↔ψLτ(β→)(γ→) 和Lλ⊨ψLτ(β→)(γ→)↔ψLτ(β→)(η→) ，因此 Lλ⊨ψLα(γ→)↔ψLα(η→) ，则 J是 Lα 的一个序型为 κ 不可辨元集，但这与 λ 的最小性矛盾，反证 J 在 Lλ 中无界。

令 T 是 Lλ 上的EM蓝图，下面求证 T 的神奇性。

根据文章证明，我们知道 T 具有神奇性，当且仅当对于任意斯科伦项τ(c1，⋯，cm，cm+1，⋯，cm+n) ，如果τ(c1，⋯，cm+n)∈Ord 且 τ(c1，⋯，cm+n)＜cm+1 ，那么τ(c1，⋯，cm+n)=τ(c1，⋯，cm，cm+n+1，⋯，cm+2n) 。

现在假设 T 不具有神奇性，那么存在项τ 满足 τ(c1，⋯，cm+n)＜cm+1 且τ(c1，⋯，cm+n)≠τ(c1，⋯，cm，cm+n+1，⋯，cm+2n) 。

我们假设 J 是 Lλ 的所有序型是 κ 的无界的、 SHLλ(J)=Lλ 的不可辨元集中第ω 个元素 aω 最小的那个。

令 a1，⋯，am 是 J 的前 m 个元素，令 uα是第 α 组 J 中 n 个相邻元素组成的单增序列，即 maxuα＜minuα+1 且minu0＞am 。

根据前提可得 τ(a→，uα)＜minuα 且

τ(a→，uα)≠τ(a→，uβ) 。

令 γα=τ(a→，uα) ，那么 α＜β→γα＜γβ ，否则有 γα＞γβ ，根据不可辩元定义可得γ1＞γ2＞⋯ ，但这与基础公理矛盾。

现在定义 K={γδ：δ＜κ} ，现在证明 K 是Lλ 的序型为 κ 的不可辨元集：假设Lλ⊨ψ(γ1，⋯，γn) ，由 γi 的定义和不可辨元集 J 可得 Lλ⊨ψ(γi1，⋯，γin) ，对任意γi1＜⋯＜γin ，因此 K 是 Lλ 的序型为 κ的不可辨元集。

现在令 SHLλ(K)=N ，令 π：N→Lλ 是传递化映射且 π[K]=K′ ，因此 K′ 在 Lλ 中无界。

由于 π(γω)≤γω＜aω ，即 K′ 的第 ω 个元素小于 J 第 ω 个元素，反证 T 具有神奇性。 ⊣

引理 1 事实上证明了：只要存在某个Lλ 含有一个不可数的不可辨元集，那么 T={ψ∈L∈∗：Lλ⊨ψ} 就是神奇的EM蓝图。

现在我们证明Ramsey基数都是 0♯ 基数。

证明：令 κ 是Ramsey基数，由于 Lκ 含有一个基数为 κ 的不可辨元集，根据引理 1 ，存在神奇的EM蓝图。 ⊣

最后证明一个关于 0♯ 的等价定义：

0♯ 存在，当且仅当 ℵωV 在 L 中是正则基数。

这个证明要用到Jesen覆盖引理：如果0♯ 不存在，那么对于任意不可数序数集 X ，存在 Y∈L 满足 X⊂Y∧|X|=|Y|。

Jesen覆盖引理表明在 0♯ 不存在的情况下， L 和 V 十分接近。

定理 2 ：0♯ 的等价定义的证明：如果0♯ 不存在，那么定义X=ω1∪{ℵn：n＜ω} ，根据Jesen覆盖引理，存在 Y∈L∧Y⊃X∧|Y|=|X| ，如果ℵωV 在 L 中是正则基数，由于L⊨supY=ℵωV ，但 |Y|=ω1 ，这显然不可能，反证 ℵωV 在 L 中是奇异基数。

事实上该证明过程可以推广到任意奇异基数 κ 上。 ⊣

定理 3 ： 0♯ 存在当且仅当∃κ(κ→(ω1)2＜ω) 。

根据此文章，定理显然成立。

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