数学联邦政治世界观
超小超大

特殊篇章(数学解释)六

σ完全性和超幂模型的秩:

我们知道如果 S 是一个集合且 U 是 S 的一个超滤,那么 V≺Vˢ/≡U ,但 Vˢ/≡U 是一个有秩的模型吗?关于这个问题我们有如下定理:

定理: U 是 σ 完全的,当且仅当 VS/≡U 有秩的。

证明:假设 U 是 σ 完全的,如果 Vˢ/≡U 是无秩的,那么存在一组函数 {fₙ}ₙ<ω 满足 {x∈S:fₖ₊₁(x)∈fₖ(x)}∈U ,因为 σ 完全性,那么 ⋂ₖ∈ω{x∈S:fₖ₊₁(x)∈fₖ(x)}∈U ;因为 ∅∉U ,因此存在 x∈S 满足 f₀(x)∋f₁(x)∋⋯ ,这与 V 的正则公理矛盾,反证 Vˢ/≡U 有秩。

假设 U 不是 σ 完全的,那么存在 {Aₙ}ₙ∈ω 满足 Aₙ∈U∧⋂ₙ Aₙ ∉ U ,设 Bₙ=Aₙ − ⋂ᵢ∈ω Aᵢ ,那么有 Bₙ∈U∧⋂ₙ Bₙ=∅ ;进一步设 Cₙ=⋂ᵢ≤ₙ Bᵢ ,那么有 Cₙ∈U∧⋂ₙ Cₙ =∅∧Cᵢ ⊇Cᵢ₊₁ 。

定义函数 gᵢ:Cᵢ → ω ,其中 gᵢ(x)=min{k−i:x∉Cₖ} ,对于其它 x∈S−Cᵢ,我们有 gᵢ(x)=0 。注意到 gᵢ₊₁(x)∈gᵢ(x) 当且仅当 x∈Cᵢ ,因此 {x∈S:gᵢ₊₁(x)∈gᵢ(x)}∈U ,则 [g₀]∋*[g1]∋* ⋯ 在 Vˢ/≡U 成立,因此 Vˢ/≡U 是无秩的,定理成立。 ⊣

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(笔尖小说网http://www.bjxsw.cc),接着再看更方便。

相关小说

锦年金缘 连载中
锦年金缘
浅和苏
很多年后,众人才知道,那年他们的遇见,早已注定……
0.6万字5个月前
还好不算晚 连载中
还好不算晚
万花飘落
喜欢点点收藏呗!➤师徒文➤非穿越➤短文
1.2万字3个月前
神修大陆 连载中
神修大陆
唐朝汐
在这个神修的大陆,法术强者为王的大陆上,有无数宗门和学院,可是有这么一个宗门他们以蝶为主,以音为辅,以扇为攻,宗门里的亲生血脉者刚会有一种特......
8.0万字2个月前
小品一家人观影小品的各种身份 连载中
小品一家人观影小品的各种身份
彩虹神探警长
这里,小品一家人会观影身为学渣的小品的各种身份。
4.7万字2个月前
深妖姬之三面妲己 连载中
深妖姬之三面妲己
都值得我前进
婠音妲曦,她是被三面妲己重生转世后尚未形成人形的一只九尾狐女妖的妖体给附体的一位銀朝邻国婠音国公主
0.1万字1个月前
星缘栀子 连载中
星缘栀子
是洛小允吖
初恩映月栀黎凝香
1.6万字5天前