连续统基数

自然数集基数

定义自然数集基数：|N|＝ℵ₀。

（κ＜ℵ₀ ⇔ κ ∈ N）

自然数集基数运算

加法运算： ℵ₀＋ℵ₀＝ℵ₀

证明：令集合

A＝{αₙ|n ∈ N} B＝{bₙ|n ∈ N}，

A≈B≈N ⇒ |A|＝|B|＝ℵ₀ 。构建序列

c₂ₖ＝αₖ

(cₙ)∞ₙ₌₀＝{ 则

c₂ₖ₊₁＝bₖ

A∪B＝{cₙ|n ∈ N} ⇒ |A＋B|＝ℵ₀＋ℵ₀＝|C|＝ℵ₀，得证。

推论：n＋ℵ₀＝ℵ₀

证明：由

n＞0 ⇒ ℵ₀ ≤ n＋ℵ₀ ≤ ℵ₀＋ℵ₀＝ℵ₀ ⇒ n＋ℵ₀＝ℵ₀ 。

乘法运算： ℵ₀ · ℵ₀＝ℵ₀

证明：构建双射函数f：N² → N，

(m，n) (m＋n＋1)

f(m，n)＝─────────＋m。

2

详细证明参见：

推论：n · ℵ₀＝ℵ₀

证明：

n ≥ 1 ⇒ ℵ₀ ≤ n · ℵ₀ ≤ ℵ₀ · ℵ₀＝ℵ₀ ⇒ n · ℵ₀＝ℵ₀ 。

幂运算： (ℵ₀)ⁿ＝ℵ₀（乘法运算的推论）

连续统基数

（我们称实数集R 为连续统 Continuum）

定理

|R|＝|P(N)|＝|2ᴺ|。证明

1. 对 N 的子集构建 N → {0，1} 特征函数

0 n∈S

χₛ， ∀S ⊆ N χₛ(n)＝{ ，

1 n∉S

特征函数形成 P(N) 与 {0，1}ᴺ 的一一映射，因此 |P(N)|＝|2ᴺ|。

2. 通过 Dedekind Cut 定义实数为有理数集的分割 r＝(A，B) A，B∈Q，R 到 P(Q) 形成单射函数 ⇒ |R| ≤ |P(Q)|＝|P(N)|＝|2ᴺ|。（此处 Q 为可数集，与 N 等势，因此幂集基数相等）

3. 实数作为无限不循环小数可表示为仅包含 0，1 无限数列 (αₙ)∞ₙ₌₀ 形式，即 0.α₀α₁α₂α₃ . . . .(αᵢ＝0 1) ，形成 2ᴺ 到 R 的单射映射 ⇒|2ᴺ| ≤ |R| .

综合2，3，根据

Cαntor — Bernstein — Schroeder Theorem（定理相关笔记详见下方） |2ᴺ|＝|R|，综合1，2，3，|P(N)|＝|2ᴺ|＝|R| 。

运算性质

(a)

n＋2ℵ⁰＝ℵ₀＋2ℵ⁰＝2ℵ⁰＋2ℵ⁰＝2ℵ⁰(n∈N)

证明：

2ℵ⁰ ≤ n＋2ℵ⁰ ≤ ℵ₀＋2ℵ⁰ ≤ 2ℵ⁰＋2ℵ⁰＝2 · 2ℵ⁰＝2ℵ⁰⁺¹＝2ℵ⁰，根据Cαntor — Bernstein — Schroeder Theorem 得证。

(b)

n · 2ℵ⁰＝ℵ₀ · 2ℵ⁰＝2ℵ⁰ · 2ℵ⁰＝2ℵ⁰ (n∈N，n＞0)

证明：

2ℵ⁰ ≤ n · 2ℵ⁰ ≤ ℵ⁰ · 2ℵ⁰ ≤ 2ℵ⁰ · 2ℵ⁰＝2ℵ⁰ · 2ℵ⁰＝2ℵ⁰⁺2ℵ⁰＝2ℵ⁰，根据Cαntor — Bernstein — Schroeder Theorem 得证。

*** 推论 |R × R|＝|R|

(c)

(2ℵ⁰)ⁿ＝(2ℵ⁰)ℵ⁰＝nℵ⁰＝ℵ₀ℵ⁰＝2ℵ⁰(n∈N，n＞0)

证明：

2ℵ⁰ ≤ (2ℵ⁰)ⁿ ≤ (2ℵ⁰)ℵ⁰＝2ℵ⁰ ²＝2ℵ⁰，2ℵ⁰ ≤ nℵ⁰ ≤ ℵ₀ℵ⁰ ≤ (2ℵ⁰)ℵ⁰＝2ℵ⁰ ²＝2ℵ⁰

*** 推论： n 维实数空间 Rⁿ 的所有点集基数为 2ℵ⁰ 。

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