雷奥数(拉约)Roya

雷奥数

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增长率＞*在拉约函数定义中假定的二阶集合论的一阶段中可定义的所有函数

作者奥古斯丁·拉约

年2007

雷奥数是最大的命名数字之一，产生于大量战斗奥古斯丁·拉约于2007年1月26日对亚当·埃尔加提起诉讼。[1][2][3][4]

用拉约自己的话说，雷欧数是“比一阶集合论语言中的表达式命名的任何有限正整数都大的最小正整数”巨大的数字符号或更少。"

通过让符号的数量在自然数的范围内变化，我们得到了一个增长非常快的函数（text {拉约}（n））。

雷奥的电话号码是（text{Rayo}(10^{100}）。

拉约的功能是无法计算，这意味着不可能图灵机（而且，由丘奇-图灵论题任何现代计算机）来计算（文本{拉约}（n））。[注1]

尽管二阶集合论在最初的定义中并未明确说明，而是被阐明为现实世界在哲学上“满足”的哲学（但数学上定义不清）公式的集合，但有理由假设ZFC短信中心集合论是未指定集合论的一阶部分，因为大多数数学家和谷歌学家对（ZFC）集合论感兴趣。在该假设下，拉约函数的外延超过了（文本{ZFC}）集合论中可定义的所有函数。

在本文中，我们总是使用相同的假设，除了公理部分这更深刻地解释了二阶集合论缺乏明确性的问题。

拉约函数是专业数学中发展最快的函数之一；只有几个功能，尤其是它的扩展功能，7号鱼超越它。

由于拉约函数使用了困难的数学，因此有几次推广它的尝试都以失败告终。

例如，在英尺（一阶oodle理论)函数也被认为是超越它，但它是不明确的。

拉约的功能永远不会被一个快速增长的层级（f _ alpha（n））对于一个可数序数（alpha）和一个基本序列对于序数（leq alpha），如果层次是由（文本{ZFC}）的定义在（文本{拉约}）集合理论中定义的。[注2]

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定义设（【phi】）和（【psi】）为哥德尔编码公式，（s）和（t）为变量赋值。

定义（text { Sat }（【phi】，s）如下：你是谁

-好的

[ψ]、s([ψ]、t)([ψ]=“x然后呢─x我是jt(x)然后呢)-t(x个)我是j)()

【ψ】= ' x然后呢= x我是jt(x)然后呢)=t(x)我是j)()

【ψ]=(⊙t)】

【ψ】=【θ】【r】【θ】，t】【r(【t】【t】

【ψ】= ' x然后呢(θ)t([θ]、t)

(t-x的副本在哪里然后呢已变更)

} r([ε])，s

}

∀R {

{

∀[ψ], s: R([ψ],t) ↔ ([ψ] = "xi ∈ x我是j"∧ t(xi) ∈ t(xj))

∨ ([ψ] = "xi = x我是j" ∧ t(xi) = t(x我是j))

∨ ([ψ] = "(¬θ)" ∧ ¬R([θ], t))

∨ ([ψ] = "(θ∧ξ)" ∧ R([θ], t) ∧ R([ξ], t))

∨ ([ψ] = "∃xi(θ)" ∧ ∃t′: R([θ], t′))

(where t′ is a copy of t with xi changed)

} ⇒ R([ϕ],s)

}

表示如果有一个公式（phi（x_1））具有少于（n）个符号并且（x _ 1）是其唯一的自由变量，并且满足以下性质，则称自然数（m）“在（n）个符号中可拉约命名”:有一个变量赋值（s），赋值（x_1 ：= m），使得（text { Sat }（【phi（x _ 1）】，s）。

对于任意变量赋值（t），if（text { Sat}（【phi（x _ 1）】，t）必须有（x_1= m）。

（文本{拉约}（n））是大于所有可用拉约命名的（n）个符号的最小数。

注意x_i在t（x我）∈t（xj）和t（x我）= t（xj）在最初的定义中是x_1。

虽然x_1是唯一允许在Rayo-name中出现的自由变量，但x _ 1的变量赋值实际上是指满足∃-fourmulae.

因此，最初的定义并没有像拉约实际打算的那样发挥作用，并且已经由拉约本人进行了更新。[1]（检索于2020年5月19日）

说明解释1根据作者的不同，形式逻辑有许多术语。

我们解释其中一个术语。

A形式语言是一组常数项符号、由自然数索引的可变项符号、函数符号和关系符号。

A公式在形式语言中（L）是由（L）中的常数项符号、（L）中的可变项符号、（L）中的函数符号、（L）中的关系符号、量词和遵循特定语法的逻辑连接词构建的形式字符串。

形式上添加每个集合作为常数项符号，我们可以规范地将（L）扩展到一种形式语言（L’），其中参数为㈤。

（1）中公式的解释被规范地推广到

（1‘）中公式的解释。

A变量赋值是一些数学对象的可数无穷序列，例如（A =（3，2，6，1/2，{4，pi }，omega，65，ldots）。

给定一个变量赋值，我们可以将（L’）中的公式转换为（L’）中的封闭公式，方法是用变量赋值中相应条目给出的参数替换自由出现的变量项符号。

例如，（L）中的公式“第三个变量与第二个变量互素”被（A）解释为（L’）中的封闭公式“（6）与（2）互素”，以及

（L’）中的公式“第二个变量是除

（3.2）之外的所有实数的集合”被

（A）解释为（L’）中

一；一个解释（L）中的公式是将常数分配给每个常数项符号、将函数分配给每个函数符号以及将关系分配给每个关系符号的映射。

给定对（L）中公式的解释，只要真值谓词是可形式化的，则（L’）中的每个封闭公式都将被评估为真或假，因为它对应于（V）中关于参数的公式。

特别地，给定一个变量赋值和一种解释，只要真值谓词是可形式化的，我们就可以问（L）中的给定公式是真还是假。

为了形式化一个真值谓词，我们需要一个足够强的集合论。

举个例子，ZFC集合论不适合这个目的。

拉约定义了一种非常具体和抽象的形式语言以及一种解释的规范选择：原子分子式“xa∈xb“意思是说a这个变量是bth变量。

原子分子式“xa=xb“意思是ath变量等于bth变量。

公式“（e）”的公式e是指否认关于e.公式“（e∧f）”获取公式e和f意味着连接（逻辑的和)的e和f.

一个公式“∃xa(e）”意味着我们可以修改ath变量，即替代xa被班上的另一名同学㈤在所有器械包中e所以这个公式e是真的。

原子公式是一种特殊的公式。

例如，以公式“（x1∈x2)".这表示“第一个变量是第二个变量的元素”，因此我们可以插入变量赋值（（emptyset，{emptyset }，ldots），结果将为真，因为（emptyset）是（{ emptyset }）的元素。如果我们插入（（{ emptyset}，emptyset，ldots），则结果不为真，因为（{ emptyset }）不是（emptyset）的元素。

（如果你熟悉命题逻辑，你可能会对全称量词∀.的缺失感到好奇这是因为∀x(e）与（（∃x(( e））相同，并且不需要。)

一个更复杂的例子:“（（∃x1(十1∈x2)))".这里说，“不存在一个（x），因此当我们用（x）替换“第一个变量”时，“第一个变量是第二个变量的元素”不成立。换句话说，我们不能选择一个（x）使得（x）是第二个变量的一个元素。给定一个变量赋值，当第二个条目是空集时，这是正确的。例如，对于变量赋值（（3，{ }，ldots）），这是正确的；但是对于变量赋值（（3，{1 }，ldots），这是错误的。如果一个公式在插入变量赋值后返回true，我们就说变量赋值“满足”了该公式。现在我们到达了拉约可命名性的核心概念，忽略了长度限制：有一个公式（φ），使得所有令人满意的变量赋值必须将（m）作为第一个参数，并且至少有一个这样的赋值。首先我们将证明0是拉约可命名的。在序数系统中，（0 = { }）。我们需要精心设计一个公式（phi），将（{}）作为第一个参数。其中一个字符串是“（（∃x2(十2∈x1））“=“我们不能选取一个（x）使得（x）是第一个变量的元素“=“我们不能选取第一个变量的元素“=“第一个变量没有元素“=“第一个变量是空集“。现在我们需要找到一个拉约名字（x_1= { { } }）的方法。第一个变量需要一个元素:“∃x2(十2∈x1)"

.然后，为了确保元素是空集，我们使用“（￢(∃x2（（x2∈x1∧∃x3(十3∈x2））（x）“=“我们不能选取一个（x）使得（x）是第一个变量的一个元素而第三个变量是（x）的一个元素“=“我们不能选取一个（x）使得（x）是第一个变量的一个元素而不是空集“=“如果第一个变量有一个元素，它一定是空集“。我们”和“所有这些陈述加在一起，我们得到了”（∃x2(十2∈x1)∧(￢(∃x2（（x2∈x1∧∃x3(十3∈x2))))))".我们可以继续这种模式，使用这种方法定义每个自然数。它允许我们用O(n^2符号来命名数字。对于更大的值，可以定义递归运算，允许我们使用紧凑的符号为越来越大的数字命名拉约。给定一个足够大的数字，定义取幂运算的拉约字符串需要的符号比我们天真的技术要少。注意符号xn被视为一个单一的符号-它不应该被分解成单独的符号x和n。

我们已经具备了定义拉约功能的所有要素：拉约函数（text {拉约}（n））被定义为大于至多（n）个符号中所有可用拉约命名的非负整数的最小非负整数。

为什么拉约函数不可计算？使用拉约的微观语言，人们可以构建一个集合，其元素是所谓的图灵机的瞬时描述，由此，这只是定义的一小步忙碌海狸函数(见下文)。通过更多的努力，人们甚至可以构建oracle图灵机并定义它们的Busy Beaver函数类似物。拉约函数的已知值目前已知的0、1和2的最佳拉约字符串是: 开始{eqnarray*} 0 & = & { } =（neg exists x _ 2（x _ 1中的x _ 2））textrm {（10个符号）} 1 & = & { { } } =（exists x _ 2（x _ 1中的x _ 2）land（neg exists x _ 2（（x _ 1中的x _ 2land存在x _ 3（x _ 2中的x _ 3））））textrm {（30个符号）} 2 & = & { { }, { { }} } & = &（exists x _ 2（exists x _ 3（（x _ 3 in x _ 2 land（x _ 2 in x _ 1land x _ 3 in x _ 1）））） & & land（neg exists x _ 4（exists x _ 2）（（x_ 4 in x _ 3 land（x _ 3 in x _ 2 land x _2 in x _ 1））））textrm {（56个符号）} end{eqnarray*}因此：begin{eqnarray*} text{Rayo}(0) &=&0 text{Rayo}(10) & ge& 1 text{Rayo}(30) & ge& 2 text{Rayo}(56) & ge& 3end{eqnarray*}

虽然这个论点只是给出了下限，但小值的精确值是由Googology Wiki用户给出的简单明了, Emk，以及Ytosk：[5][6][7][8]开始{eqnarray*} 文本{拉约}（0）& = & 0 &视频点播& 正文{拉约}（9）&= & 0 正文{拉约}（10）& = & 1 &视频点播& 正文{拉约}（二十九）&=& 1 正文{拉约}（30）&葛& 2 end{eqnarray*}此外，Ytosk已经表明（文本{拉约}（88）ge 4）和（文本{拉约}（34+20n）》n）。[9]从2020年4月开始，有很多关于如何表示数字

（65536=2向上箭头向上箭头4）的研究，类似地，所有2的电力塔都使用拉约字符串。plain‘n‘simple第一个完成了这项任务，表明（text {拉约}

（835+96n）》2 up arrow up arrown）。[10]当然，还有许多早期改进有待完成，例如:12AbBa（吴宗舒）剃掉（文本{拉约}（728+75n）》2向上箭头向上箭头n），和最喜欢p进的bot然后获得（文本{拉约}（731+65n）》2向上箭头向上箭头n）。最后，通过Plain‘n‘simple的各种努力進大好きbot和Ytosk后来证明（text {拉约}（260+20n）》2上箭头上箭头n），这是一个更好的界限。[11][12][13][14]因此： 开始{eqnarray*} 正文{拉约}（320）&》& 16 正文{拉约}（340）&》&65536 正文{ rayo }（360）&》&2^{65536} 正文{ rayo }（380）&》&2^{2^{65536}} end{eqnarray*}

18

16

14

12

10

8

6

4

2

⤴

0

0 50 100 150 200 250 300 350

使用这些界限，我们可以创建一个拉约函数的已知界限图，如右图所示。请注意，这有点不准确，因为这些点不应该由一条线连接起来，而是该图应该看起来有点像地板函数。Emk已经表明（text { rayo }（7901）》text{s}(2^{65536}-1），其中（text { s }（n））是最大位移函数。[15]然而，由于他的博客文章使用了一个过时的Rayo字符串来表示（2^{65536}），因此界限并不那么牢固。使用最新的边界可以确定（text { rayo }（7339）》text{s}(2^{65536}-1）。解释2我们将以贝里悖论：让x是大于最多15个英语单词可定义为“大于最多15个英语单词可定义的所有1的最小自然数。”我们刚刚定义了x最多使用15个英语单词x不能大于所有最多可用15个英语单词定义的自然数。这是一个矛盾。悖论的根源在于“可定义”一词的模糊性，更根本的是英语本身的模糊性。拉约函数通过将英语替换为名为一阶集合论（福斯特）。福斯特是一种语言一阶逻辑以冯诺依曼宇宙为领域。具体来说，FOST能够描述集合成员关系，量化整个领域，并应用逻辑运算符。上面给出了这种工作方式的本质细节。我们修补了导致贝里悖论的漏洞，得到了拉约的如下定义（n），即：大于所有自然数的最小自然数，最多可由FOST表达式唯一标识n标志这个悖论现在已经消失了，因为可定义性已经被一种形式语言所取代。

福斯特受塔尔斯基不可定义定理，它说我们不能正式定义真理，更不用说可定义性了，所以FOST不能像英语调用英语那样调用FOST。讨论公理为了使用集合论定义自然数，我们需要确定在什么公理下定义它。雷欧数定义中的一个问题是拉约没有阐明公理。在数学中，只要我们在（textrm{ZFC}）集合论中工作，我们传统上就忽略我们在其中工作的公理的声明。按照传统，一些谷歌学家认为Rayo数定义在（textrm{ZFC}）集合论中，或者与公理无关，但这是错误的。至少，由于（文本{ZFC}）集合论不能在冯诺依曼宇宙中形式化真值谓词，除非我们根据可证明性来解释雷欧数的定义，否则雷欧数在（文本{ZFC}）集合论中是难以定义的。即使我们以这种方式解释定义，得到的大数也不会明显大于（例如）（Sigma(10^{100}）（其中（σ）是繁忙的海狸函数），因为使用图灵机的终止信息可以判定递归可枚举理论中的可证明性。为了大大超越忙碌的海狸函数，我们必须放弃可证明性，并在特定模型中谈论真理，只要（文本{ZFC}）集合理论是一致的，该模型的存在在（文本{ZFC}）集合理论下是不可证明的。另一方面，FOST只是一种形式语言，根据定义它与公理无关，但这并不意味着Rayo数与公理无关。FOST与公理的不相关性或Busy Beaver函数与Rayo数定义的基于证明的解释之间的关系可能是Rayo数与公理无关的误解的主要原因。正如拉约所写的那样，他使用二阶集合论来形式化原始描述中的原始语义词汇，Rayo数是在二阶集合论的某些公理下定义的，这些公理尚未阐明。在不可计算的googology中澄清公理是很重要的，因为不可计算的大数只有在共享其定义中使用的公理时才能相互比较。幸运的是，有许多二阶集合论公理的选择使我们能够定义雷奥数。作为结论，Rayo数对于不关心公理澄清的谷歌人来说是定义良好的，而对于关心公理澄清的谷歌人来说是定义不良的。这就是为什么这篇文章属于类别：不完整。

2020年，拉约对处理Rayo号码的方式增加了以下新描述：[1]注意哲学家有时会对集合论做出现实主义的解释。根据这种解释，集合论表达式具有“标准”含义，它为语言的每个句子确定一个确定的真值，而不管原则上是否可能知道这些真值是什么。（例如，参见范恩·麦基的这篇文章。）在比赛期间，亚当和我想当然地认为（二阶）集合论的语言是标准解释的，这保证了最终条目对应于一个确定的数字。如果语言被解释为基于公理系统，最终条目将是无效的。

这是因为该语言的每一个（一致的）公理化都有不同的模型，并且无法保证最终条目对应于不同模型的相同数字。这意味着拉约认为集合论公式的哲学“解释”与现实世界中的“真理”有关，这在数学中是不可形式化的，并且不打算对公理进行特定的选择。它是数学之外的社会学的合理方向之一。另一方面，最后一句话中的问题看起来像是一个借口，解释为什么他们认为不可形式化的“真理”是理所当然的，但这没有意义，因为给定数值对模型的依赖性与“无效性”无关。在数学中，有许多定义明确的概念不是绝对的，即取决于模型，例如唯一的自然数（n）满足（（text{CH}到n= 0）land（neg text { CH }到n=1）。在googology中，有许多取决于模型的大数，例如Busy Beaver函数值，特别是（S（1919）），其中（S）表示最大移位函数。在大数决斗中，没有规则禁止依赖于模型的数，事实上它甚至允许跳过修复公理。历史当雷欧数被定义时拉约和埃尔加的数字对决受到了文章中描述的大量数字竞赛的启发“谁能说出更大的数字？”作者斯科特·阿伦森。在Rayo数被定义后2013年1月，亚当·p·古彻声称（文本{拉约}（n））的增长速度比他的xi函数。[16]然而，事实证明这一说法是错误的。[注3]2013年10月，鱼清晰的7号鱼作为Rayo号码的扩展。[注4]7号鱼与Rayo号鱼有相同的问题，这在公理部分。

2014年10月，Wojowu清晰的大脚使用n阶集合论的非朴素扩展，一阶oodle理论，它被誉为最大的命名数。[注5]然而，大脚原来是2018年界定不清。目前，所有最大的命名数字都共享相同的拉约函数概念，即指自然数的可命名性，以及所有非朴素扩展，如英尺函数。作者数字是由谁发明的奥古斯丁·拉约博士他于2001年在麻省理工学院获得博士学位，是该校语言学和哲学副教授（当时他创造了Rayo数）。[19]

请参见Rayo数在维基百科上。

忙碌的海狸大脚小比格登大数花园数不可计算的函数脚注↑ 实际上，如果（f）是在拉约函数的定义中假设的二阶集合论的一阶段中可定义的函数，则谓词（m = f（n））的定义公式（Phi（n，m））给出（text {拉约}（n））的组成的下界以及依赖于被视为（n）上的函数的（exists m 6528 其中（ulcorner n urcorner）是一阶集合论语言中（n）的固定形式。↑ 然而，拉约函数自然可以被（f _ alpha（n））超越，用于快速增长的层次结构中的一些可数（alpha），该层次结构配备了序数的固定基本序列系统（leq alpha）。实际上，它相对于基本序列（ω【n】=文本{拉约}（n））增长了（f _ {ω}（n）。↑ 古彻误解了拉约函数的定义，认为它是“能用n个符号唯一表示的最大整数”一阶算术（语言阿砣算术).".这二阶算术强得多，一阶集合论甚至比它更强。一阶算术的论域是自然数，但一阶集合论的论域被定义为整个冯诺依曼宇宙的集合。事实上，可以证明拉约函数比xi函数强得多。↑ Cookiefonster写道，“尽管Rayo的数量在2013年被超过7号鱼这个数字是否是一个足够好的扩展，可以被视为打破了记录，这是有争议的。",[17]即使后来发现[18]没有人认为7号鱼是一个天真的延伸。注意，Cookiefonster只是同意Vel的观点！，还有Vel！说7号鱼不是一个天真的延伸。↑ 简单的扩展比如text{FOST}^{100}(10^{100}）哪里递归/iteration notation is used are not honored as breaking the record of Rayo's number.

参考↑1.0 1.1 1.2 A.拉约，《大数对决》，2007年↑ 米（meter的缩写））t .曼扎里，“教授们在大数决斗中一决雌雄”，《技术》，第126卷，第64期，2007年↑ A.拉约,“大数字的决斗”,研究和科学,没有。383,科学出版社,2008年。↑ A.拉约，“可选:大数决斗”，在悖论的边缘，麻省理工学院出版社，2019年↑ 简单明了，拉约（n）为0的证明，谷歌百科用户博客。↑ Emk，拉约（10）正好是1（不是下限），谷歌百科用户博客。↑ 简单明了，证明拉约（n）在10到19之间为1，谷歌百科用户博客。↑ Ytosk，拉约函数值界的小改进，谷歌百科用户博客。↑ Ytosk，拉约函数值界的小改进，谷歌百科用户博客。↑ 简单明了，返回65536的拉约字符串，谷歌百科用户博客。↑ 简单明了，65536的一个更短的拉约名字:谁需要有序配对？，谷歌百科用户博客。↑ p進大好きbot，65536的拉约名称，谷歌百科用户博客。↑ Ytosk，65536的拉约名称，包含346个符号，谷歌百科用户博客。↑ Ytosk，拉约函数值界的小改进，谷歌百科用户博客。↑ Emk，一个比BB(10^100更大的Rayo名字），谷歌百科用户博客。↑ 亚当·古彻。ξ函数。检索于2013年3月21日。↑

cookiefonster 2015年7月31日编辑↑ talk:Fish _ number _ 7 # Fish number 7是Rayo数的天真扩展吗？↑ 麻省理工学院哲学系:奥古斯丁·拉约。检索于2013年2月。无法计算的数字忙碌的海狸数量（基于图灵理论）: （适马，1919年）（第1919个忙碌的海狸号）4号鱼（Xi(10^6）（西格玛_{ infty}(10^9））拉约的数字（基于集合论）: 雷奥数（拉约（10100))7号鱼大脚（英尺10(10100))小比格登北美野人大数花园数杂项: 霍伦的号码遗忘完全被遗忘（最终遗忘)

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