特殊篇章（数学解释）十

序数可定义集合

哥德尔曾对自己提出的可构成集宇宙 L 表示怀疑，认为它距离集合论宇宙 V 距离太远，毕竟 L 自下而上的构造方式与集合论宇宙 V 的极大丰富特性不相符，为此，哥德尔提出了一个不是自下而上的构造、而是利用序数类整体来定义的类，叫做“序数可定义集合类”。称一个集合 α 是序数可定义的，当且仅当 ψ(α→，α)∧∃!xψ(α→，x) ，其中 α→∈Ordⁿ 。令全体序数可定义集合构成的类是 OD 。注意到，由于 Ord＜ω 有一个可定义的良序，且我们可以枚举全体集合论公式 ϕ₀，ϕ₁，⋯，因此存在一个可定义的类函数 F：Ord→OD 且 F 是双射，换言之， OD 上有可定义的良序；同时注意到如果 G 是 Ord 的可定义函数，那么 ran(G)⊆OD

定理 1 ：令 cl(X) 表示集合 X 的哥德尔闭包，那么 OD＝⋃α cl({Vᵦ：β＜α}) 。

证明：注意到： X 的哥德尔闭包等价于 X 的全部 Δ₀ 公式定义的子集构成的集合； Δ₀ 公式对任何传递模型绝对；类函数 α↦Vα 是唯一且可定义的；对于任意公式 σ ，都存在序数 δ 满足 Vδ≺σV ，不难验证定理成立。 ⊣

遗憾的是， OD 并不一定是传递类：假设 V≠OD ，那么 x∉OD∧x∈Vα∧Vα∈OD ，因此 Vα ⊈ OD 。这要求我们找到一个类，它是传递的且保持 OD 的全局定义性，事实上，我们只需稍作修改 OD 的定义就能得到满足要求的类：，我们称一个集合 x 是遗传序数可定义的，当且仅当 ∀y∈TC({x})(y∈OD) 。我们将全体遗传序数可定义集合构成的类成为 HOD 。

HOD 有以下良好的特性：第一它是传递的：假设 y∈x∈HOD ，那么 {y}⊆x ，显然 ∀z∈TC({y})(z∈OD) ，因此 y∈HOD 。第二： α∈HOD 当且仅当 α∈OD∧α⊂HOD ：从左向右是显然；如果 α∈OD∧α⊂HOD ，那么 {α}∈OD 且如果 b∈TC({α}) ，那么存在 c∈α∧b∈TC({c}) ，由于 c∈HOD ，因此 b∈OD ，则 α∈HOD ；第三： Vα∩HOD∈HOD ，这是因为前者等价于全体 A＝{x：x∈Vα∧∀y∈TC({x})(y∈OD)} ，因此 A∈OD 且 A⊆OD ，则有 Vα∩HOD∈HOD 。 ⊣

定理 3 ： HOD 是 ZFC 传递模型。

证明：由于 HOD 是内模型，只需证明 HOD 对哥德尔运算封闭、是几乎全的、满足选择公理。假设 Δ₀ 公式 χ(x) 和 X∈HOD ，令 Y＝{x∈X：HOD⊨χ(x)} ，由于公式的绝对性， Y＝{x∈X：χ(x)} ；由于 X 和 X 的元素都是序数可定义的，因此 Y 和 Y 的元素也是序数可定义的，且 TC({Y}) 的元素也都是序数可定义的，因此 HOD 对哥德尔运算封闭。

假设 X⊂HOD 且 X 是集合，令 X∈Vα ，那么 X⊆Vα∩HOD 且 Vα∩HOD∈HOD ，因此 HOD 是几乎全的。

令双射 F：OD→Ord ，对于任意 Vα∩HOD ，都有一个序数子集 X 满足 F⁻¹[X]＝Vα∩HOD ；由于对于任意序数 γ 都有 F|γ∈OD ，因此 F|γ∈HOD ，则 Vα∩HOD 在 HOD 中有可定义良序，最终 HOD ⊨ AC 。 ⊣

定理 4 ： HOD 是所有 ZF 的内模型中、满足“序数和元素之间存在一一对应关系”性质的最大的内模型。

证明：首先注意到：定义类函数 G ， G(α)＝F(α) 当且仅当 ∀y∈TC({F(α)})，∃γy，(F(γy)=y) ，令 H 是 G 的传递化映射 π 的像，则 H 是双射且 dom(H)＝Ord∧ran(H)＝HOD 。假设 Φ 是可定义的、定义域是序数类的类函数，那么 ran(Φ)⊆OD＝ran(F) ，由于 ran(Φ) 是 ZF 传递内模型，因此对于任意序数 α ， ∀y∈TC({Φ(α)})，∃γy，(Φ(γy)＝y) ，则有 ran(Φ)⊆ran(H)＝HOD ，因此定理成立。⊣

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