实无穷体系（下）

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这里提出一个问题：无穷小ε究竟是不是一个实数？哪怕特殊的实数？直观地，无穷小是描述两个实数间的差值的，而这个差值也应该是一个实数。

更何况假设有一个实数与0的差值为无穷小ε的话，这个ε难道不就是这个实数值吗？仔细分析，在不可达极限存在的前提下，按极限的ε-δ定义（注意，这里的ε不是无穷小，而是任何实数），就是与极限点之间的任何实数ε都将被“越过”（由定义中的“对于每一个ε”也就是所有ε及“＜ε”保障），当然这里的过程是ε与δ按本文揭示的“同步制位”且不可变更的。

这里有一个以往被严重忽视的矛盾：“被越过”的是任何实数（更确切地是可任意小的实数），当然也就是所有足够小的实数。那么，我们不得不问，“越过”这些实数的，是不是实数？包括不包括在“所有”、“每一个”之列？如果不是或不包括其在内，它是什么？如果是或包括在所有实数之内，又何来可以“越过所有（每一个）”实数？难道是它越过它自己吗？因此，为了消除这个隐含的矛盾，原ε-δ定义的相关词句必须修改：把“对于每一个”改成“对于每一个不包括其本身的....”，或“对所有....”改成“对所有不包括其本身的....”。

于是不但“被越过的”是实数，去越过它们的也是必然是实数。

因此，作为这么趋近不可达极限点的过程的“终结”，即把过程当成一个整体看待的话，我们“达到”的所谓无穷小ε只能也是一个实数。

即：所谓“没有最小，只有更小”的无穷小直观定义，实际等价于“没有实数不被越过，除了一个实数即越过者自己”。

以上实际可以看成一个证明。

因此就是由标准分析的极限定义，将其完善后可以看出，极限法微积分（标准分析）实际根本就没有达到它想排除（以消除贝克莱悖论）的无穷小。

也就是理论中没有无穷小根本就行不通，会产生矛盾。

由此即知，极限法微积分(标准分析）也自然不可能去通过排除无穷小而达到去除贝克莱悖论的目的。

当然，无穷小实数ε（算为无穷小“正名”）在现有实数表达体系中是无法表达的，无论是分数形式、小数形式还是静态无穷层十叉树形式。

因为前面讲了，它涉及一个极限过程：0.1，0.01，0.001，0.0001，........。

而这又涉及到每次的最末位的变更（由1变0，再延后一位，写1，等等，等等，直至无穷），在静态树中无法表示。

因此，虽然我们已经知道有一个与0相差无穷小ε的实数存在，但按现有实数表达体系，我们不知道如何表示它，而只能由推理“感知”它确实存在，否则会有矛盾。

为了能够表达无穷小的实数，我们可以扩展原实数表达体系如下：

原体系：如0，可表示成0.00000000000000..........(→∞)

也就是没有最小（最后）一位。

新体系：如0，可表示成0.0000000000000..........(→∞).......0

也就是假设有（最小）最后一位，但却是经过了无穷到达的。

对无穷小ε，原体系无法表达。

新体系中：如ε，可表示成0.0000000000000..........(→∞)......1=1/∞=ε

又比如比0.9999999999..........小一个无穷小的数如何表达？原体系无法表达。

新体系中可以表示成：0.9999999.......(→∞)...........8，最后一位写成8而不是9了。

可知，二者相减，即可得到无穷小ε。

当然，这里的所谓“最小实数”是前述“同步制位”意义下的，也就是有前提的、在某些规则之下的。

如果随意或无意中改变规则，是另一回事。比如，有没有更小的ε/2？即0.0000000000000..........(→∞)......1/2=1/2∞=ε/2。

在十进制下，它不可能被得到。

因为每一位只能取数字1到9，最小为1，取不到1/2，除非向后再延一位。

但我们已经假设新体系中的实数表示法的最后一位已经达到了，所以在同一进制下（这里是十进制）延后一位已无可能，因此，在“同步制位”下ε/2不可能达到。

但如果我们随意地改变规则，认为每一位就可以取1/2，这实际上是二十进制（在十进制前提下再可以小一半，就是二十进制）。

也就是，最小不最小（趋于不可达极限的速率），是一个相对概念。

这是始终必须牢记的。

以上我们讨论的，还都只涉及有理数、整数。

比如0.9，0.99，0.999，0.9999，......,这个过程会“趋于”不可达极限1或可达极限0.9999999..........，这里都只是涉及有理数和整数。

而且是特殊的有理数。

如果一般地，一个普通的实数趋于一个普通的实数会怎样？比如，有一个作为极限的实数A按原体系表示为:0.2934483893823882................；按前述“新体系”表示为：A:0.2934483893823882.......(→∞)........5。

这里这个“5”为无穷位后的所谓“最后一位”的数值。

如果另一个实数B:0.4345034345543535338..............逐渐趋近于它，会如何？其实也很简单，就是对任何的自然数n，小数点后的前位不断地于作为极限的自然数的前位不断的重合。

如B先到达前三位于A的前三位相同，为293，再前五位相同，为29344，等等。随着相同的位数不断增大最后趋于无穷，如果是可达极限，就B就会于A重合（每一位的数值都一样了）。

如果是不可达极限，则按前述“新体系”实数表示法，则除了最后一位B与A差1而外为6，其余无穷位都一样，“重合”了。

也就是最终得到了一个“新体系”表示下的实数0.2934483893823882.......(→∞).......6。

此处必须再一次强调，这种所谓“新体系”的实数表示法，或扩展的静态无穷层多叉树，也就是表面看来实数有了无穷位之后的“最后一位”，无穷层的树有了每一枝的最后一位，而真实的无穷位实数和无穷层的树结构，都是没有最后的。

既然如此，我们为什么还要如此表示？定义这种自然界原本没有的所谓“新体系”结构？我们说，当有两个实数，其中一个可不断变化无限又不可重合地趋近于另一个固定的实数时，其间的距离是“没有最小，只有更小”的，也就是最后趋于无穷小ε，并以它为可达极限（指二者间的距离），当然，哪一个原本固定不变的实数，是另一个的不可达极限。

或者说，如果我们换一种说法，即两个实数一个趋于另一个，最终的距离是无穷小ε时，我们说的实际是这两个实数间的距离“没有最小，只有更小”的这个趋近过程。

这个描述或者定义，才是无穷小的本源描述或定义。

这一点是必须牢记的。

也即当我们说0.9999999........最终以1.0000000........为不可达极限也就是最终二者大小或距离相差无穷小ε，在“新体系”中表示就是有一个无穷位后的“最后一位”，它是数值也是9时；当我们说有一个实数无限趋近于0而不是0，即以0为不可达极限也就是与0的距离“最终”为无穷小ε或在前无穷位都是0，而“最后一位”为1，也即得到了“新体系”下的表示0.0000000000000..........(→∞)......1=1/∞=ε时（注意，这一“实数”在原体系中是无法被表达的）；当我们说有一个实数从小的方向无限趋近于0.9999999........或“新体系”下的表示0.9999999.......(→∞)..........9时，也即它为不可达极限，最终得到“新体系”下的表示的一个实数：0.9999999.......(→∞)...........8（“最后一位”为8，注意，这个“实数”在原体系中是无法被表达的）时；或更普遍地，任意两个一般实数的一个以另一个为不可达极限，即如上文的B实数无限趋近于A实数，最终得到“新体系”表示下的0.2934483893823882.......(→∞).......6时（在原体系下无法完整表示出这个实数）。

甚至被它所趋近的那个作为极限的实数A:0.2934483893823882.......(→∞)........5（也同样在原体系下是不能被完整地表达出的）。

当我们这样说，这样去构造“新体系”下的实数时（原本无穷位的实数有了“最后一位”，两个无限趋近的实数在“新体系”下的“最后一位”相差1，等等，我们实际上只不过是在重复那个无比朴实的原则“没有最小，只有更小”。

我们可以将其就看为（或令其“等价于”）一个“新体系”下的无穷位后有那个“最后一位”的实数。

其理论基础或出发点是：当两个实数一个以另一个为不可达极限时，按传统ε-δ语言或定义、操作，ε、δ都可以任取任何值（当然是有定义中所要求的相互关联的），因此当然就可以无限小下去。

当任取一表示具体实数而非无穷小的ε时，无论此时ε多小，按传统上的实数的稠密性，这两个实数间仍有无穷多个实数存在。

当我们把这个实际需要无穷多步的过程或“操作”看成一个整体对待时，我们可以就认为“完成”了这个无穷步的过程或“操作”（因为已经把它们当作一个整体事件看待了。现实中当然不可能完成），于是这个变动的实数（去趋于其不可达极限的那个）可等价地认为已经“越过”了除它自己外的所有该越过的实数，“到达”了那个与作为目标的不可达极限只相差无穷小的位置，这样的一个实数，我们可以等价地用“新体系”表示法表示成无穷位后有最后一位，而且最后一位的数值与其不可达极限差1的一个实数。

因为如此表示的两个实数，其间已经不可能再有其它实数插入，被视为两个最靠近的独立实数。

也就是说，这种“新体系”下的实数表示，无非就是一个在“功能上”等价的说法或定义。

是一个“如果无穷位的实数可以有最后一位，它将会如何”的描述，并不是说真的在现实世界中在经历了无穷位（其实包括任何的无穷）我们可以现实到达那个本不存在的“最后一位”。

我们之所以要这么作，换言之这么作的现实意义，是原体系对表示全部实数而言是不完备的，甚至对一个一般的无穷位的实数的表示，也是不完备的（到不了最后一位，无法确定这个实数究竟是什么，只能写出前n位的数值，无论这个n有多大，也不可穷尽它）。

我们看到，原系统中的实数系的稠密性，连续性，只能表述成任意两个实数间总有无穷多的实数。

这个表述或定义不但不直观、明确，而且其实暗含歧义性：它实际完全可以理解成任何两个实数，无论靠得多近，也是分立的，不连续的。

因为它们之间总有无限个其它实数。

它给不出两个真的连续的、之间再无其它实数的两个实数。

而在“新体系”中是可以的，这个，才是真正的实数的稠密性、连续性描述。

对于这种“新体系”实数表述的可行性和必要性，应该在做点说明或者论证。

我们说，0.99999999........这类有理实数实际是一个很特殊的存在。

它在有限时就可以明确得知以下、无穷、乃至“最后”的值仍是9。

这是其它实数做不到的。

因此，当我们把它的所有无穷位看作一个整体对待时，“新体系”下的最后位的数值当然就是9。

这个比较好理解。

但对一般的实数，则并不这么直观了。

究竟有没有这个“最后一位”？有，它的值又是如何确定的？似乎大有疑问。

因为我们无法像0.9999999......一样从有限位直接可以推知无穷处的“最后一位”，它如果有，不可能是别的数，只能也是9。

由于其它一般实数我们只能列出有限位，不可能真正列出无穷多个位，因此无法确知无穷的每一位都是多少。

这当然包括无穷之后的最后一位（如果有的话）。

但是，虽然我“不知道”，但我们确定这个实数是存在的，确定的，也就是它的每一位虽然我们不可能都确知，但肯定都已被确定，因此它是“客观存在”，每位都必有确定的数值，尽管我们不尽知也罢：它与我们知不知道无关。

因此，0.9999999.......是首先有了客观存在的每位9，然后我们可以推知；而其它实数也同样是每位有一个确定数值是客观存在，区别只是我们不能全知。

0.9999999........推得“最后一位”仍为确定的9，依据的是客观事实“每位为9”，虽然我们知道了这点，但推理的依据不是以我们知道与否为基点的，而是以客观事实为依据的。

那么，其它类型的一般实数，我们既然已经知道或承认客观事实是每位必有确定数值（虽然很多我们不知道是什么数），推理的依据又不是我们知道与否，那我们当然也可以依据与0.999999......情况一样的理由，依“事实”（而不是我们知道的事实）推出按“新体系”思路也必有等价的最后一位及其数值。

比如，由比0.99999999........小一个无穷小，推出该数是

0.9999999.......(→∞)...........8。换言之，逻辑上只要0.9999999.......(→∞)..........9可以被推出应该可以存在，那么0.9999999.......(→∞)...........8也就以同样推理途径可以被推出同样可以存在。

这可以看作是一个“新体系”实数表示的存在性证明。

无穷大是不是“最大”，这里面有些模糊概念，如不澄清甚至要产生矛盾。

因为无穷大的定义就是“没有最大，只有更大”，现在又出来一个“最大”，岂不矛盾？事实上，说“没有最大”，是一个简略说法，真正严格的应该是：“没有最大的具体的一个数值”。

而“只有更大”，严格讲应该是“只有更大数值”，注意，这里并没有“具体的一个”这个限定量词。

它实际是一个“集合概念”而不是“元素概念”。

它指的是当然有很多更大的数。

绝不仅仅是一个或特指哪一个。

那么，有没有比“只有更大数值”更大的数值（无论一个具体的还是很多个）？如果有，那么“只有更大数值”就不成其为“只有更大数值”了，因为有起码一个更大的数值它是超越不了的，因此，证明了没有比“只有更大数值”更大的数值存在。

也就是等价于“只有更大数值”是“最大的”。

注意，这里并不是说有一个“最大数值”存在，因为1、前面的定义中已经有了“没有最大的具体的一个数值”；2、前已述及，“只有更大数值”是个“集合概念”，并不特指哪一个具体数值，因此里的“最大”，也就自然并不是指的有“最大的一个具体数值”，而是“只有更大数值”本身最为集合概念、整体概念是最大的了，我们现在可以严格把它就定义成“无穷大”，也只有在这个意义上，我们才可以说无穷大就是“最大”的。

当然不是最大的一个具体数值。

至于无穷小，我们只要把前面的论证、证明中的“无穷大”换成“无穷小”，就可证明及定义了。

此处不再赘述。

这里之所以如此不厌其详地论证、说明无穷概念，是实际上人们经常非常随意的、想当然地使用这个如此重要的概念。

这个概念以往并没有阐述的很清楚，以至于很多误解、错误、歧义都与之有关。

它绝对不是可有可无的。

哪怕啰嗦一些。

无穷（包括无穷大与无穷小）究竟是不是客观存在？可以明确回答：是。

因为客观世界上并没有最大与最小的尺度、时段、事物，因此只能是由无穷大。

但我们能够现实达到并被“感知”的，只能是有限。

正如一个人不可能长生不老一样，一把尺子、一段距离再大，既不可能是“最大”的，也不可能是无限大的（无限小也一样）。

现实世界中真正能够被量化、取得、感知、把握的，是有限：有限的尺度、有限的时段、有限的物体等等。

如果我们用“1”代表所有有限，则有：1=ε•∞=∞/∞。

即可解释成有限等价于无穷小乘以无穷大，也就是无穷多和无穷小；或无穷大的无穷大分之一。

这才是真正可以被感知或得到的。

客观存在，与可感知，可得到不是一个概念。

并不是可感、可得的，才叫客观，才叫现实。

世界上有不可感，不可得到的东西存在，这也是现实，也是客观（当然是一部分），就比如“无穷”，无论无穷小还是无穷大。

如果说我们把传统数轴和传统的静态无穷层多叉树结构看成是“标准数轴”、“标准树结构”的话，那前述只能表示无穷小的数轴和“新体系”下的树结构，就可以称为是“非标准数轴”、“非标准树结构”。

“标准数轴”和“标准树结构”，无疑只能真正用有限线段表达有限。

尽管线段、数轴可以无限延长（或减小）、树中的每一枝可以无限延长（或减小），但可以被直接感知、“拿到”，写下的，再大或再小也只是其中有限段。

但“非标准数轴”和“非标准树结构”则不然，它们试图用有限线段（数轴表示时）和存在最后一位的枝（数结构表示时）来“拟化”地表示无穷小或无穷大。

说它是“拟化”，时因为无穷小和无穷大本来时无法用有限来表达的。

因此它只是一种示意性的、模拟有限系统的、而非本源的一种形象化的表达。

也就是，试图用这种方式表达本不可表达的东西——无穷。

无穷（无论无穷大还是无穷小）究竟还有没有大小？我们说，任何两个分离的无穷之间，它们的元素都可以一一对应，也就是它们可以“一样大”。

而如果在同一个无穷之内，则“整体大于部分”。比如，设A为自然数集合，B为偶数集合。

如果B是A的一部分，当然A>B。

而如果这是两个互相分离的集合，则A与B的元素当然可以一一对应（康托早就这么作了），也就是二者“一样大”。

当然，也可以选取其它对应原则，使得A>B甚至A＜B。

这似乎不好理解，但由于它们分属两个集合，之间就可以有函数关系，将B中的2、6、10、14、....与A的1、2、3、4、.......一一对应，则显然，B有“剩余”4、8、12、......，也就是B“大于”A。

总之，大小完全取决于对应关系。

又，作为一个整体中的部分，实数多于有理数，也多于无理数；而有理数又多于整数，整数多于偶数，等等。

但如果是两个分离的数集在比较，比如此有理数与彼整数（不是那个有理数的一部分），又是可以一一对应的（可数）。

因此，无穷的大小比较，完全是相对的，取决于如何对应。

这与康托理论不完全相同。

康托认为他证明了无穷之间有绝对意义的大小，如可数与不可数，就是绝对的。

对角线法、康托定理，似乎证明了这种绝对性。

但是，笔者以往一系列文章早已披露，他的这些证明有漏洞，不成立。

我们可以设B为A的一部分，则A>B，又可设A之外有C，设B=C，则在此对应原则（即函数关系）下，有A=C；但由前述，C与A分离，因此C当然可以在其它对应原则（函数关系）下又等于A，即C=A。

在这个意义上（当然也仅仅是这个意义上），我们可以也才可以说“只有一个无穷”或“无穷一样大”。

而在其它意义上（如前述），则无穷之间是可以有大小之分的。

如空间三维中的点，就多于二维，二维又多于一维，一维又多于大于0的正数部分，等等。

但即使如此，它们又都可数，也就是可以“一样大”。

这完全取决于它们之间的对应关系。

是一个相对的概念。

以上讨论为过去笔者观点。

现在看来问题颇多。

这里只是作为笔者思维脉络的历史遗存而保留参考。

敝帚自珍罢了。

本该删除的。

笔者对以上问题的新观点见近期笔者文章。

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5、非标准分析、超实数（非标准实数）评论及与笔者无穷观的异同

如所周知，标准分析满足阿基米德公理：如果对所有的自然数n有x＜1/n，则x=0。

这个公理是“二阶”的，它使得实数域中不可能出现无穷小与无穷大量[12,p541]。

非标准分析，等于是否定了或“修改”了传统的阿基米德公理，为：

如果对所有的n∈N*，有x＜1/n，则x=0。

其中N*为超自然数集。

这实际上等价于笔者的如果对所有的n∈N，有x＜ε=1/∞＜1/n，则x=0。

这里的N为常规的“标准自然数集”。

一般以为（包括非标准分析的创始人鲁滨逊），非标准分析与标准分析是等价的，结论可以互换。

例如，对微积分B.Williamson明确指出：“无穷小法（即非标准分析）与极限法（标准分析）的区别，就在于极限法在计算结束前一概保留高阶的消去项，直到最后才把它们去掉；而在无穷小法中，则一开始就把高阶无穷小去掉了，也就是说，在取极限时那些项就消失了，而在一开始就去掉高阶无穷小并不影响最终结果。”[13,p71]

但这类理解，会产生如下矛盾：

1、说标准分析的“后消高阶消去项”与非标准分析的“先消高阶无穷小”等价，是基于标准分析首先要正确，于是既然早晚都要消去，那么不如或起码可以先消去。但几乎所有的人为什么不会反问一句：既然二者是等价的，那么，为什么不能由先消去高阶无穷小——也就是与牛顿、莱布尼兹一样，于是有公认的贝克莱悖论，再去证明后消去高阶消去项的标注分析是错的、有矛盾（贝克莱悖论）的？这显然是矛盾的。

我们说，微积分从牛顿、莱布尼兹时代的所谓“第一代”到极限法标准分析的所谓“第二代”，再到非标准分析的逻辑脉络是：第一代微积分会有所谓“高阶无穷小”的被无理抛弃及其产生的贝克莱悖论问题；→于是，第二代标准分析的极限法出现了，它抛弃也不得不抛弃第一代的无穷小问题，也就是认为不能像第一代微积分也就是牛顿、莱布尼兹那样“蛮横地、漫不经心的一开始就把现实存在的高阶无穷小无理由地抛弃。

为了解决这个问题，它提出不可达极限，用最终达到这个极限来代替、否定原先的无穷小。

→鲁滨逊发现，既然第二代微积分极限法用不可达极限代最终替了“抛弃无穷小”这个“动作”，它是在极限点也就是导数点到达的“最后一刻”才用极限取代无穷小的，那么，既然反正早晚都还是要抛弃（尽管是用极限取代），何不干脆在一开始就抛弃这个无穷小？又何必兜圈子？早抛弃和晚抛弃，在功能上有区别吗？于是，他遂提出非标准分析，把无穷小又重新正名、华丽包装，“请回来”，然后在第一时间把它抛弃（换了个时髦、隐涩说法“取标准数”），原来把这个“贵妇”隆重请回来，就是为了在第一时间把她杀死。

→这个做法，与第一代微积分的牛顿、莱布尼兹无理由的首先舍弃无穷小完全一样。

于是在逻辑上就不能不是：标准分析（第二代微积分）说第一代微积分错→非标准分析说与第二代等价，但它又与第一代本质等价。

于是它等于是说第一代又对又错（因为它声称与否定第一代的第二代等价）。

同时，非标准分析之所以被认为成立，并不是其本身证明的，而是在认为标准分析正确前提下，证明了非标准分析与其的等价性（标准分析用最后取极限值的方式，抛弃了无穷小，非标准分析索性一开始就抛弃，二者是一回事，效果无差别），从而才间接“证明”非标准分析的“正确性”的；但既然二者等价，我们不是也可以反过来，直接由非标准分析本质上与标准分析也认为是错误的第一代的牛顿、莱布尼兹微积分等价，进而非标准分析又与标准分析等价，由此，是否也可以证明第二代微积分的标准分析也错呢？在逻辑上当然可以。

因此，正向途径二者皆对，反向途径二者皆错，如此明显的逻辑漏洞，这么多年却鲜有人提及，不得不让人感慨，所谓数学界的严密思维，不得不让人怀疑。

2、按笔者本文前面对“不可达极限”及ε-δ法的详细论证，实际上标准分析赖以成立的原始“阿基米德公理”不成立。

因为这个公理显然等价于1=0.999999.........；“日取其半，万世不竭”最终可竭；芝诺两分法悖论按其分法就可以最终抵达终点；阿克琉斯按芝诺描述的追龟法可以越过无穷小时段和与乌龟间的无穷小距离而追上乌龟。

按笔者前文论述及证明，这都是不可能的。

因此传统阿基米德公理严格意义上不成立。

成立的只能是笔者及非标准分析秉持的“扩展阿基米德公理”。

也就是必须在理论中包括无穷小及无穷大。

如果不包括，就要产生矛盾。

因此，可以明确地说，这个公理实际上是一个定理。

不存项第五公设之于欧氏和非欧几何的情况。

3、文献12说：“使得无穷小重新受到尊重的学科称为标准分析[12,p540]。”事实果真如此吗？该书又说：“（非标准分析）......不用在各种借口的掩盖下，把额外的∆x（指最终要变为无穷小的量）去掉，而是很清楚地把它删除。

........非标准分析的教程好像是在展示（柯朗和罗宾花了很多篇幅想让我们避免的）错误。.....”【12，p544]。

也就是说，好不容易建立起来的无穷小概念及庞杂理论，目的却是为了“很清楚地把它删除”和“展示错误”，尽管是“好像”也罢。

这能叫“使得无穷小重新收到尊重”吗？因此很显然地，非标准分析不过是换了一个更为隐蔽的说法回到了牛顿、莱布尼兹的“第一代微积分”而已。

它回避不了、甚至公然用“取标准实数”的隐晦操作首先去除了公式中原本存在的“高阶无穷小”，然后声称这一做法与标准分析的极限求法等价，它等于是说第一代微积分牛顿、莱布尼兹法于所谓第二代微积分也就是极限法、标准分析等价。

如此，第一代微积分中的贝克莱悖论倒没有了？逻辑上不通！

4、标准分析中的实数，是不可数的，也仅仅是第一级的不可数，也就是常说的那个“阿列夫1”，而且数轴上再没有其它的更大的不可数集，也就是没有什么“阿列夫2”、“阿列夫3”、......再在数轴上。

这些“阿列夫”在数轴上无法表示，是数轴之外的无穷。

而非标准分析的数轴中，不但包含了原来“标准实数”，还要包含起码一样多的实际上与相关标准实数“距离”为无穷小的“非标准实数”。

而都知道无穷小的倒数为无穷大，现在无穷大是由无穷多级不可数集合（阿列夫序列）组成的，那么，无穷小作为无穷大的倒数与之对应也自然会有无穷多级不可数多的非标准实数。

也就是说，每一层的每一个无穷小中，都有不可数无穷多个更小的、也就是更不可数的无穷小，.........。

这显然要求有关于非标准实数（超实数）的更非标准（更超的）实数，...........。

依次类推。

此种理论，即使勉强成立，也是十分牵强怪诞的。

而且对广大数学实践毫无用处，只是为理论而理论。

5、尽管有以上缺陷和漏洞，但非标准分析引进无穷小概念无疑是正确的。

实际上，在标准分析中无穷大∞甚至无穷小ε比比皆是，几乎任何教材中都有，既然如此，为什么用阿基米德公理、ε-δ极限法去刻意地、不自然地、非常造作地去限制、回避它们？只不过由前文及参考文献笔者的分析可知，微积分对无穷小而言并不是必须的。

但不要忘记，它也不被排斥。

笔者理论，是彻底地可以（不必须）融入无穷小，而不像非标准分析那样，引入了无穷小居然不过是为了首先舍弃它。

我想，这才是真正意义的文献12的所谓“使无穷小重新获得应有的尊重”吧。

此外，非标准分析自认作为标准分析的一个等价理论，当然不可能解释清与无穷小有关的非标准实数（超实数）的来历和必须要有的原因。

它只是一个阐述性的理论。

它只是标准分析的“换一种说法”或“另一个角度看问题”的产物，因此显得无力和可有可无。

这也是很多论者看轻、漠视、甚至诟病非标准分析的原因。

几十年了，尽管有种种其它原因，经过最初少数学者的“吹捧”之后，这个理论无疑是被敬而远之、束之高阁了：既然它的作者都说与标准分析等价，它能解决、解释的标准分析都能解决、解释，那还要它干嘛？说它更简单、直观，也不是全部现实。

一个作者甚至提出，为了更好理解非标准分析，建议先把标准分析学好云云。

既然如此，又何必当初？事实上，前文已经指出了，非标准分析同样没有解决微积分的问题，它的意义，是对无穷的刻画、描述的尝试。

当然，在笔者看来，尽管有很多高大上的数学名词、公式、术语充斥其间，它也不过是经过包装的表述性理论，而不是一个原理性、揭示性理论。

笔者前面的分析中，比如提出了“同步制位”概念，“不可更改”概念及静态无穷层丰满树的表现实数上的不足（即本质上并不“丰满”）及提出改进的以表示无穷小有关的实数等等。

再加上前期笔者对康托对角线法的分析，认为实数可数，这样就大为简化了数轴结构，使得无穷小理论更为可信、可用。

识者自有公论。

总之，我们也可以说，非标准分析中的“标准实数”，就是静态无穷层十叉（其实可以是任意叉）树可以由其每一枝表示出的实数；而“超实数”（非标准实数），就是这个前述这个树中不能表达的实数（与标准实数相差无穷小的）。

同时，正如无穷大∞在传统意义的数轴上无法用有限的、静态的一个线段或与之对应的某个静态点表示一样，作为无穷大的倒数的无穷小ε=1/∞，在传统数轴上也无法表示

（即1的无穷大分之一无法表示。

虽然由于1=∞/∞可以表示，即无穷大的无穷大分之一，可以表示，它就是1）。

而由前述证明已知，存在两个相差无穷小的实数，比如1与0.999999.....,因此这就等于证明了存在传统数轴上表示不了的实数。

如0.9999999.......。

有人说它表示传统数轴上的一个趋于某极限的“动点”（比如趋于1），但实际上不成立。

因为这些“动点”的每一刻都对应于一个传统数轴上的静态位置，它对应于有限数，比如0.99999,0.99999999,........之类，无论有多少位，都是有限的，因此它们与作为无限位的0.999999.........是完全不同的，不是一个“数”。

我们说，无穷小的定义就是“没有最小，只有更小”，也就是只要有一个无论多小的静止点（相对于作为极限点的一个静止点而言，通常以一个“数”来表示），按ε-δ描述，都会被“超越”，当然也就无法“固定”在这两个点了（一个静止、固定的作为极限的点，一个不断趋近于该极限的点）。

换言之也就是不会存在一个传统数轴上静止的点能够表示这样的涉及无穷小的实数，而传统数轴上的点也就是位置又只能静止，于是，这等于说传统数轴不能表示所有实数。

这与传统的看法截然不同，倒是与非标准分析有相通之处。

但非标准分析的超实数如果被认为可以在数轴上表示，那这显然也不会是传统意义的数轴，而是扩展了的数轴，可以看作是与前文笔者定义的“新体系”下的实数相对应的“新体系数轴”。

这种数轴如果想用有限线段（无论多小）表示无穷小（如做不到，则与传统数轴没有什么区别，毫无意义），那显然，传统数轴上的有限线段或数，就得在这种数轴上表示成无穷。

因为“新体系数轴上的1=ε(无穷小）=传统数轴上的1/∞”，也就是“传统数轴上的1=新体系数轴上的1×∞=∞”。

换言之，这种数轴，只能是专门用来表示无穷小的。

任何有限数，无论多小，在这种数轴上都是无穷大。

我们说，传统数轴上表示不了0.99999.......,但在静态是无穷层十叉树上有此一枝，也就是可以被表达；而1/3在后者（十叉树上）不能表达，在前者（传统数轴上）却可以；与之对应的0.333333.....却正好相反，在十叉树上可以表达，在传统数轴上却不能。但特别应该提及一点的是：如果我们用三进制，则十进制下的1/3,在三进制下就是表示成分数1/10和小数0.1，显然，无论在传统数轴还是“静态无穷层三叉树上”，都是可以表达的。

如果像传统理论那样认为1.000000.......=0.99999......，则在静态无穷层十叉树上，就必然有两个不同的枝对应同一个有理数。

比如还有0.23400000......与0.2339999.....，就是同一个有理数。

可在树上，这明明是两个不同的枝，实际明确反映了它们在数量关系上是不同的。

在传统实数轴上，这一点很容易被忽视，因为既然尾数为无穷个0的有理数是在该数轴上可以表达的，因此与之相差“无穷小”的尾数为无穷个9的有理数就不可表达（理由前文已述）。

那么，既然反正不可表达，就干脆将这两个数定义成相等算了。

这正是传统理论干的事。

看似有理，但在树结构表示法中，如前所述，问题就暴露了——这明明是两个不同的枝，凭什么表示同一个数？在数值表示法中，实际上也很清楚：不同的数值，必须表示不同的数，必须具有唯一性，否则这个表示法就难称完备。

如1.000000......与0.9999.....，数值表示截然不同，就得表示两个数，没有任何理由可以表示同一个数。

如果它们是同一个数，为什么不在书中凡是出现“1”的地方，统统用0.9999.....代替之，而是相反？

参考文献

[1] 莫绍揆.试论微分的本质.南京大学学报(自然科学),1994年第03期

[2] 沈卫国.论增量分析视野下的测度问题、微积分求导及连续统的可数性.前沿科学，2017年03期.