特殊篇章（数学解释）七

“存在强紧基数”→“V≠L[A]”：

我们知道可测基数的定义是“存在正规完备的超滤子 U ”，并且还有一个等价定义“存在非平凡初等嵌入 j：V≺M ”。在超幂模型 M 中 j(κ) 是可测基数，但在集合论宇宙 V 中 j(κ)＜(2κ)⁺并且 U∉M ，因此 Vκ+2⊈M ，因此我们有理由认为可测基数上的超滤诱导出的超幂模型 M 没有充分逼近 V 。如果我们希望 M 足够逼近 V ，我们就必须用更强的大基数公理，那么如何对可测基数进行扩充呢？有两种方法：组合方法和初等嵌入的方法，前者试图推广可测基数的超滤子的组合性质，后者试图让初等嵌入 j 向 M 中加入足够多的集合。本文主要考察前者。

先来看满足 κ 可加性的理想 Pκ(λ)＝[λ]＜κ ，显然 κ⊂Pκ(λ) 。现在我们定义一些新的概念： U⊂P(Pκ(λ)) 是精良测度，当且仅当， U 是 κ 完全的且对于任意序数 α＜λ 都有 {x⊂Pκ(λ)：α∈x}∈U ；称 U⊂P(Pκ(λ)) 是正规测度，当且仅当， U 是精良测度且对于任意 A∈U 和函数 f：A→λ ，都存在 γ＜λ 满足 {x∈A：f(x)＝γ}∈U 。

我们称 κ 是 λ 强紧基数（stong compact cardinal），当且仅当 λ≥κ 且 Pκ(λ) 上存在精良测度；称 κ 是强紧基数，当且仅当对于 λ≥κ ， κ 都是 λ 强紧基数。称 κ 是 λ 超紧基数（supercompact cardinal），当且仅当 Pκ(λ) 存在正规测度；称 κ 是超紧基数，当且仅当对于 λ≥κ ， κ 都是 λ 超紧基数。

在本文中，我们并不会直接使用强紧基数和超紧基数的定义做证明，而是会使用它们的等价形式。

引理 1 ： κ 是强紧基数当且仅当任何集合 X 上 κ 完全的滤子可以扩张为一个 κ 完全的超滤子。

引理 2 ： κ 是超紧基数当且仅当对于任意基数 λ≥κ 都存在非平凡初等嵌入 j：V≺Mλ 满足 j(κ)＞λ 且 Mλ 对长度为 λ 的序列封闭。

Magidor曾经证明了“最小的可测基数可以是最小的强紧基数”，即该命题与 ZFC 是一致的，但强紧基数和超紧基数能推出更强的组合性质，这就是对 κ 上的超滤子的推广到 Pκ(λ) 上的超滤子带来的收益。

定理：如果存在强紧基数 κ ，那么对于任意集合 A 都有 V≠L[A] 。

证明：由于选择公理成立，因此我们不妨假设 A⊂Ord 且 ⋃A≤λ （设 λ≥κ ），令 F＝{x⊆λ⁺：|λ⁺－x|≤λ} ，显然 F 是一个 κ 完全的滤子（其实是 λ⁺ 完全），根据引理 1 ，令 U⊃F 是 λ⁺ 上的 κ 完全的超滤子，因此我们可以根据 U 定义 V 的超幂模型 M 。

下面我们定义 V 的一个新的超幂模型 N ：称 f：λ⁺ → V 满足 |ran(f)|≤λ 性质的函数为“小值域函数”，定义小值域函数上的关系 ∈*_： {α＜λ⁺：f(α)∈g(α)}∈U 当且仅当 [f]_∈*_ [g]_，其中 [f]_＝{h∈Vλ⁺：|ran(h)|≤λ∧f＝*_ h}

。令 N 有全体小值域函数经由 U 诱导出的超幂模型，类似地，我们有 N⊨ψ([f₁]_，⋯，[fₖ]_) 当且仅当 {α＜λ⁺：ψ(f₁(α)，⋯，fₖ(α))}∈U ，其中 f₁，⋯，fₖ 都是小值域函数。进一步地，令 f₁，⋯，fₖ 是小值域函数，那么

[f] ∈* [g] ↔ [f]_ ∈*_ [g]_ ，因此对于任意公式 ψ 都有 M ⊨ ψ([f₁]，⋯，[fₖ]) 当且仅当 N ⊨ ψ([f₁]_，⋯，[fₖ]_) ，事实上， s：N≺M 是初等嵌入，其中 s([f]_)＝[f] ，特别地 s(i(x))＝j(x) 。

假设 V＝L[A] ，那么令 M=L[j(A)] 和N=L[i(A)] ，其中 j：V≺M 和 i：V≺N 。由于 λ⁺ 是正则基数，因此 f 如果是小值域函数且 ran(f)⊆λ⁺ ，那么 ran(f) 在 λ⁺ 中有界，即 [f]_∈*_ [cα]_，α＜λ⁺ ，因此 i(λ⁺)＝⋃α＜λ⁺ i(α) ；但与此同时，由于 id：λ⁺ → λ⁺ 满足 [cα] ∈* [id]∈[cλ⁺] ，因此 j(λ⁺)＞⋃α＜λ⁺ j(α) ，因此 j(λ⁺)＞i(λ⁺) 。进一步注意到：对于任意 ξ＜i(λ⁺) 都有 s(ξ)＝ξ 且 s(i(A))＝j(A) ，因此 j(A)＝i(A) ，则有 M＝L[j(A)]＝L[i(A)]＝N ，定理成立。 ⊣

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