勒文海姆-斯科伦定理蕴含选择公理

证明：勒文海姆-斯科伦定理是指“如果语句 ψ 存在可数模型 M ，那么对于任意无穷势 κ≥|M| 都存在模型 Mκ ⊨ Γ ”。我们证明勒文海姆-斯科伦定理蕴含 κ²≈κ ，其中 A 是无穷集合：定义语句 ψ 为

∀x，y，z，x′，y′，z′(P(x，y，z)∧P(x，y，z′)→z=z′)∧∀x，y∃zP(x，y，z)

不难看出 M⊨ψ 当且仅当存在 M² 到 M 的单射。由于 ω⊨ψ ，根据勒文海姆-斯科伦定理，任意无穷势 κ 都有 κ²≈κ ；又因为κ²≈κ→AC ，因此定理成立。注意到在选择公理不成立的情况下，一个集合的势是由所有与其存在双射的集合构成的类中秩最小的那些集合构成。 ⊣

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