柯尼希定理与柯西不等式

用具有物理意义的方法证明柯西不等式的一般形式。

由一维非弹性碰撞（动量守恒下的耗散系）得出柯西不等式的方法。我开始觉得很有意思，后来仔细想了想，感觉这还不够深刻，造成第一个不等式出现的推演才是证明的关键。

系统动量守恒导致质心动能不变，而质心平动系中系统动能（资用能）的最小值为零，当且仅当各质点在质心系中速度为零，或等价于地面系中各质点速度相等时能取到。

显然，上述系统动能的分解和柯尼希定理有着密切的关系。想了想发现柯尼希定理其实就是把不等式补充一个松弛变量，然后证明这个松弛变量非负，不等式就被证明了。因为柯尼希定理也是通过数学方法得到的，不敢说证明是用的物理方法，但如果说证明过程具有一定物理意义，我想还是可取的。

用具有物理意义的方法证明柯西不等式的一般形式

质点系的动能之和表述为：(其中mᵢ ≥ 0)

1 1 1

Eₖ＝[Σ─mᵢνᵢ²]＝─── [Σ mᵢ}{Σmᵢνᵢ²]＝──

2 2 Σ mᵢ ᵢ ᵢ 2 Σ mᵢ

ᵢ ᵢ

[Σ（±√mᵢ）²][Σ（±√mᵢνᵢ）²]

ᵢ ᵢ

由柯尼希定理（力学中描述质点系动能组成的定理，这里可直接由vᵢ＝vᵢ'＋vc代入系统动能表达式证明）： Σmᵢνᵢ

1 1 ᵢ

Σₖ＝─[Σmᵢ]νc²＋Σ─mᵢνᵢ'²，其中，νc──，

2 ᵢ ᵢ 2 Σmᵢ ᵢ

νᵢ'＝νᵢ — νc，代入得：

Σmᵢνᵢ

1 ᵢ 1 1

Σₖ─[Σmᵢ][──]²＋Σ─mᵢνᵢ'²＝──[Σ±√mᵢ·±

2 ᵢ Σmᵢ ᵢ 2 2Σmᵢ ᵢ

ᵢ ᵢ

1

√mᵢνᵢ）]²＋Σ─mᵢνᵢ'²

ᵢ 2

上式第二项表示质心系中质点动能之和（资用能），显然其必取非负值，当且仅当νᵢ＝νⱼ时，资用能为零。改写为不等式，即有：

1 1

───[Σ（±√mᵢ）²][Σ（±√mᵢνᵢ）²] ≥ ── [Σ

2 Σmᵢ ᵢ ᵢ 2Σmᵢ ᵢ

ᵢ ᵢ

（±√mᵢ · ±√mᵢνᵢ）]²，当且仅当νᵢ＝νⱼ时，等号成立。

令αᵢ＝±√mᵢ，bᵢ＝±√mᵢνᵢ，换元后便可得到柯西不等式的一般形式：

αᵢ αⱼ

[Σαᵢ²][Σbᵢ²] ≥ [Σαᵢ · bᵢ]²，当且仅当─＝─ 时，

ᵢ ᵢ ᵢ bᵢ bⱼ

等号成立。

注：柯尼希定理实则将不等式左侧拆分成右侧待证最小值与一个松弛变量之和，该松弛变量的非负性是显然的，从而变相证明了柯西不等式。

想象质量为m₁，m₂，. . . 的分层粘性流以速度υ₁，υ₂，. . . 平行运动，过了一段时间后，粘性使得各层间的速度相等了.动量是守恒的（所有的应力都是内部的），因而，在所有速度相等后的公共速度〈υ〉由 Σᵢ mᵢ υᵢ＝Σᵢ mᵢ〈υ〉给出.另一方面，能量是耗散的，因而在粘性均等后动能必定不大于¹⁾之前的动能：

1 1

Σ─mᵢυᵢ² ≥ ─ Σmᵢ〈υ〉²，

ᵢ 2 2 ᵢ

写出〈υ〉的表达式，并消去分母，即得

Σmᵢ Σmᵢυᵢ² ≥ (Σmᵢυᵢ)².

ᵢ ᵢ ᵢ

现在对所有i，用m²ᵢ代替mᵢ，再用υᵢ/mᵢ，代替υᵢ，其结果

Σmᵢ² Συᵢ² ≥ (Σmᵢυᵢ)²

ᵢ ᵢ ᵢ

就是Cauchy-Schwarz不等式.

诸速度 υ₁，υ₂，. . . 可以有任意符号.质量本应为正，但在 mᵢ → —mᵢ，υᵢ → —υᵢ 之下（当改变 mᵢ 的符号时，对相同的指标 i 同时改变 υᵢ 的符号），上述不等式是不变的，因而对于任意符号的 m₁，m₂，. . . 不等式仍成立，由连续性，当有 mᵢ 为零时不等式也成立.

等式在何时成立呢？答案：当所有层在开始时已经以相同速度 υ₁＝υ₂＝· · · 运动，此时各层之间没有摩擦力（应力），也没有能量耗散.通过上面的变量替换，这实际上是 υ₁/m₁＝υ₂/m₂＝· · ·，即当向量（υ₁，υ₂，. . .）和（m₁，m₂，. . .）互相成比例时.

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