【离散数学-集合论】无穷集合的基数

目录 ▹

前言 ▹

正文 ▹

基数的基本概念 ▹

康托定理和康托-伯恩斯坦定理 ▹

参考 ▹

正文

基数的基本概念

基数的定义

定义1. 没A为集与A对等 · · · 的所有集均赋予1个记号α，則α称为A的基数，记作 |A| 定义1'设A为集，则与A对等的所有集形成的集族行为A 的基数！

这定义太抽象了。

基数的比较

if A~B

大hen x＝β

定义2.α，β是A，B的基数，if A与B的真子集对等.但A与B不对等 則行 α 山 于β.记作α＜β

α，β是集合A，B的基数，如果A与B的真子集对等，但A与B不对等，则称α小于β，记做α＜β。若A与B对等，则记做α＝β。

这里补充一下吉大对于基数的定义

定义

定义1.3.7

❖设A，B是任意两个集合。

（1）称A的基数小于等于B的基数，记为|A|≤

|B|，如果有A到B单射σ或有B到A满射σ。

（2）称A的基数小于B的基数，记为|A|＜|B|，如果|A|≤|B|且|A|≠|B|。

若是无穷集，就不能用数个数来比较元素个数多少了，而是通过单射，满射，一一映射来进行规定。注意！若仅有A到B的映射，不能说明|A|和|B|之间的关系。

当有A到B的单射σ，直观上来讲x₁，x₂∈A且x₁≠x₂时，必然有y₁≠y₂，所以|A|＝|σ(A)|，即A和值域σ(A)是等势的，而σ(A) ⊆ B，故而定义 |A| ≤ |B| 是合理的。

A．→．B

．→．

．→．

．

当有B到A的满射σ，直观上来讲任意y∈A，必然存在x∈B使得σ(x)＝y，关键在于可能并非存在唯一的x使得σ(x)＝y，故而定义|A| ≤ |B| 是合理的。

B．→．A

↙

．

．

↙

．

．

↙

．

❖即为：若A与B的某一子集有1-1对应关系，则|A| ≤ |B|：若A与B的某一子集有1-1对应关系，且A与B不存在1-1对应关系，则|A| ≤ |B|。

事实上，后来我发现存在A到B的单射⇔存在B到A的满射 ⇔ A与B的某子集存在一一对应关系。

B．→．A B．→．A A．→．B

．→． → ．→． → ．→．

．→． ← ．→． ← ．→．

↙ ．

．

（例一）B到A满射

（例二）A和B的子集存在——对应关系

（例三）A到B单射

故而上面哪个等价条件来定义|A| ≤ |B|都是一样的。

康托定理和康托—伯恩斯坦定理

康托定理

定理1.|M|＜|2ᴹ|

|M|＜|2ᴹ|。

老师的证明思路

[证] 1ˉ A⊂2ᴹ，N~A

A＝{{X}|x∈M}

2° M ~ ←╳ 2ᴹ 反证法假若不然則∃φ，φ：M→ 2ᴹ φ是双射∀x∈M，φ(x)∈2ᴹ φ(x)⊆M

∃b，φ(b)＝ф∈2ᴹ

∃g，φ(g)＝M∈2ᴹ

√

x ∈φ(x)───好元素

＜

x ⋶ φ(x)───坏元素

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

令T为M中所有坏元素之集

T⊂M. T∈2ᴹ

∃m∈M，使φ(m)=T

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

m好 ⇒ m坏！

{

m坏 ⇒ m好！

证明：

令A＝{{x}|x ∈ M}，显然A⊂2ᴹ且A~M。因此M与2ᴹ的一个真子集对等。

我们采用反证法证明M与2ᴹ不对等。

如若不然，必然存在一个双射φ：M → 2ᴹ。对于∀x ∈ M，必然有φ(x)∈2ᴹ，即φ(x) ⊆ M，对于x而言，必然是下面两种情况之一：x∈φ(x)，x∉φ(x)。

若x∈φ(x)，则定义x为好元素；若x∉φ(x)，则定义x为坏元素。令T为所有坏元素的集合，由于φ(x)是双射(这里利用的是满射性质)，故而必然存在α∈M，使得φ(α)＝∅∈2ᴹ，存在b∈M，使得φ(b)＝M∈2ᴹ，显然α∉∅，b∈M，故而α是坏元素，b是好元素，因此可得∅ ⊂ T ⊂ M。

由于φ(x)是双射(这里利用的是满射性质)，必然存在c∈M使得φ(c)＝T∈2ᴹ，若c是好元素，则c∉T，但根据坏元素定义可得c是坏元素；若c是坏元素，则c∈T，但根据好元素定义可得c是好元素。一个元素不能既是坏元素，也是好元素，即∀x∈M，不能同时属于T和M\T，由此导出矛盾。

因此M与2ᴹ不对等。

证毕！

康托——波恩斯坦定理

定理1.设A，B为集

f：A→B，g：B→A.

若f，g是单射.則A~B

我们知道存在A到B的单射，等价于存在A到B子集的一一映射，故而康托——波恩斯坦定理还可以表述为：假定A' ⊆ A，B' ⊆ B，若A ~ B'，B ~ A'，则A ~ B。

基数的三歧性定理

❖对任意集合A，B，或者|A|＜|B|，或者|A|＝

|B|，或者|B|＜|A|，且不能有两个式子同时成立。

参考

参考 哈尔滨工业大学的网课 集合论与图论课程主页

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