Kronecher定理

1.若θ ∈ ℝ – ℚ，α ∈ [0，1)， 则 ∀ϵ＞0，∃n ∈ ℤ，s.t│＜ϵ.

引理：

∀x，y ∈ ℝ，0 ≤ α {x}＋b{y}＜1 ⇒ α{x}＋b{y}＝{αx＋by}.

引理证明：

x＝[x]＋(x)，y＝[y]＋{y} ⇒ αx＋by＝(α[x]＋b[y])＋(α{x}＋b{y})

因为(α[x]＋b[y]) ∈ ℤ，且 0 ≤ (α{x}＋b{y})＜1，所以 α{x}＋b{y}＝{αx＋by}.

证明：对于序列{{kθ}}⁺∞ ₖ₌₋∞ ，断言 ∀k₁，k₂ ∈ ℤ，k₁ ≠ k₂，{k₁θ} ≠ {k₂θ} .

否则反设{k₁θ}＝{k₂θ} ，则 k₁θ – k₂θ＝k ∈ ℤ

k

⇒ θ ＝ ─── ∈ ℚ.

k₁ – k₂

矛盾，故

∀k₁，k₂ ∈ ℤ，k₁ ≠ k₂，{k₁θ} ≠ {k₂θ}.

1 1 2

[0，1)＝[0，─ )∪[ ─，─ )∪ · · · ∪[0，1)

n n n

因为{{kθ}}ⁿ⁺¹ₖ₌₁ 中各项两两不相等，所以由抽屉原理可以得 ∃n₁，n₂ ∈ {1，2，· · ·，n＋1}

1

，n₁ ≠ n₂，s.t.丨{n₁θ} – {n₂θ}＜─.

n

令 d＝|{n₁θ} – {n₂θ}|，则 ∀ϵ＞0

1 1

，∃N＝mαx{[─]，[───]} ∈ ℕ，

2ϵ 2(1 – α)

[公式]

1

|l|{n₁θ} – {n₂θ} | – α|＜─ ⇒ l|{n₁θ} – {n₂θ}

2n

1

│＜─＋α＜1.

2n

i.当l＝0 时： |α|＜ϵ.

∀ϵ＞0，∃0 ∈ ℤ，s.t|{0θ} – α|＜ϵ.

ii.当l ≠ 0 时：由引理可得

{{l(n₁ – n₂)θ}，{n₁θ}＞{n₂θ}，

l|{n₁θ} – {n₂θ}│＝ ：＝{lmθ}.

{l(n₂ – n₁)θ}，{n₂θ}＞{n₁θ}.

|{lmθ} – α|＜ϵ，lm ∈ ℤ.

命题1成立.

2.Kronecher定理:若θ ∈ ℝ – Q，α ∈[0，1)， 则∀ϵ＞0，∃n ∈ ℕ，s.t. | {nθ} – α|＜ϵ.

证明：若∀ϵ＞0，∃n₁ ∈ ℤ – ℕ⁺ ∨ ℕ，s.t. |{n₁θ} – α|＜ϵ.

|{n₁θ} – α|＜ϵ ⇔ |{n₁θ} – α|＜ϵ ⇔

│– {–n₁θ}＋1 – α|＜ϵ ⇔ |{–n₁θ} – (1 – α)|＜ϵ.

由于 α 是区间 [0，1] 上的任意一个实数，所以 1 – α 也是区间 [0，1] 上的任意一个实数，所以 ∀ϵ＞0，∃n₁ ∈ ℕ，s.t. | {n₁θ} – α|＜ϵ. ⇔ ∀ϵ＞0，∃n₁ ∈ ℤ – ℕ⁺，s.t.|{n₁θ} – α|＜ϵ.

两个命题同时成立或同时不成立，命题1的成立保证了上述两个命题成立，证毕。

推论：1.若θ ∈ ℝ – ℚ，则{{kθ}}⁺∞ₖ₌₁ 在 [0，1)上是稠密的。

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