实无穷体系（上）

注意：本章一共划分（上、下）篇章

现状：（1/2）

数学上的实无穷思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。

按照此观点，所有的自然数可以构成一个集合，因为可以将所有的自然数看做是一个完成了的无穷整体。

康托的朴素集合论就是建立在实无穷的基础之上的。

举个形象点的例子就是，一条线段上的点有无穷个，但是这条线段本身又是有限的。

数学上的潜无穷思想是指：把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。

它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。

把无限看作为永远在延伸着的（即不断在创造着的永远完成不了的）过程。

按照此观点，自然数不能构成为一个集合，因为这个集合是永远也完成不了的，它不能构成一个实在的整体，而是永远都在构造之中。

举个形象点的例子就是，构成一条直线的点有无穷个，并且这条直线永远延伸着，不会有终结的一天。

从哲学上讲，从公元前400多年前开始就对无穷的观念产生了分歧，对于潜无穷与实无穷的无穷观之争一直延续至今。

如果坚持潜无穷论，将导致一些与实际相矛盾的现象(如芝诺关于时间、空间无穷可分的悖论的一个原因，就在于认为相应无穷分划是一个“潜无穷”过程，永远不能完成；如果使用实无穷论，认为相应无穷分划虽然是一个无穷过程，但这是一个已经完成的过程，就不出现悖论了)，并且数学上将导致现代数学失去大部分内容。

当然坚持实无穷论，也会出现一些与日常知识不一致的方面(如整体大于部分将不再绝对成立)。

基于哲学上对无穷不同认识的影响，数学中也始终存在着潜无穷与实无穷之争论。

那么，无穷到底是实无穷，抑或是潜无穷呢？

两种无穷思想在数学上经历过“江山代有才人出，各领风骚数百年”的此消彼长与往复更迭后，已在现代数学中日趋合流，实际上现在数学中早已是既离不开实无穷思想也离不开潜无穷思想了。

标准分析与非标准分析的使用表明：用两种不同的无穷思想为据，采取不同的方式却可以得出完全相同的结果。

这殊路同归的结局，意味着两种无穷思想可以避开“两虎相争，必有一伤”而走向“平分秋色，辉映成趣”了。

当我们上升到哲学高度时，可能会获得对两者关系的更清楚认识。

辩证法告诉我们，要从整体，从两方面看问题。

如同我们所熟悉的“金银盾”的故事那样，看到金一面的说是金盾，见到银一面的说是银盾，而实际上对盾的认识应是“一面是金，一面是银”，数学家们对无穷的认识亦相仿。

看到无穷实在性一方面的说无穷是实无穷，见到无穷潜在性一面说无穷是潜无穷，但对无穷的认识只能是“无穷既是实无穷，又是潜无穷”，无穷本身就是一个矛盾体，它既是一个需无限趋近的过程，又是一个实体，一个可研究的对象。

在这一矛盾体中，矛盾的一方是实无穷，另一方是潜无穷，而无穷正是这矛盾双方的对立统一。

事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。

潜无穷作为矛盾体的一面，是对有穷的直接否定，而实无穷作为矛盾体的另一面则是对潜无穷的否定，是否定之否定。

诚如徐利亚教授提出的无穷双相性理论：实无穷、潜无穷只是一枚硬币的两面罢了。

――这倒并非是哲学的玄奥思辩，而是辩证法为我们上的生动一课。

现代数学的主流是以经典数学为基础的，经典数学以ZFC公理集合论系统为基础，承认无穷集合的存在，故经典数学接受实无穷观，同时也不排斥无穷作为一个过程存在，可以认为经典数学中的无穷观是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观。

大学数学学习的是经典数学，故而大学数学中的无穷观应是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观。

所谓实无穷与潜无穷，从字面上来理解，就是在讨论无穷到底是不是存在的。

支持实无穷派的主要观点主要有以下两个：首先，物质不是无限可分的，存在着最小的单位；第二，无穷大是可以构造出来的。例如：他们认为“全体自然数”是存在的，因为每个自然数都是可以数到的，既然每个自然数都存在，那么“全体自然数”当然是存在的。

而潜无穷派则与之相反，他们认为：首先，物质是无限可分的；第二，无穷大是无法构造出来的。

与实无穷派相对应，他们认为：“全体自然数”是不存在的，因为自然数是数不完的，这表明自然数的产生是个无穷无尽的过程，只有这个过程结束了，才能得到自然数全体，但这个过程无法结束，因而无法得到自然数的全体。

无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数。

例如，f(x)=1/x，是当x→0时的无穷大，记作lim(1/x)=∞(x→0)。

精确的定义如下： 设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。

如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0＜|x-x0|＜δ(或|x|＞X)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|＞M,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)≠0时，1/f(x)才为无穷大。

无穷大记作∞，不可与很大的数混为一谈。

分类

无穷大分为正无穷大、负无穷大和无穷大（可正可负），分别记作+∞、-∞以及∞ ，非常广泛的应用于数学当中。

x -＞+∞ 是指 x 值一直增大，直到比任何给定的正数都大；

x -＞ -∞ 是相反方向，比任意负数都小；

x -＞ ∞ 就是 |x| -＞ +∞ 。

在数学中，有两个偶尔会用到的无限符号的等式，即：∞=∞+1，∞=∞×1。

某一正数值表示无限大的一种公式，没有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值。

符号为+∞，同理负无穷的符号是-∞。

扩展资料

无穷大的由来：

古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle,公元前384-322）认为，无穷大可能是存在的，因为一个有限量是无限可分的是不能达到极点的，但是无限是世界上公认不能达到的。

12世纪，印度出现了一位伟大的数学家布哈斯克拉（Bhaskara），他的概念比较接近现代理论化的概念。

将8水平置放成"∞"来表示"无穷大"符号是在英国人沃利斯（John Wallis）的论文《算术的无穷大》（1655年出版）一书中首次提出的。

莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。

但是这是一个不真实的传闻，因为“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。

“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.

为什么一个数除以零等于无穷大

0是不可以做分母的，你说的0是一个趋于0但是不等于0的数吧，如果说不知道为什么结果是无穷大，你可以用这样的一个定理，“无穷小的倒数是无穷大”，“无穷大的倒数是无穷小”。

定义：趋于0的函数是无穷小函数。故一个数除以零，等于这个数乘以一个无穷大量还是无穷大。

无穷大量除以一个常数等于无穷大，但是常数除以无穷大等于0。

这就好像你用杯子去衡量全世界的海水，和用脸盆去量一样，都是多的数不清，也可以说是用厘米和毫米去衡量宇宙的大小，也是多的数不清。

所以无穷大量除以一个常数等于无穷大。

1除以0等于多少

1.数学上不允许分子不是0而分母是0的情况出现（其实如果分母直接等于0，不论分子是什么我们认为都不行）；

2.问题拓展一下，我们从极限的角度去考虑，则有lim(x→0)1/x=∞。

也就是说，当分子固定为1，分母趋向于0的时候，分式的值趋向于∞，这个结论对于分子等于任何非零常实数都成立。

1/0确实等于+∞，实际上，我是这么想的，我们知道0不能做除数，但是，我可以把0看成是一个非常非常小的数，但不代表它为0，我我们知道1除1/2=2，1除1/3=3，1除1/10=10，1除1/100=100，1除1/10000=10000，你会发现除数越小，得到的商越大 ，当除数飞常非常小的时候，我们就可以大致认为它等于0，但那只是无限接近于0，等于0时，除数无限小，商则无限放大，于是便有1/0=+∞，推广一下，借助于1/0=+∞的特殊情况，我们还可以利用它来推导出来很多有意思的结果，比如0/0=1/0除以1/0=+∞/+∞=1，所以0/0=1，ln（0）=ln（1/+∞）=ln（+∞^-1）=-ln（+∞）=-∞，所以ln0=-∞，0实际上是有对数的，只是没用1/0=+∞这个等式，这是我借助1/0=+∞一些推导式子。

在高等数学里，1除以0等于无穷大。无穷大用符号表示∞。

因为1里面有无数个0，所以1除以0等于无穷大。

除数不能为0。

如果用极限表示，分子是常数，分母逼近0，结果就是无穷大。

1=0.999……

芝诺悖论、可达与不可达极限、无穷（无穷大、无穷小、实无穷）

摘要：通过对芝诺悖论及其相关问题的分析研究，对无穷问题进行了比较充分的讨论。应该能够澄清一些疑难问题。

关键词：芝诺悖论；无穷大；无穷小，实无穷；潜无穷；微积分；极限；实数；标准分析；非标准分析

1、有关芝诺悖论（佯谬）及实无穷、潜无穷的讨论

芝诺悖论提出两千年了，其似是而非的推理过程和结论，要正确解读并不太容易。

芝诺当然知道这些所谓“悖论”并不真的存在，但关键是如何破解，给出令人信服的解释。

这里笔者着重讨论其与极限法微积分（第二代微积分）的关联性问题，它涉及极限（包括可达极限与不可达极限）、无穷（包括潜无穷与实无穷）等问题，由此还可以看成极限法微积分的问题。

芝诺悖论主要包括以下几个悖论（直接引自文献）：

两分法悖论：芝诺:"一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……"如此循环下去，永远不能到终点。

假设此人速度不变，走一段的时间每次除以2，时间为实际需要时间的1/2+1/4+1/8+......，则时间限制在实际需要时间以内，即此人与目的地距离可以为任意小，却到不了。

实际上是这个悖论本身限定了时间，当然到达不了。

《庄子·天下篇》中也提到:"一尺之棰，日取其半，万世不竭。"

芝诺与庄子悖论的区别为芝诺悖论一定时间内行走的距离不变(即速度不变)，而庄子时间不变，这段时间里的工作却越来越少(速度越来越慢)，可以看出芝诺限制了时间，而庄子的理论可以使时间为无穷大。

阿喀琉斯追乌龟悖论：阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。

在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。

因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了;阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。

就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟!

其实这归根到底是一个时间的问题。

譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s，乌龟在前面100m。

实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。

按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。

但其实根本不是如此。

这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。

但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗?

显然不是。

尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。

但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。

所以说，芝诺的悖论是不存在的。

飞矢不动悖论：设想一支飞行的箭。

在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。

由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。

鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。

上述结论也适用于时刻有持续时间的情况。

对于这种情况，时刻将是时间的最小单元。

假设箭在这样一个时刻中运动了，那么它将在这个时刻的开始和结束位于空间的不同位置。

这说明时刻具有一个起点和一个终点，从而至少包含两部分。

但这明显与时刻是时间是的最小单元这一前提相矛盾。

因此，即使时刻有持续时间，飞行的箭也不可能在运动。

总之，飞矢不动。

由于在物理上静止参照系可以随意选定，因此可以看出，如果我们选定阿克琉斯追龟悖论的静止参照系就是乌龟的运动参照系，那么该悖论与二分法（取半）悖论是等价的。

因此两分法悖论实际的做法就是每次取整体的1/2，1/4，1/8，1/16，.......，它等价于一个无穷级数：1/2+1/4+1/8+1/16............。

我们看到，每次取到一项时，与终点的距离就相差该项的数值这么多。

比如，取1/2时，与终点的距离还差1/2，取1/4时，与终点的距离还差1/4，取1/8时，与终点的距离还差1/8，........等等以致无穷。

显然，这就是中国古代庄子的说法“日取其半，万世不竭”。

如果我们把这个在操作层面不可能完成的无穷（∞）作为一个整体看待（实无穷），不甚严格意义上就是假设它可以完成、就算它可以完成，比如假设（就算）最终我们可以取到1/∞，那么它与终点的距离就也还是要差1/∞，也就是无穷小（ε=1/∞）的距离，等价于看成是只能到达1－ε的那一点（这实际上可以看成是只要有无穷或无穷大概念存在，即我们承认有或实际使用了无穷或无穷大这个概念，同时也就摆脱不了无穷小概念。

上面的论证可以看成是对这一观点的一个有力证明。“标准分析”接受无穷、无穷大概念，而排斥、否定无穷小概念，希图以不可达极限代之，既做不到，同时也是错的。所谓“不可达极限”，由上面的论证可以看出，就是与终点“最终”也要相差无穷小的极限。换言之，必须明确指出，以0为“不可达极限”等价于“无穷小”。

前文的讨论中，笔者论证了极限法的所谓“第二代微积分”即“标准分析”在0点是没有有意义的极限的，或者说其极限也有，但等于0/0。

而现在看出，因为其即使在0点有极限也是没有有意义的函数值的不可达极限，因此通常认为已经被摆脱了的、会产生贝克莱悖论的无穷小仍旧隐蔽存在。

而这就是所谓的“总也到不了终点”，但可以无限地接近终点，也就是“不可达极限”。

这个“不可达”不仅仅是指的无穷步本身的不可操作性（通常的“潜无穷”观点，即“无穷”本身就具有的不可达性），而且即使我们把这里的“无穷”看成一个整体（实无穷意义上），也不可达。

无论在时间上还是距离意义上都是如此。

如果我们以到达终点为目标，那么这就是一个按这种办法可以无限接近（即非终点的任何点都可以被达到或越过），但不可能到达作为目标的那一点。

哪怕换一种说法，就是与目标点最终还是要差无穷小的距离。

但显然，由于时间的不停歇性，终点当然可以在有限时间中达到。

这也是这个问题之所以形成表观的悖论的原因。

有人质疑无穷小这一概念是否真的存在（无穷大很多更多的人是承认的），或者很难把握它。

实际上，它不过是一个与无穷大相对应的互为倒数的概念（见前面的论证）。

总之，无穷大有了或被承认了，取倒数也可以，就有作为无穷大的倒数的无穷小。

显然，这里有必要对数学中经常出现的无穷（无限）乃至实无穷、潜无穷等概念进行更为严格、细致的分析与定义。

实际上笔者发现，人们（包括笔者自己）对这个概念的使用是非常随意的，而且并不在意它的严格性。

但实际上，这将使建立其上或离不开这些概念的理论陷入矛盾。

无限（无穷），即无限大，无限多。

通常用∞表示。

实际可看成1·∞。

即没有限制，没有有限，没有穷尽。

无限（无穷）个有限（这里以“1”表示），为无限。

无限的定义，实际是同义反复，自定义。

因为它是基本概念，如几何中的点、线、面之类。

无限小，即对有限（这里同样以“1”表示。

但实际可以表示成“有限的”任何数，如2、3、....等等）进行无限多的划分。

有ε=1/∞。

从而有限1又可以1=∞·ε。

即无限多个无限小的累加，可以构成有限。

因为无限小就是对有限进行无限多划分而得到的。

任何一个概念，只要提到、提出，就要定义、要限定，也就只能作为一个整体去把握。

作为整体提到、把握的“无穷”概念，就是所谓的“实无穷”。

也就是我们只要一提“无穷”，一说“无穷”，它作为一个完整的概念，就是无意中在使用实无穷的这个概念了。

但无限的本意，又是不可穷尽，没有限制，没有有限的，也就是不能作为一个完成了的个整体去对待的意思。

这本质上是人们所谓的“潜无穷”概念。

从而无穷（一提出来就是实无穷）也就是把不能穷尽，看成一种穷尽，对不能限制进行一种限制，对不能完成的整体看成一个整体。换言之，无穷或实无穷，就是“实的潜无穷”。

而潜无穷，三个字里有“无穷”两字，也就是用到了无穷（实无穷）概念，于是其实就是“潜的实无穷”。

这里这个“潜”字其实语焉不详，其本意应该是“无法完成”、“无法穷尽”（就是“没有穷尽”），这不就是无穷这个概念吗？

而一旦形成概念，又只能作为整体看待，就是实无穷。

可见，实无穷、潜无穷根本就是不可分的。

既然如此，其实就只有一个“无穷”概念就足够了。

根本就不存在不需要实无穷概念的潜无穷，也同样不存在不需要潜无穷概念的实无穷。

讲的更明白些，也就是根本就不存在不需要可整体看待（这个意义上，当然可以“穷尽”）的无穷概念的不能穷尽的无穷，也同样不存在不需要不能穷尽的无穷概念的所谓整体（某种意义已经可穷尽）无穷概念。

总之，实际并没有什么可以相互完全独立的实无穷、潜无穷概念，进而实无穷观、潜无穷观。

而以往很多人把实无穷、潜无穷完全对立、非此才彼认识的根源，其实是没有搞清无穷概念的真谛。

任何建立在单纯实无穷或潜无穷观念上的理论，都会在什么地方陷入困境而不能自拔。

因为这两个概念从定义上开始就是互相依赖的（见前面的论述），是一枚硬币的两面。只有一面的，还是硬币吗？

以往有作者想当然地以为，可达极限就是实无穷的，不可达极限就是潜无穷的。

经过前面的分析可知，实际上并不是这样。

这是两类不同的概念。

事实上，无论无穷大还是无穷小，都是不可达的。

如果看成极限，就是不可达极限。

以及进一步把这个不可达极限就看成无穷大或无穷小，因为极限虽“不可达”，但因为有了极限这个概念，无论其可达不可达，它都已经就是一个完整的“整体”概念了，因此这个意义上，它已经就是实无穷概念了。

总之，“可以看成一个整体（可以作为一个整体来对待）”，与“在现实中可以完成、到达”是两个完全不同、但很容易混淆的概念。

单纯的无穷，无论是无穷大还是无穷小，按无穷的本意都是在现实中完成不了的，否则就不是无穷了。

但唯有一种“无穷”，是有可能被现实完成、到达的，这就是“无穷多个无穷小”，或“无穷大乘以无穷小”。

因为按前述无穷小的定义，我们有无穷小ε=1/∞，也就是ε·∞=1,也就是ε+ε+ε+ε+.........（无穷多个无穷小相加）=1。

注意，这里的这个“1”代表有限值，它也可以是任何非1的有限值。

我们也可以认为，而且实际就是，此时“完成”、“达到”的就是一个有限值，如一秒钟（任意有限时段）、走过一段距离、一把尺子的长度等等，都是有限的。

真正的无穷，实际是指无穷多个有限量，而不是无穷多个无限小量，后者实际是、起码可以是有限量。

因为无穷小按其定义就是由有限量无穷多次分割而成的。

无穷大，就是大了还可以更大，没有最大；与之对应的无穷小，就是小了还可以更小，没有最小。

也就是，本质上无穷小不能作为一个“最小单元”的实体看待的。

当我们写出ε=1/∞时，首先要知道这些符号代表什么。

不是有个大小为ε的最小单元的意思。

由于无穷小是由不可能实际实现的“没有最多”次分割而得到的，因此同理这个没有最小的无穷小也不可能实际实现。

能实际实现的再小其实只能是“无穷多个无穷小”，不可能是“单独”的或有限多的无穷小。

这与直观不同：直观上，既然1秒，1公里可以达到，那么“组成”它们的无穷小秒、无穷小公里似乎也可以达到。

其实不然。

因为无穷小不是最小单元的意思，而是没有最小单元的意思。

既然实际中没有，如何实现？而不能实现多（无穷多）个不能实现小（无穷小）却可以实现（有限）。

因为前面已经说到，正是对有限进行不能实现多（无穷多）此分割才得到的不能实现小（无穷小）的。

当然，在不至引起误解和论述、书写方便的目的下，我们不妨仿照有限量的情况，就把无穷大、无穷小形象化地定义成最大量（所有有限量都比它小）、最小量（所有有限量都比它大）。

尽管在现实世界中它们虽然在概念上存在，但却“无量”，也就是不可度量。

是“无量之量”。

无穷的存在，是另一种存在，不同于有限量的存在。这是必须明确的。

庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，时间上是无穷大，而如果把这个“取”看成运动向终点的运动，则这个运动速度是趋向无穷小的。

每日所取到的距离，以及离终点的距离，也都是趋于无穷小的。

但永远不会是0（到达终点）。

因此时速度只能也是0，这不可能。

也就是说，按笔者前文对极限的ε-δ定义（描述、方法）分析，其以0为“不可达极限”（没有函数值“0”，但可以无限接近0），以无穷小ε=1/∞为函数值，同时也就以无穷小ε为“可达极限”。

而无穷小ε的真正定义，就是“可以无限制地小下去”、“没有最小，只有更小”的意思，也就是本质上是现实不可达的。

这不是与把无穷小看成可达极限的说法矛盾吗？的确如此，这里必须仔细分辨、定义概念之间的微妙差别。

前文已经充分讨论了，当我们将无穷小（乃至无穷大）当成一个概念整体去使用、提到、讲述时，实际对无穷小取了实无穷的一面，此时的所谓“可达”，就是“可当作整体看待”，“可达无穷小”，就是“可以达到‘可以无限地小下去’”或“可以达到‘没有最小，只有更小’”这一点而已。

也就是“可以对无穷小取整体的、实无穷的看法”的意思，而不是真的去实践这个永远也不可达到的无穷过程。

这个过程（无穷过程）是“不可达”的。

可达的，仅仅是“整体看待”。

也就是说，实际上前文已经得到结论了：说以无穷小为可达极限，或取无穷小值，就是等价于说以0为不可达极限（0不是函数值）。

二者实际是一回事。

后者说的是“不可到达整体”、“不可完成整体”，前者说“就把这个“不可到达的整体”看成一个整体或以整体对待好了，理由是“不可到达、不可完成整体”中已经有了“整体”一词也就是这个概念已经作为一个“整体”被提出了，因此必须定义，而定义必须涉及概念的整体。

也就是说，所谓“没有整体”（现实中），但其中“整体”已经作为概念整体在“没有整体”中出现了，而“出现”了就是“有”了。

有了就要定义，定义有又是对概念进行的。

而概念只能作为整体被提出。

既然“没有整体”中已经涉及了“整体”（作为概念“整体”出现），那“没有整体”本身作为完整的概念也可以看成一个“整体”。

这个原则对无穷大与无穷小都适用。

但必须搞清其本意。

否则就容易引起混乱和矛盾。

涉及无穷的问题之所以困难，就是这些概念之间的微妙关系没有彻底理清。

总之，在彻底理清以上概念而不产生歧义的基础上，为了简化描述、方便运算，不妨可以就将无穷小甚至无穷大就拟化成有限量来使用或投入运算。

也就是“就当成一个有限量一样地”来使用。由此也才有的把无穷小视为可达值，或可达极限为无穷小的种种说法。

而在现实世界中，真正可达的，只有有限量。

另一个问题，无限，就是没有限制，即没有极限。

可是经常有这种说法，“以无穷大为极限”、“趋于无穷”（→∞）等等。

这等于是“以无限为极限”、“以无极限为极限”，起码在字面上是矛盾的。

如果我们将上面的“极限”理解成包括可达极限和不可达极限，“以无极限为极限”当然是矛盾的。

这类似于我们日常的修饰语。

比如“虽死犹生”之类。

严格讲，死了，怎么还能生呢？但如果我们把“无极限”理解成“没有可达极限”，则“以无极限为极限”可以理解成“没有可达极限但有不可达极限”，这等于是说“没有可以到达的极限”，但却可以有“永远不能到达的极限”。

“日取其半”，等价于时域中的具体操作，这当然是一个潜无穷过程。

因为永远操作不完的。

但这并不妨碍我们把所有这样的操作看成一个整体。

注意，是看成，而不是事实已经形成了整体，也就是不是可以“操作完了”。

这是两个概念。

很多人没有搞清二者的区别。

事实上，只要人们一经使用“无穷”这个词，这个概念，它就是一个完整的概念了，也就是一个“实实在在”的概念，具体说就是“实实在在的无穷概念”已经存在了，存在，当然只能以整体形式，这不就是“实无穷”概念吗？那么潜无穷是怎么回事呢？实际也不与实无穷冲突。

潜无穷就是在现实中完成不了的无穷，也就是永远完成不了。

前面那个“永远”，就是一个整体概念，也就是实无穷概念。

因为这个“永远完成不了”，指的是“它完成不了这个整体”、“整体上完成不了”。

如果这个“永远”竟然是潜无穷意义的非整体概念，那么，完成不了的就不是一个整体，而是“部分”，那岂不是还有可能在操作意义上完成的整体无穷了吗？这当然不对。

因此，实无穷与潜无穷概念，是纠缠在一起的，谁也离不开谁。

无穷问题最本质的，或者说最根本的、最本源的，还是无穷大（或无穷多）问题。

而且可以有现实的直观对应实体，那就是整个宇宙。

实无穷大，不是可不可以取到、拿到、到达这个无穷的问题，而是能不能将其将其当成一个整体对待，或其究竟是不是构成了一个整体的问题。

比如整个宇宙，既然有“整个”一词作为前缀，就说明其是一个整体，也就自然可以当成一个整体来对待。

宇宙是现实存在的，而且是作为一个整体存在的。

“宇宙”这个词，这个概念，就代表的是这个意思。

任何一个词，都表达的是一类、一个完整的事物，哪怕它是其它事物的一部分。

所以我们说，作为实无穷的一个整体，宇宙——当然是无穷大（空间意义）、无穷多（其元素意义）的整体。

至于任何人是否能够真的穷尽、数完、遍历这个整体的无穷，是另一回事。

当然，毋庸讳言，这是根本不可能的。

无穷小的问题，就不如无穷大这么直观了，它在自然界没有明显的直观对应事物。

说整个宇宙是无穷大的、无穷多的，这很好理解。但说“整个无穷小”，是什么呢？有可以什么对应的现实中的事物呢？回答只能还是无穷小。

因此，我们只有在把无穷小理解成、对应成无穷大的倒数，才可以建立起对这个概念的直观对应事物。

于是显然，对于相应的实无穷小和潜无穷小概念，则对应于实无穷大与潜无穷大概念。

但问题来了：说无论实无穷小还是潜无穷小，作为无穷大的对应概念、倒数概念，当然就如无穷大一样，是一个到达不了的、取不到的、完成不了的事物，那么既然如此，又是如何能取到、实现、到达、越过一般认为是无穷多个无穷小构成的有限时段的？不到达、经过、越过那些一个个的具体的、单个的无穷小的时段，能到达、越过有限时段吗？也就是能越过那些无穷多的无穷小时段吗？而有限时段的到达、越过，不正是时间的固有属性吗？我们说，任何现实的“时段”，无论多小，都可以无限再分（也即任何时段均是无穷多个无穷小组成），于是，有无“无穷小时段”？即不可再分的时段？无。因为不符合时段的定义。

而“经过”、“到达”、“越过”的只有无论多小也是有限的“时段”，所以越过、经过、到达的不可能是单一的无穷小时段。就如用手划过一尺，不可能一个点一个点地划过，而是一划就是无穷多个点。

因为再小的长度（距离），都有无穷多个点，或无穷多个无穷小距离、长度。

不可能有一划，只划过单独的一个点或单独的所谓无穷小长度。

无穷小如果可以一个一个地单独地划过、经过、到达，则与无穷小的定义和点的稠密性要求冲突。

因为定义是任何一个有限“段”（时段、长段），都可以无限再分。

也就是必然有无限多个无限小。

所以不可能一个一个地单独过这些个无穷小。

只能一次就过无穷多个无穷小（无论多小的时候）。

总之，世上一过就是无穷多个的事物有没有？有，就是无穷小。

无它。

因为时间的“过”、“到达”。

再小也指有限的一段“时段”。

而任何“时段”都可以再分，也就是无限地分下去。

因此当然不可能单独地“过”、“到”一个无穷小的时段，这等价于是不可能单独地、一个一个地“过”、“到”一个可以无限地再分下去的最小时段。

这当然是自相矛盾的。

因此，现实中只能是一次“批量地”、一次“无穷多地”去“到”、“过”它们。以下可以给出一个简洁的“证明”：

∞作为无穷大是到不了、取不到的。

1×∞=∞，也到不了。

这可以看做是无穷多个有限，这里有限以1代之。

而由上面式子可得1=∞/∞=∞×ε（ε为无穷小），可以取到。

但1/∞=ε,不可单独取到。

因为∞作为无穷大是到不了、取不到的。证明：如果ε=1/∞却可以单独取到，则因为∞×ε=∞×1/∞=1本来即可取到，于是∞必可达。

这与原先的∞不可达矛盾。

得证。

也就是说，如果可以单独地一个一个地过无穷小ε，则由无穷小的定义，“小了还可以更小”，在原先已经“过”了的所谓无穷小必非无穷小，而是一个有限小。

即还是无穷多个无穷小。

否则必与无穷小的定义冲突矛盾。

实无穷小的不可现实取到、到达的事实，并不排斥其不能被作为一个整体看待。

作为概念，它已经是一个整体了。

何况它还是无穷大的倒数。

无穷大可以作为整体，其倒数当然也可以。

回到正题。

庄子的“日取其半，万世不竭”，要求时间上→∞，速度上→1/∞。

这可以看成是整体意义的实无穷小。

也可以视为是不可达极限。

上面的速度，也可以认为是→0的。

但这是潜无穷意义的不可达极限。

即不能把0看做是一个整体无穷小。

0就是0，就是什么也没有。

一个无穷小的过程，可以以其为不可达极限，但它不是无穷小。

而1/∞，是实无穷意义的不可达极限。

它可以看成一个整体。

当然也可以看成是一个潜无穷的过程。

这是一个定义问题。

但0作为极限，只能是潜无穷意义的。这就是区别。

2、有关实无穷、潜无穷确切定义的问题讨论

总之，这里可以讨论一下实无穷和潜无穷的定义问题。

实无穷，是把无穷这个概念作为一个整体看待时的无穷。

而潜无穷，是将这个无穷的元素试图用与时间相对应的具体操作来穷尽、遍历时的无穷过程。

可见，它绝对与时域关联，而时域作为一个不曾、永不完结的客观现实过程，是潜无穷的。

同时也是一切由其派生的、与其有关的潜无穷的本源。

时间，作为概念，当然也可以看做是实无穷的。

但它的元素是不断增长的，有些还没有出现的。

比如现在是2021年1月，3021年2月就还没有在现实中出现，以待将来出现。

但作为一个概念，它显然已经出现了、存在了。

否则我们这里怎么可以提到它？又如“整个宇宙的全部时间整体”，作为概念，它已经存在了，是实无穷的。

但作为客观上已经存在的实在事物，只能是以前和现在的时间才是，未来的时间，只能有待于未来才能具体实现。

因此，这个意义上，它是潜无穷的，永不完结的。

因此，潜无穷这个词，是个约定俗成的概念，是不准确的。

真正的比较准确的潜无穷概念或定义，应该是“时域中以往、现在只决定、实现这个无穷中的有限元素或部分无限元素，而未来才能决定、产生其余无穷个元素的具体过程所体现出的不可完结的无穷”。

或“未来决定、产生它的其余无穷个元素的、不可能完结的无穷过程，而现在与过去只有或存在、实现了其有限个元素或部分无限个元素的无穷”。

简称“仅由未来因素决定的不可完结的无穷”。

当然，这个这个潜无穷定义也不是天衣无缝的。

因为句子虽长，也是一个完整的概念，因此它仍旧可以被看成是实无穷事物。

事实上，我们可以这样看，一个其元素不断增加的集合，作为一个整体概念，当然可以被看成一个实无穷的集合。

也就是如果把现时尚未出现在集合中的那些元素也算进来，也就是把“尚未出现的元素”本身也看成是该集合的元素，是该集合所有元素中的一部分元素，只不过区别于现时已经存在的元素而已，那么，也可以把这个集合可以看成一个实无穷的集合。

但是，如果该集合我们只算现时已经存在了的元素，而未来新产生的元素是逐步添加进这个集合的，也就是元素是逐渐增加的，而且永无止境，那么，这就是一个潜无穷的集合，其添加元素的过程是无止境的。

当然，该过程与时间有关，而且是决定因素。

因此，潜无穷实际是：只能随时间无止境地增加或添加其元素的集合为潜无穷集合。

如果把现时尚未添加、增加上的那些元素也预先算成这个集合的元素，则是实无穷集合或概念。

这是一个概念集合，而不是实体集合。

按概括原则，概念也是一个性质，它自然也构成集合。

简单些的定义，是潜无穷集合为“随时间元素不断增加的集合”。

它与时域密切关联。

换一个角度，就是像时间一样，永不在现实中被完结、到达的无穷。

所谓“日取其半，万世不竭”，这个“不竭”，就是如此。

其真实过程实现起来，是潜无穷的。

还有，尽管自然数在被我们看成一个整体时是实无穷的，但如果我们去实际地逐个“数”它们，这个“数”的操作过程是潜无穷的。

总之，所谓潜无穷，其实是时间未完它不完的所有过程、元素、操作等等。

自然，时间本身也是。

因此应该把“潜无穷”这个词不达意的名头，改成“与时俱增无穷”更确切。

它没有完结，也永不完结。

如此，应该更能反映其本质。

而相应地，实无穷则是“整体无穷”、“完整无穷”，作为集合，其元素已然在某时刻齐备了。

这个意义上，也就是其元素不再增加的意义上，其与时域无关。

比如一把尺子上的所有点，宇宙中在某时刻的所有事物等等。

而宇宙没有完结，也不会完结，其有些事物（元素）尚未产生。

这个意义上，是潜无穷的。

也就是与时俱增无穷。

但是，这个无穷本身作为概念，也可以看成是实无穷的。

也就是把未来全部包括进去，把尚未产生的事物、元素作为概念而不是现实存在事物也包括进去，这个意义上，它也是可以看成实无穷的，也就是整体无穷。

它只能作为概念集合存在，而不能作为实体集合存在。

但概念集合，不是也是集合？能说其不存在吗？实体不存在，概念已经存在。

如此而已。

此外，有一个问题：自然数是我们“数”到它，它才存在，还是它们原本存在，我们不过是在“数”它？应该是后者。

因为自然数的产生原则已经有了，这个原则存在，其元素也应该视为存在，作为一个完整的概念，这是实无穷意义的存在。

人不过是按这个原则去具体产生、操作、确认它们。

当然，这个操作只能是潜无穷的，与时间有关的。

至此，以往颇具争议的实无穷 （整体无穷）与潜无穷（与时俱增无穷）概念，应该彻底澄清了。

3、芝诺悖论与极限和微积分的关系问题

对应于庄子的“日取其半，万世不竭”，芝诺的“两分法（取半）悖论”是速度恒等，距离趋于无穷小，时间也趋于无穷小。

前者的速度最终可看作µ（速度）=ε（最终接近终点的距离）/∞（时间）=ε2，其中ε为无穷小。

ε2自然也是无穷小，二者并没有本质性的区别，只不过这里的平方表示其趋于无穷小的速度与接近终点的距离除以时间后无穷小的速度比起来更快而已(如果把无穷小看成是“没有更小”的“最小”，所谓“高阶无穷小”就很难理解，甚至有矛盾。

比“已经是”最小的无穷小更小，还要小，这当然是矛盾。

等于说最小不是最小。

而如果把无穷小坚定看成是“没有最小，只有更小”那在某函数关系也就是对应方式下，不但作为无穷小量A本身是“没有最小，还有更小”的，量B也可能如此，而且还有可能形象地说在趋于0的不可达极限或等价地趋于无穷小的可达极限的进程上，“跑在了”量A的前面，也就是“速度”比量A快。

也就是，它们都是无穷小，没有谁比谁更小之分，有的只是谁趋于无穷小的速度，这当然是很自然的。

两个量之间既然可以有函数、对应关系，也就是有因变量、自变量之分，那这两个量在共同趋于某位置时的速度当然可以不同，比如函数A=B/5，A=0时B也等于0，但在二者还未等于0时，它们趋于0的速度是不同的，当然A慢B快。

如果二者都以0为可达极限，也就是函数在0点不但有极限值0，也有函数值0，则这个快、慢没有什么意义。

因为它们都是趋于同一个点。

如果它们是以0点为不可达极限，也就是在0点没有函数值（定义域不包括该点、该点无定义），则该点只有极限值。

此时趋于0的快慢就有意义了。

如果我们以B为基准，把其不断接近0点的“没有最小，只有更小”看成一个整体，则可取无穷小ε，也就是不致引起误解的前提下，我们就说“到达”了无穷小ε，而此时同步地A则“到达”了5ε。

反之如果以A为基准，则当A“到达”ε时，B则到达ε/5。

这里似乎是还有更小的无穷小，但实际上严格按定义，不过是说B趋于0的速度更快罢了。

当然，严格而言这里的“同步趋近”是必要条件，而且是“同步制位”而且还要“不可更改”地趋近。

这是笔者提出的新概念，在研究无穷问题时没有不行。

这里的“制”，为进位制；这里的“位”，为相同进位制下的位数；“不可更改”，是一旦在某位写上了一个数字，就不能改写其它数字了。

这是完备多叉树的每枝所要求的。

而树中的每一枝表示一个实数。

这个问题，下文在讨论1与0.9999....的关系时要详细讨论及解释）。

如果距离是已经取到的距离，最终速度则是µ（速度）=（1-ε）（最终取到的距离）/∞（时间）=ε。

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