实无穷体系（上）

注意：划分（2/2）篇章

后者(不不失一般性，就假设距离与时间等值，即有∆x/∆x）的速度是恒量µ，最终有µ=ε/ε=∆x/∆x=1/1，∆x≠0。

也就是无论距离还是时间（时段），都是同步地趋于无穷小ε的。

这可看作是可达极限（在前文意义下），也就是函数值ε是“可达的”。

而在“不可达”意义上，其极限即是0，也就是函数取不到0值。

也就是所谓可达到无穷小，趋于无穷小，其实就是以0为极限（趋于0）而不可达到0。

并没有一个现实的无穷小单元，既如此，当然也就不可能在现实中被“达到”。

说达到，说整体无穷小，实无穷小，只是前文所定义的意义上的简化说法。

因此，无论距离还是时间，都不可能到达无穷小的单元，因为没有。

总可以再小的东西如何到达？到达只能对有限距离、时间而言才成立。

而有限如果与无限有什么联系的话，就是无限多个无穷小可以构成有限。

因此无穷小不可达到，无穷大不可达到，而无穷多个无穷小却可以达到。

也就是，无穷小只有在一种情况下可以到达，那就是把它们看成是一个整体，而且是无穷多的整体时才行（因为此时才可以得到、构成“有限”，而只有有限才是现实可以达到的），这在前文中已经充分讨论过了。

庄子的“日取其半，永世不竭”，“永远”到不了终点的原因，是这个“永世”也就是无穷大的时间实际上到达不了。

类似，芝诺两分法悖论的到不了终点和阿克琉斯的追不上乌龟，本质是无论距离无穷小还是与距离无穷小对应（因速度恒定）的时间无穷小也是实际上到达不了的。

能实际取到、达到的，一出手再小也已经是无穷多个无穷小了。

原因是把有限进行实际完成不了的无限次划分，就得到无限个实际并不能真的得到的无穷小。

既然它们就是这么定义、得来的，自然也就是是实际上得不到的。

而这两个悖论实际是等价于对尺子或时段进行在现实中无法进行下去无穷次划分，而又要现实地得到、到达其中对应的与无穷大一样现实到达不了的无穷小，这当然不可能实现。

于是，这两个所谓悖论的本质，就是作为有限的距离和时段，它们都是现实可达的，但如果对这个有限进行无限的划分，因为这个无限无法实际达到，因此划分出的任何一份（无穷小的）也是无法达到的。

直观上，我们说有限距离、时段都是可以到达、完成的，但又说比有限小的无穷小距离、时段却不可到达，似乎不可信，总觉得有些什么问题。

我们说，“组成”有限的无限小，有限可达，无限小理应也可达，而且更可达，但单独一个不行，只有无限个无穷小才行。

因为现实中再小的可到达的距离、时段，也总可以并已经包含无穷多个无穷小了。

这是无穷、无穷多、无穷小的定义所决定的。

所以我们在现实世界中是找不出来也达不到一个无穷小时段、距离的。

因为无穷小的定义就是“没有最小，只有更小”，也就是任何距离、时段，再小也可以“没有最小，只有更小”，换言之任何现实中的、可以取到、达到的距离、时段，再小，也会包含更小的距离、时段，以致有无穷多个无穷小。

因此，任何再小的现实可达距离、时段，也是这些所有可以包含无穷多个无穷小的距离、时段之一，因此我们不得不说，单独的无穷小距离、时段是在现实中“提取”、“分划”不出来的，在不至于引起误解的情况下，也可说是“达不到”的或“不可达”的。

即在任何情况下，无穷小只有在有无穷多个时，才可被视为是“现实可达”的。

而芝诺的两个悖论，正是要得到单独的无穷小。

显然是不可能的。

因此，有限可达，无限个无穷小可达，单个的或有限的无穷小不可达。

这就是本质。

非标准分析中的非标准实数概念，实际与笔者上述观点类似，只不过笔者不认为真的有什么现有实数之外的非标准实数或虚实数存在的必要。

它实际就是无穷小ε。

当然，前面也提到，在不至引起误解的前提下，我们可以将无穷小ε当作“算子”或类似最小单元的一个“数”来处理，以简化运算、表述，而不必每次都要很啰嗦地说其本意“没有最小，只有更小”。

但如果我们把这个所谓的“最小单元”当成在现实中可以真的实现、得到，就必然会产生不必要的误解及矛盾。

比如要涉及“无穷小中的无穷小”之类表面解释不了的问题。

也就是，“已经是最小了，怎么还有更小”的问题。

严格按无穷小的定义，即“没有最小，只有更小”，是可以解释的。

此处给出一个证明：

高阶无穷小的存在性证明：设有不可达极限，即函数不能取到极限点，但可以无限接近它。

极限法微积分（标准分析）就算退一步说，0点的极限存在（其实由前面分析可知，其实这个极限是不存在的）。

那当然也是不可达极限，因为增量比值函数在0点的值为无意义的0/0。

因此，极限法微积分（标准分析）与芝诺两分法与阿克琉斯追龟悖论在做法上实质等价，后者可以看成前者的形象化的现实模型。

既然是不可达极限，按前文对芝诺二分法悖论的分析，无论时段函数距离，到不了终点意味着“最终”与终点也会差无穷小的距离与时段。

既然作为瞬时速度的导数是由不可达极限过程得到的或就是这个不可达极限本身，而且∞在这个过程中不会到达无论时段还是距离的终点（只可无限接近），因此这个瞬时速度也就只能作为不可达极限存在，也就是实际上是取不到的，只能无限接近。

极限法微积分（标准分析）进而又定义这个不可达极限也就是实际取不到的极限为可以取到的函数值，这本身就是个矛盾。

况且有限的距离、时段都是现实可达的。

进而速度、瞬时速度也是现实可达或现实存在的。

这与把瞬时速度仅仅看成无法达到一个极限值（只能无限接近，不可到达）也是矛盾的。

而如果把无限小距离、时段看成可达的函数值或极限值，立刻就又会面临牛顿、莱布尼兹当年所同样面临的贝克莱悖论困境，也就是这个无穷小舍不舍弃？为何舍弃？不舍，就又只能是近似值而不是精确值了。

可见，只要我们还承认芝诺两分法悖论是现实错误的（任何有限距离总可以到达，任何有限时段总可以完成），与之等价但更其直观的极限法微积分（标准分析）也就是现实错误的。

因此，不是有些人的所谓极限法微积分解释了芝诺悖论，而是正相反，芝诺两分法悖论、阿克琉斯追龟悖论揭示了极限法微积分（标准分析）的在理论层面的不成立（应用层面当然成立，而且它声称所淘汰的牛顿、莱布尼兹方法的微积分在应用上早就“成立”了）。

总之，对比芝诺两分法悖论（以及阿克琉斯追龟悖论）与极限法微积分（所谓“第二代微积分”或“标准分析”）可以看出，芝诺两分法悖论当然实际就是一个“佯谬”，不是真正意义的逻辑悖论。

也就是现实中时间总到达和越过任何时间点（瞬时），阿克琉斯也不可能永远追不上乌龟。

但在芝诺的“理论分析”下，得到的是一个似是而非的永远到达不了和永远追不上的结论。

这当然是错的，问题是要明确找出其错误的根源。

而极限法微积分（就算存在一个不可达极限的前提下。

实际按笔者前面分析，这个极限根本不存在）与芝诺两分法悖论同构、等价，但更隐蔽而已。

它不像两分法悖论的荒谬性那么一目了然，谁都知道它是错的，不过对为什么会错，错在那里一时不好回答。

而极限法微积分反倒以这个在芝诺两分法与阿克琉斯追龟悖论明显错误的逻辑分析为出发点，以它得到的不可达极限（实际还不存在）为现实中根本就可以达到的运动距离、时间点的瞬时速度值，这意味着，我们必须先要“假装”我们永远在现实中到达不了某个距离点和时间点，但该点却有个极限（当然也只能是不可达极限），于是，就把这个不可达极限当作该时间点和距离点的“瞬时速度”值，也就是把一个不可也不会真的达到某点前提下得到的该点不可达极限，又重新安回到在现实世界中当然可以达到的该时间点和距离点上。

说就是它了，它就是在该时间点和距离点原本就有的、当然也就是现实可达的“瞬时速度”了。

这里面的分析逻辑与芝诺悖论如出一辙，同样不能成立，只不过更其隐蔽。

因为它表面上直接针对的是速度，而不是距离与时间，但速度当然要涉及距离与时间，这就与芝诺悖论本质上是一回事了。

也就是说，极限法微积分虽然隐蔽，但实际上是拿在芝诺悖论那里一目了然的错误分析来做理论基础的。

这还是在该点确实存在一个不可达极限的前提下的结论。

更不用说这个极限按笔者前文分析，还根本就不存在。

4、1=0.999999.........疑难引出的问题

对于1=0.9999999.......的问题，对比芝诺两分法悖论的分析，一目了然。

0.9999.....是数列0.9,0.99,0.999,.......或与之等价的级数9/10+9/100+9/1000+.....另一种表示法，此三者是等价的。

它们自然都以1为其极限，而且是“不可达极限”，这是显然的。

实际上，对应于芝诺的“两分法悖论”，它不过就是“十分之九分法”而已。

每次分后，都余下1/10,而不是一半。

因此，当位数可以当作无穷整体也就是实无穷看待时，仍要余下（10-9）/∞=1/∞=ε与1的距离。

1是它的不可达极限，也就是1与0.999999.......不相等。

差ε。

严格说1=0.9999.....+ε。

以往论者只注意到它可以无限地接近于1，没有注意到它与芝诺两分法悖论一样，与1总有误差，总也到不了1这一点。

只有可达极限，才会与该点函数值相等。

因为“可达”就是该点有函数值的意思。

而不可达，就是该点没有函数值，如此，怎么能认为不可达极限值就是函数值？更直白些，就是没有函数值的极限值，怎么能等于函数值？

顺便提一下，人们经常（包括笔者本文中）说“把无穷位看成一个整体时如何如何”，“把无穷项相加如何如何”，“有穷位不断延伸到无穷如何如何”，依据何在？实际上，只要任何人承认这个0.999999........是现实存在的一个数，这就毫无问题，因为它就是一个有限位延伸到无穷进而可以看成一个整体的现实例子。

而承认它的人比承认可以一般地把“有限不断延伸”看成整体的人多的多。

因此，对多数人而言，这就是一个“证明”，一个“理论依据”。

而0.99999.......的整体性又可由自然数的整体性来保障，因为其每位顺序对应于一个自然数，或称是以自然数为自变量的一个函数，二者是互为因果关系。

一个成立，另一个必也成立。

即有1→∞成立，就必有0.9999999.......成立。

当然1/∞=ε也必成立。

总之，无穷是客观的存在，无穷大与无穷小正如康托所言，必须进入数学理论系统。

一个没有无穷，或虽然在使用无穷（主要是无穷大），但缺乏基本描述的理论必定是不完备的。

极限论标准分析试图用不可达极限取代无穷小以回避贝克莱悖论的表观矛盾的做法，不可能真的成功（尽管大多数人声称成功了），更何况这个极限在求导时一如笔者所论，还根本就不存在。

对应1=0.99999.........的证明，有很多种，仔细分析它们实际都可以用1为0.9999....的不可达极限来解释。

也就是它们证明的，就是1为0.9999...的不可达极限。

而不能说证明了二者就相等。

因为同样的证明，无法区分1究竟就是0.9999.....还是仅仅是它的不可达极限。比如，下面的证明：

1、设x=0.999999.......，10x=9.999999......，10x-x=9x=9，于是x=1得证。

2、而如果设x=0.99999......+ε，10x=9.9999......+ε(无穷小乘以任何有限数还是无穷小），10x-x=9x=9,于是x=1。

也就是1≠0.99999......

得证。

可见，两个证明无法区分（其本意原本就是要能够区分的），因此证明无效。

第一个证明可以说是对1是0.9999.....的不可达极限的证明，而所谓“不可达极限”，在这里就是永远到不了“1”，也就是不等于1同义语；而第二个证明是对1=0.9999....+ε的证明。

由于ε≠0，必然有1=0.9999....+ε≠0.9999.....+0=0.9999.....。

注意，这里的无穷小ε严格地按其本意，并不是一个确定的数，而仅仅表示可以无限地趋于0而绝对（或永远）不等于0的一个过程，它并不能表示在数轴或任意一个线段上的固定点，也就是数轴上的任何一个固定点或固定位置，都无法用它明确表示出来。

即：数轴上并没有一个以ε准确标定的点。

以上数轴，可以定义成标准数轴或本源数轴。

其上的点定义成标准点或本源点。

在对以上概念十分明确后，为方便起见，我们可以定义非标准数轴或非本源数轴以及非标准点或非本源点也就是把无穷小ε看作是非标准数轴上的固定点（位置），以求运算上的方便而已。

我们实际上可以仿效力学中的“虚位移”、“虚功”概念，把这种点看成是数轴上的“虚点”。

这个词还比较贴切，不容易与“实点”混淆。

此外，如果1=0.99999.......，为什么我们从没有在任何一本教科书中看到凡是出现1的地方，统由0.99999.....代之？相反的情况倒是有的。

更何况正如某些网友指出的：1÷1=1，这个除法运算是显然的，它当然可以整除。

但如果1=0.99999.......，1÷1，为什么原本按除法规则在个位上明明可以甚至必须得到1的，却非要写个0，然后依次在小数点后得到那些除不尽的9？即1÷1，我们如何能在第一步不违反公认的除法规则的前提下，得到0.99999.......的？显然不行。

这种违反常规的“除法”是极其不自然甚至荒谬的。

实际上，只有0.99999.......÷1才真正可以自然地不违反除法规则地得到0.99999.......。

1÷1是得不到的。

另一方面，0.99999......÷9与1÷9表面看起来都等于0.111111.......，似乎没有区别。

但前者相除时没有借位，而后者每位都有借位，这就是区别，只不过没有在结果中体现出来罢了。

如果把这个运算过程中的区别考虑进去，二者是不一样的。

而作为通常被认为是最为严格的数学理论即运算，显然任何细微的差别都是应该纳入视野、计入结果的。

因此，只能说尽管在运算结果0.111111.......中表面上看不出二者的区别，这并不能证明二者完全等价。

可见，1与0.99999.......严格意义上并不相等。

只是在近似意义上、忽视了那个无穷小的误差的情况下才可以视其为相等。

还有一种说法，说是以为1与0.99999.........之间再也插不进一个数了，所以二者相等。

这个说法不能成立。

因为按不可达极限的定义，不可达极限值与趋于它的那个极限过程之间，也是插不进任何数的，二者相等吗？如果相等，还能叫“不可达极限”吗？不应该是可达极限吗？既然相等，怎么会有不可达的事？微积分中常有的不合理的函数值0/0，用不可达极限代之，如果相等，函数值0/0与其不可达极限值不就相等了？真如此，直接用函数值0/0不就完了？1是0.99999........即9/10+9/100+9/1000+..........的不可达极限，二者不等的。

中间当然没有其它的数了，如果有，就有可能是以那个其它值为极限了，还能把1作为不可达极限吗？以上，可以看成是1与0.99999.....不相等的一个证明。

1.00000000........，以及所有整数和某位后全为0的有理数，与0.99999........，或某位后都为9的有理数，在十进制下是成对的特殊的数。

在无穷层十叉无穷树的实数表示中，这是从同一个节点分出的相邻两叉的左叉最右边的一枝（显然是以.....99999999......表示的），与相邻两叉的右叉的最左边的一枝（以......0000000........表示的），显然，这两枝之间再无其它的枝，也就是没有其它的实数了。

而这两个数随着位数的无限增加（对应于枝的节点无限增加），是数值无限接近的，也就是，他们最终（如果真有这个“最终”的话）相差无穷小。

以往这样两个有理数，我们不得不把它们看成是同一个数，但在无穷层十叉树上，它们明明是两个枝，这就违背了该树的每一枝都对应一个实数的非常合理、简洁的原则。

这样的理论及解释，给人的感觉就是“不漂亮”。

这样的一对数在前面定义的“同步制位”下，在后者位数趋于无限的过程中，最后一位与前者始终相差“1”。

即在后者最后一位加上1后，二者相等。

当位数趋于无穷∞时，二者相差1/∞=ε，即无穷小。

因此，这两个实数间没有稠密性，只有连续性。

也就是此二数之间再没有其它实数。

当然，这要满足“同步制位”条件，这里都是十进制下，如果是十六进制与十进制，即使同步位，此二数间也还有十六进制下的数，也就是十六进制可以在同步位的前提下，比十进制更快地趋于1。

但这显然是另一个问题了，通常人们都是在同一个进制下讨论问题的。

因此，在同一进制下，实数的稠密性并不是对任何两个实数都成立的。

这应该可以看作是一个理论上的突破。

当然，其它的实数间，无法保证任何两枝可以无限靠近以致其间再没有任何实数，因此仍然具有稠密性。

这两种情况产生的原因，是1.0000与0.9999之类，前者有效数位比后者多一位，即个位上前者为1，后者为0。

前者是由后者在末位加1后进位得到的。

当位数趋于∞时，自然有无穷小1/∞=ε。

而其它类型的也就是不存在加1进一位这样的有效数位一个比一个多一位的情况，则如果有两个紧挨着的实数，也就是二者之间再没有其它实数了，它只差无穷小，那么这两个实数间，除了最后一位，其它为数值都一样。

而这个最后位位于无穷位置，这实际上在无穷层十叉树中是无法表示的，因此这两个数无法区分。

也就是说，任何这样的实数间是满足稠密性要求的。

即任何两个这样的实数间都还有无穷多个实数，就算有两个只差无穷小的这样的实数（之间再无实数），也是无法表达的。

比如，如果有ε这个实数，则它是由序列0.1，0.01，0.001，0.0001，......趋于无穷得到的，即1/∞=ε,但这里涉及每次都要更改最后位的数，这在无穷层十叉树中无法用一个固定的枝表示。

另外，又比如0.98，0.998，0.9998，......,这个数如果有，应该比0.99999......小一个无穷小ε，但在树上没法表示。

每次都要修改最后一位，即把最后的8变为9，再在后面一位上添上8.....，这是对树结构的不断改动，无法在静态的树结构上表示出来。

因此难以对应一个实数。

前已述及，无穷小如果还有大小可以比较的话，是对一个不可达极限在“同步制位”且“每位一旦写上，不可更改”前提下不同函数间的逼近速度而言的。

由于速度是相对的，就有一个以谁为基点的问题。

比如：1/3=（0.999999.......+ε)/3=0.333333.....+ε/3，这里的ε/3无非是指的当以0.999999......趋近于1为不可达极限时，就以它为基点，0.3333.....在“同步制位”下趋近于1/3的速率要快，后者离终点的距离始终是前者的1/3。

换言之，我们如果以0.333333.....为基点，得到ε的话，在0.99999.....得到的就是3ε，这无非就是一个相对概念罢了。

又比如：1/2=（0.9999.....+ε）/2=0.49999.....+ε/2，也是如此。

这里要提出一个重要问题：1/3无疑是一个实数，按传统看法，它所对应的十进制小数就是0.3333333......，但由笔者前述分析可知，后者只可无限趋近于1/3，并以1/3为不可达极限，也就是二者并不严格意义地相等，而是相差一个无穷小ε，也就是其差别要多小有多小，但就是不相等。

而在静态的无穷层丰满十叉树上，只有0.333333.....可以被表达为一枝，而0.3333333........+ε是在该树上表达不了的。

也就是对全体实数，静态无穷层丰满十叉树并不完备，这与传统看法是很不同的。

实际上，我们有：0.9999...../3=0.33333......,而不是1/3=0.33333......。

而1/3在三进制表示法中，当然很容易被表达，由此可见，我们可以得到一个重要的结论：对应于任何进制下的无穷层丰满树，它们在表达所有实数时，都不完备。

这涉及不可公度的数的进制之间的转化问题，也就是某一个进制下（比如十进制）的可表达的数，在另一个与其不可公度的数的进制下（比如三进制）可能不能精确被表达，只能得到一个近似值，尽管这个近似与精确值只差一个无穷小ε，也就是要多小有多小。

注意，下面这一节是早期笔者的论述，是有问题的。

这次不予删去，仅仅是留作参考。

具体实数的定义和有关论述，见笔者近期其它文章。

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