特殊篇章（数学基数假设与证明文章）

小于正确基数的莱因哈特

已知 κ 是超级莱因哈特基数，则 Vκ是 V 的初等子模型，但对于莱因哈特基数我们并不能得到这个结论，因为莱因哈特基数不是一阶可定义的，所以不一定会小于某个 Σn-正确基数，而本文则提供了一个证明思路以说明存在一个模型，在其中莱因哈特基数不是 Σ3-正确基数，甚至小于 Σ3-正确基数。

那么此处假设 κ 是莱因哈特基数则 Vκ是 V 的 Σ3-初等子模型：

让我们在 ZF+“存在x,存在y，x 是伯克利基数并且 y 是大于 x 的不可达基数”下证明

记 δ 是伯克利基数而 θ 是大于 δ 的最小不可达基数

根据伯克利基数的定义，可知对任意传递集 M⊆Vθ ，均存在非平凡初等嵌入j：M→M 并且 cr(j)＜δ ，故 (Vθ,Vθ+1) 也是二阶 ZF+存在莱因哈特基数”的模型，记 κ 为这个莱因哈特基数

由于 Vθ 中不会存在 δ∈M 但却不存在

j：M→M 并且 cr(j)＜δ 的 M 和 j ，所以 δ在 Vθ 中仍是伯克利基数。

故 Vθ 满足“存在x，x是伯克利基数”

但因为莱因哈特基数也是可扩基数，由于最小的伯克利基数下不存在可扩基数，所以 κ 仅是在 Vθ 中被认为是莱因哈特基数和可扩基数，在 V 中并不是

可由于 Vθ 满足“存在x，x是伯克利基数”，而这是一个 Σ3 命题，故 Vκ 也满足“存在x，x是伯克利基数”。

记 σ 为这个伯克利基数，显然 σ 在 V中也不被认为是伯克利基数

但既然 Vκ 认为 σ 是伯克利基数，考虑到 σ＜κ 并且 κ 下存在无界多个不可达基数，就必然存在无界多个大于 σ 的不可达基数，记第二个大于 σ 的不可达基数为 ϑ

由于 Vϑ 中不会存在 σ∈M 但却不存在

j：M→M 并且 cr(j)＜σ 的 M 和 j ，所以 σ在 Vϑ 中仍是伯克利基数。

故 Vϑ 满足 ZF+“存在x,存在y，x 是伯克利基数并且 y 是大于 x 的不可达基数”

而如果 Vθ 中存在 Σ3-正确基数 λ＜κ ，而 Vλ 满足“存在x，x是伯克利基数”，记 σ 为这个伯克利基数，由于 κ 下存在无界多个不可达基数，Vθ 至少满足“存在两个大于 σ 的不可达基数”这一以 σ为参数的 Σ3-命题，故 Vλ 也满足。

记第二个大于 σ 的不可达基数为 ϑ ，则Vϑ 满足 ZF+“存在x,存在y，x 是伯克利基数并且 y 是大于 x 的不可达基数”。

伯克利基数怎么这么弱，Vθ 居然都不满足存在一个 Σ3-正确基数下存在无界个不可达基数

数学往往如此奇妙，虽然我不知道可扩基数的两个定义的等价是怎么证的

即对任意序数 λ ，均存在

j：Vκ+λ→Vj(κ)+λ

和对任意序数 λ ，均存在

j：Vκ+λ→Vj(κ)+λ 并且 λ＜j(κ) 等价

但假设 ZF 是一致的和“怎么可能会不存在大于伯克利基数的不可达基数”的哲学信念下， ZF 肯定证不了这两命题等价。

世界基数

定义：一个基数 κ 是worldly cardinal，如果 Vκ⊨ZFC .

下面的结果应该都是已知的。但这里我们用 WC 表示workdly cardinal。

下面的命题是显然的。

命题 1：ZFC+ ∃ WC ⊢

Con(ZFC+Con(ZFC)).

我们用I表示不可达基数。显然每一个不可达基数都是WC，因此：

命题2: ZFC+ ∃I ⊢ ∃ WC.

但是最小的WC严格小于最小的I。

命题3：如果 κ 是不可达的，则存在世界基数 λ＜κ 。

证明：假定 κ 不可达，有Skolem定理(及其构造方法)，存在可数模型 M0≺Vκ以及 η0＜κ 使得 M0∈Vη0 。

一般地，对于任意 i , Mi≺Vκ 以及 ηi＜κ使得 Mi∈Vηi , 存在模型 Mi+1∈Vηi+1使得 Mi+1≺Vκ 并且 Vηi⊆Mi+1 。

令 λ=⋃iηi＜κ 。

显然 ∀i(Mi≺Mi+1) 。

因而有模型论基本知识， ⋃iMi≺Vκ 。

有构造，我们知道 Vλ=⋃iMi 。

因此 Vλ≺Vκ 从而是ZFC的模型。

因而 λ 是WC.

由Godel不完备性， ZFC+Con(ZFC)不能证明 ∃ WC.

同样Con(ZFC+ ∃ WC)也不是ZFC+Con(ZFC)能证明的。

由命题3, 我们有以下推论：

推论3.1: ZFC+ ∃ I ⊢ Con(ZFC+ ∃ WC).

因此WC的协调性强度是严格弱于不可达基数的。

由命题3的证明，我们可以推断最小的世界基数具有共尾性 ω 。

还有人提及以下定义：

定义2：一个序数 α 是可扩的，如果存在 β＞α 使得 Vα≺Vβ 。

我们用EC表示可扩基数。

显然命题3中的 λ 就是可扩的。

并且可以构造在 κ 下另外一个 λ′＞λ 使得 Vλ≺Vλ′≺Vκ .

ZS Chen 在评论里提到了Joel Hamkins给了关于可扩基数的比较完整的描述(The otherwordly cardinals)。

其中下面这个定理澄清了EC的强度

定理1 (Hamkins)：EC ⊆ WC，并且每一个 EC下面都有一个WC严格小于它.

注意虽然不可达基数的强度要严格高于存在EC的协调性，但是I ⊈ EC.

例如最小的不可达基数不属于EC。

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