（数学逻辑）篇章

Ω-逻辑具有Ω-完备的力量，引入Ω-猜想我们便可获得Ω-可判定 见证一切Ω-真命题是Ω-可证的

Ω-逻辑是用于谈论脱殊绝对性的无限逻辑

它的语义域是整个脱殊复宇宙，语法域是通用波莱尔集

通用波莱尔集的具体定义很复杂，简单来说就是ω^＜ωₓ^λ＜ω的某些子集，其中λ是某些序数，可以任意高所以Ω-逻辑的证明编码的基数可以是任意大的不可数基数

如果Ω-猜想成立，Ω逻辑使可以见证任意大的模型中包含的任意大基数，并将各种大基数公理以Wadge证明秩的深度分“强弱，重新衡量大基数的强度

武丁在Ω-猜想的视角下重新定义了“大基数”，他定义：一个性质是大基数性质，是在说：

1.P(a)断言了序数a是强不可达基数

2. P是Σ2的

3. P是不能被“小力迫”改变的

既然独立于ZFC的命题在一些模型里成立，在另一些模型里不成立，我们可以挑选一些自然的有意义的模型作为我们的检测模型(test structures ),研究在检测模型里成立的命题。

这在本质上是定义一种强逻辑，在所有检测模型里成立的命题就是强逻辑下有效的命题。

逻辑就是一种强逻辑，用它可以更好地刻画脱殊绝对性。

逻辑令T是语言 ＿set中的语句集，为语句，我们定义σ是T的Ω逻辑后承，符号表示为T⊨＿Ωσ,如下：对任意完全布尔代数 ,任意序数α,如果Vαᴮ=T,则Vαᴮ⊨T.

特别地，如果T是空集，则σ称是Ω有效的，记作⊨＿Ωσ

⊨＿Ωσ这一概念的一个十分重要的性质是：假设存在武丁基数的一个真类，则关系⊨＿Ω对任意脱殊扩张是绝对的，即对任意可数语句集T,任意语句σ，以及任意 ：

T⊨＿Ωσ当且仅当Vᴮ⊨“T⊨＿Ωσ”

我们可以用以下概念重新塑述脱殊绝对性：

Ω完全的：

令T是理论而S是一语句集，则称T相对于S是Ω完全的当且仅当对任意σ∈S,T⊨＿Ωσ或T⊨＿Ω¬σ

所以，事实ω₁二就是说：假设存在武丁基数的真类，则ZFC相对于S={“H(ω₁)⊨σ”是语句}是Ω完全的。

但不幸的是，任何已知的大基数公理都不能生成对于H(ω₂)的完全理论，因此也不能证明H(2ω₂)的脱殊绝对性。

这正是关键的问题。

要定义Ω逻辑的证明概念⊢Ω需要很多技术的细节，我们在此省略。

事实上，一个证明是实数的一个子集，而重要是如果假设存在武丁基数的真类，也是脱殊不变的。

而且

可靠性假设ZFC,令T是可数理论，是语句φ，则T⊢＿Ωφ蕴涵T⊨＿Ωφ.

武丁还猜想在大基数假设下，Ω逻辑是完全的：

Ω-猜想：

假设ZFC并且存在武丁基数的真类，则对任意语句φ，蕴涵⊨＿Ω φ

武丁还猜想在大基数假设下，Ω逻辑是完全的：

Ω-猜想：

假设ZFC并且存在武丁基数的真类，则对任意语句φ，蕴涵⊨＿Ω φ

这被证明是一个强有力的命题，因为我们可以证明：

定理假设存在武丁基数的真类，并且假设猜想成立，则

1.存在一个公理A,ZFC+A是Ω可满足的，即，它的否定不是有效的；并且ZFC+A对于H(ω₂)是Ω完全的

2.任何这样的公理A满足：

ZFC+A⊨“H(ω₂)⊨ ¬CH”

这就是说，如果存在武丁基数的真类并且Ω猜想成立，则存在一个H(ω₂)的Ω完全理论，并且所有这样的理论都包含连续统假设的否定。

最近的结果表明这样的A不是唯一的。

不过武丁确实找到了一条这样的公理的实例。

Ω猜想如果不成立，那一定是因为某个大基数公理，而且这个大基数公理超出了现有内模型计划。

所谓“内模型计划”指的是构造一个类似于L的模型，在其中某个大基数公理成立。

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