特殊篇章（数学解释）三

V-逻辑和复宇宙的类型是不一样的。

V-逻辑是单宇宙，但它也属于V的扩展。

在玄宇宙计划中，V-逻辑被用来间接地表示出V的外模型。

V-逻辑虽然类型跟复宇宙不一样，但是它的强度可能会强于脱殊复宇宙。

V-逻辑是所有可数传递模型的集合。

非标准分析是上世纪中期由鲁滨逊提出的一个数学分支，超实数是其中最重要和最基础的概念。

超实数集是由实数集扩域形成的，实数在超实数集中不再连续，类似于整数集扩域到有理数集，有理数集扩域到实数集。

超实数使得非标准分析充分地公理化，从而！规避了ε-δ语言的艰涩、模糊的弊病。

数学上哪些悖论是和无穷有关的

第二次数学危机：

• 芝诺悖论。

• 0.9循环。其实就是芝诺悖论的严格化。揭示了标准分析和非标准分析的差异。

• 汤姆生灯悖论。涉及到无限序列极限的定义问题。

• Ross–Littlewood 概率悖论。

• 伯特兰悖论。

• …………

其实无穷序列和概率混起来会出现的悖论就会特别多。

虽然现代已经有严格的极限定义和测度理论可以解决以上悖论，但是对于不可数集合的概率仍没有一个好的说法。

第三次数学危机：

• 罗素悖论。如果你的理论可以展现一切集合的集合，那么0=1（矛盾）是你的理论的内定理。限制概括公理模式才能解决这个悖论。

• Girard 悖论。如果你的理论可以展现一切类型的类型，那么0=1（矛盾）是你的理论的内定理。限制类型的适用范围才能解决这个悖论

• 哥德尔第一不完备。任何包括乘法的理论都存在一句子不可证，除非0=1（矛盾）是你的理论的内定理。次协调逻辑可以解决这个悖论。

• 哥德尔第二不完备。任何关于含有乘法的理论之内不能见证这个理论没有对0=1（矛盾）的见证，除非0=1（矛盾）是你的理论的内定理。次协调逻辑可以解决这个悖论。

• 塔斯基真不可定义。如果一个有穷长度理论内存在一个谓词满足我们对真的普遍共识（T-约定），那么0=1是这个理论的内定理。次协调逻辑，模糊逻辑，概率逻辑，直觉逻辑可以解决这个悖论

• Skolem 悖论。一切一阶语言的句子的模型都可在外构造一个初等等价的可数子模型，也即你可以将任意大基数模型在外构造一个模型将其指认为可数的。

• CAP定理。包含分区容错性的分布式系统要么不是停机的，要么是不一致的。绝症，没得治。

以上悖论的核心都是基于说谎者悖论。

当然也可以利用Berry悖论组建这些不完备定理，可以避免使用不直观的对角线法。

• Chaitin不完备。揭示了任何递归理论可证明的自然数具有上界的事实。只能用Berry悖论组建。是哥德尔第一不完备的增强。绝症，没得治。

• 最大基数悖论/康托尔悖论。如果你的理论可以展现一切基数的基数（被康托尔称为“真无穷”），那么0=1（矛盾）是你的理论的内定理。这个悖论在新基础集合论（NF）中不成立。

• 最大序数悖论/布拉利-福尔蒂悖论。如果你的理论可以展现一切序数的序数（被康托尔称为“真无穷”），那么0=1（矛盾）是你的理论的内定理。这个悖论在新基础集合论（NF）中不成立。

“第四次数学危机”：

• 分球悖论/巴拿赫-塔斯基悖论。一个实心球可以分解和重新组合成两个乃至于任意个大小和原来一样的球。不是悖论，一般被视为佯谬。依赖于选择公理AC。

• Kunen不一致定理。不存在从V -> V的非平凡初等嵌入。V一般翻译成冯·诺伊曼全集或者冯·诺伊曼集合论宇宙，但是我更喜欢终极数学宇宙或者柏拉图宇宙这样的翻译，笑，也就是说这个悖论的意思是不存在从终极数学宇宙到终极数学宇宙的非平凡初等嵌入。同样依赖于选择公理AC。

之所以他们被单列在此处，是因为他们和AC息息相关——而AC本身还未被完全确认为一个确定无疑的公理。

如果你接受选择公理就要接受他们。

而如果拒绝选择公理就能获得从V -＞ V的非平凡初等嵌入的话（当下还是一个猜想），那么将会是一个很好的拒绝选择公理的理由，然后引发非常严重的灾难：

• Ω-猜想不成立。

• Ultimate-L不存在。

• V=HOD不成立。

• 基于勒贝格测度的一系列理论可能全部不成立。这意味着为了克服第二次数学危机的重要努力的巨大挫折。

超自然数的构造

固定I=N，F为I上的一个包含余有限滤子的超滤子。

设X是集合，我们在XI（即X中的列的全体）上定义等价关系∼F，(xi)i∈I∼(yi)i∈I当且仅当{i|xi=yi}∈F，记∗X=XI/∼F。

我们可以自然地将X嵌入∗X中，由a↦[(a)i∈I]给出。

我们以X=N为例子，∗N称为超自然数集。

N可以嵌入其中，除了N中的元素外还有额外的元素，比如(i)i∈N。

我们可以在∗N上定义运算[(xi)]+[(yi)]=[(xi+yi)]，类似地一切N上的运算可以提升为∗N上的运算。

也可以定义序关系，[(xi)]＜[(yi)]定义为{i|xi＜yi}∈F。

根据超滤子的性质可以发现这个序关系依然满足三歧性。

容易发现，∗N上满足和N上一样的运算律、序性质等等。

一般地，我们有如下的传达原理：

传达原理（不严格）：将一句标准的话的每处打个星，真假值不变。

严格的叙述需要简单的数理逻辑，我们不加展开。

传达原理是非标准分析中最重要的原理，之后我们的证明不需要用到非标准域的具体构造，只需要使用传达原理。

我们通过几个例子来说明传达原理应该如何使用：

N上的序关系具有三歧性。

对∀x，y∈N，x＜y∨x=y∨y＜x传达，得到∀x，y∈∗N，x＜y∨x=y∨y＜x。

设X={x1，x2，⋯xn}为有限集，那么X到∗X的嵌入是满射。

对∀x∈X，x=x1∨x=x2∨⋯∨x=xn传达得∀x∈∗X，x=x1∨x=x2∨⋯∨x=xn。

设f：X→Y，那么∗f:∗X→∗Y（函数逐点作用，在不引起混淆时也直接写f），那么f是满射当且仅当∗f是满射。

对∀y∈Y，∃x∈X，f(x)=y传达知等价于∀y∈∗Y，∃x∈∗X，f(x)=y。

若一个超自然数比所有（标准）自然数都大，那么称它是无穷大的，否则称为有限的。

那么一个有限自然数一定是标准的。

假如α∈∗N是有限的，那么存在一个n∈N使得α≤n。

对∀x∈N，x≤n→x=0∨x=1∨⋯∨x=n传达得∀x∈∗N，x≤n→x=0∨x=1∨⋯∨x=n。

取x为α，得到α≤n→α=0∨α=1∨⋯∨α=n，所以α是标准的。

我们用N∞记所有无穷自然数。

我们不能用传达原理得到超自然数集的每个非空子集都有最小元（有反例N∞）。

因为将∀S∈P(N)，S≠∅→S has aminimum传达会得到∀S∈∗P(N)，S≠∅→S has a minimum，而∗P(N)是P(∗N)的真子集。

∗P(N)中的元素称为∗N的内子集。

内子集就是“可定义”的子集。

我们暂时不会展开讨论。

超实数的性质

我们考虑∗R，它依然是有序域，但不再具有阿基米德性质（∀x∈R，∃n∈N，n≥x传达为∀x∈∗R，∃n∈∗N，n≥x，自然数集变成了超自然数集）。

我们把一个绝对值小于任何正实数的超实数称为无穷小的，把差无穷小的超实数称为相近的（记作x≈y），把绝对值大于任何正实数的超实数称为无穷大的（分为正无穷大和负无穷大），把其它元素称为有限的。

每个有限元都近于唯一的标准元（我们马上会证明它）。

于是∗R到R∪{±∞}有一个映射∘。

∘是单调的，即x≤y可推出∘x≤∘y。

命题：每个有限超实数近于唯一一个标准实数。

证明：唯一性由两不同实数不近即得。

下证存在性，设x是有限超实数，考虑R的子集{c∈R|c≤x}，它非空且由上界，故有上确界r，易证x−r既不能大于一正实数，也不能小于一负实数，从而x≈r。

zfc和nbg属于集合论下面的新的学科分支，zfc是广义分支开放分支，nbg是狭义分支封闭分支。

本质上都是集合论类型学科，要说优劣的话，个人认为nbg更好。

因为它分析的面要少一些，学起来不太累，分析出的模型结果也要更准一些，毕竟分析的样本有个限度。

zfc太宏大，你懂的越是宏大的东西，就会越学越玄，越学越神经。

说白一点zfc和nbg这两个东西的本质是代数，是一种计算类的算术。

zfc，nbg是一种逻辑数学系统。

1.ZFC公理系统，是指由策梅洛(Zermelo)和弗伦克尔(Fraenkel)等提出的ZF系统，在此基础上再加上选择公理所构成的ZFC公理系统。

2.nbg公理系统，在数学基础中，冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（vonNeumann–Bernays–Gö；del SetTheory，NBG）是设计生成同Zermelo-Fraenkel 集合论与选择公理一起(ZFC)同样结果的集合论公理系统，但只有有限数目的公理而不使用公理模式。

3. 亚历山大·格罗滕迪克（Grothendieck，1928年3月28日-2014年11月13日），现代代数几何的奠基者，主要成就：奠定了现代代数几何学基础，代表作品是EGA、SGA、FGA。

集合论始于德国逻辑学家康托。

哥德尔不完备定理1940提出，距离现在并不太遥远，还算是较新的理论，目前还没有被推翻的迹象。

哥德尔不完备定理只有两条

“引理一，任意一个包含一阶谓词逻辑与皮亚诺算法系统的形式数论系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被证否。

引理二，如果数论系统含有初等皮亚诺算法，当系统自身无矛盾时，它的无矛盾性不可能在该系统内被证明。

那么哥德尔的这个理论和ZFC、NBG系统有什么关系呢，哥德尔的这个理论其实就是ZFC、NBG系统的基础理论。

ZFC、NBG系统都是在哥德尔理论框架上建立起来的。

ZFC、NBG系统和罗素又有什么关系呢，ZFC、NBG系统均可以解决罗素悖论，这两个系统都可以把罗素悖论符号化后在一阶谓词中分情况讨论后得解，而且ZFC、NBG系统也是现代计算机语言的基础，什么机器语言，汇编语言，后面的java，c++等等计算机语言的基础就是这种数逻辑系统。

说完集合再说格罗滕迪克这个

Grothendieck，它主要研究的是图论。

这位优秀代表在代数几何学方面的贡献博大精深，大致可以分为10个方面：

（1）连续与离散的对偶性（寻来范畴，6种演算）；

（2）黎曼-洛赫-格罗腾迪克定理，把黎曼一洛赫定理由代数曲线和代数曲囱推广到任意高维代数簇，其间发展了拓仆K理论；

（3）概形概念的引入，使代数几何学还原为交换代数学；

（4）拓扑斯理论；

（5）平展上同调与L进上同调；

（6）动形（motive)理论；

（7）晶状上同调；

（8）拓扑斯的上同调；

（9）稳和拓扑；

（10）非阿贝尔代数几何学。

他和其他人合作出版十几部巨著。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。