Stewart Shapiro SEP原文（一）

注意：一共划分为（1/2）

First published Mon Nov 18, 2019

by Erich Reck ＜erich.reck@ucr.edu＞

Georg Schiemer

＜georg.schiemer@univie.ac.at＞

译者： 彭柯尧（第3节） Meowth（第1、2、4节）

数学哲学中结构主义的两个相关口号是：“数学是对结构的一般性研究”，以及在从事这种研究时，我们可以“从例化这些结构的对象的性质中抽象出（这种结构）”。（因此，结构主义与其他几种关于数学的一般观点相对立，它们包括：认为数学是关于数和量的科学传统的观点；认为数学是主要用于计算的空洞的形式主义的观点；以及认为数学是研究一个基本的集合论宇宙的观点）。正如本考察所要表明的那样，这些口号虽然具有暗示性，但却模棱两可，需要澄清。事实上，人们对它们的解释是多种多样的，甚至是相互矛盾的。

结构主义观点在数学哲学中的引入通常被认为是发生于20世纪60年代，在Paul Benacerraf和Hilary Putnam的著作中；20世纪80-90年代，当Michael Resnik、Stewart Shapiro、Geoffrey Hellman、Charles Parsons等人加入战局时，这一趋势又有了起色；而在过去的20年中，由于对结构主义的一些哲学挑战和包括结构主义的范畴论形式等进一步变体的引入，这些争论又被重新改造。除了向读者介绍“数学哲学中的结构主义”这一总论题外，本论文的第二个主要目标将是为当今提出的结构主义种类提供一种新颖的、更广泛的、相对全面的分类法。

1. 取消式结构主义 vs. 非取消式结构主义

1.1 1960年代结构主义之争的开始

关于结构主义的讨论，作为英语圈数学哲学的一个主要立场，通常被认为始于20世纪60年代。这方面的一篇核心文章是Paul Benacerraf的“What Numbers Could Not Be”（1965；另见一篇后续文章Benacerraf 1996）。这篇文章的背景和衬托是当时占主导地位的立场，即公理集合论为现代数学提供了基础，包括允许我们用集合来等同于（identify）所有数学对象。例如，自然数0, 1, 2, ...可以等同于有穷von Neumann序数（始于用ф 代表0，且使用后继函数 f：x → x∪{x} ）同样，实数也可以等同于集合论上构造的Dedekind分割。那么，算术真理就是关于这些集合论对象的真理；而这一点可以推广到其他数学理论，所有这些理论的对象也被认为是集合。

Benacerraf认为，这种集合论基础主义（foundationalist）的立场歪曲了算术的结构主义特征，尤其是歪曲了更一般性的数学的结构主义特征。首先，代替有穷von Neumann序数，我们可以用有穷Zermelo序数（始于用ф 代表0，但用另一种后继函数 f：x → {x} ）来实现同样的作用；还有无限多的其他选择是与之等价的。同样的，我们也可以用Cantor等人提出的基于有理数上Cauchy序列的等价类，在集合论基础上构造实数，而不是用Dedekind分割。这个基本的观察是很难否认的，甚至集合论者的基础主义者也能同意这个观点（下面再谈）。但是Benacerraf从这个基本观察中得出了一些进一步的、更有争议的结论。

特别地，Benacerraf认为，自然数不应该等同于任何集合论对象；事实上，它们根本不应该被当作对象。相反，数字应该被视为“结构中的位置”，例如，在“自然数结构”、“实数结构”中等。关于这些位置最重要的是它们的结构属性，即那些“源于它们由于被安排在一个数列（progression）中而彼此承担的关系”(1965: 70)，而不是von Neumann序数、Dedekind分割等进一步的集合论属性。沿着这样的思路，我们在现代数学中研究和试图描述的，是相应的“抽象结构”。正是在这个意义上，Benacerraf提出了关于数学的结构主义立场。不过，这个立场的细节还没有定论，有些模糊，当然，这包括除了不能把它们等同于集合论关系系统（由作为论域的集合，以及在其上定义地集合论关系和函数所组成的系统），我们最后应该如何思考Benacerraf的抽象结构。

20世纪60年代对结构主义兴起有影响的第二篇文章是Hilary Putnam的“Mathematics without Foundations” (1967)。和Benacerraf的情况一样，对Putnam来说，衬托的是集合论基础主义的立场。这一立场有时（尽管并不总是）被理解为实在论意义上的立场（如Gödel），即描述一个独立的抽象对象领域，即被Zermelo-Fraenkel公理所刻画的集合的宇宙。为了反对这一立场，Putnam提出了“if-then-ism”的一种形式（可以追溯到Russell）。这种选择又可以用自然数来说明。一个算术定理，比如说“2+3=5”，如今应该如何处理？应该分析为具有这样的形式：

对于所有的关系系统M来说，如果M是Dedekind-Peano公理的一个模型 [算术的基本公理]，那么：2ᴍ＋3ᴍ＝5ᴍ

（其中2ᴍ 、 3ᴍ 和 5ᴍ 是模型M中2、3和5的“所扮演的角色”）。对于实数也是如此（详见Reck & Price 2000）。

与其在这方面谈论if-then-ism，不如把Putnam的立场也描述为一种“全称主义结构主义（universalist structuralism）”（再次参见Reck & Price 2000），因为它涉及到对相关系统的全称量化，而且我们上面的两个结构主义口号似乎得到了满足。对这一立场的反对意见往往是“非空性问题”。它是基于这样的观察，如果没有任何东西能满足前件，例如，如果没有Dedekind-Peano公理的模型，那么给定形式的if-then语句就是空洞的真。（例如，“2+3=6”的情况也是如此，总体结果显然是不可取的。) 作为回应，人们可以援引公理集合论来提供所需的模型。但从Putnam的观点来看，这有两个缺点。首先，它依赖于一个关于集合论的实在论和基础主义的观点 ，它似乎因此而破坏了if-then-ism的要旨。第二，也是更基本的，它迫使我们以循环的痛苦为代价，将集合论与其他数学理论区别对待。作为摆脱这些困境的方法，Putnam建议采用模态逻辑。然而，特别是对于集合论的情况，细节又是悬而未决的，基本上没有探讨。

1.2 1980年代的巩固与进一步讨论

理解Benacerraf在1965年的文章中的讨论的一种方法是，他建议把自然数结构作为不同于集合论对象和对象系统的一种新的抽象实体。那么，一切都取决于这究竟相当于什么，包括是否应该把这种结构作为对象本身来对待，从而以某种实质性的、尚待解决的方式重新确定（reify）它们。Benacerraf本人不愿意做后者，这与他对谈论数学对象时的总体犹豫不决是一致的。

后来有一位作者在80年代初接受了Benacerraf的思想，并试图进一步阐明这些思想，同时仍然不把结构当作成熟的对象，他就是Michael Resnik（参见Resnik 1981, 1982, 1988，以及最系统化的, 1997）。对他来说，现代数学也涉及到一种“结构主义观点”。这包括一种模式认知（pattern recognition）；而Resnik的主要目标之一就是进一步阐明相应的认识论。沿着Benacerraf的思路，数学对象被看作是相对应的模式中的“位置”；而这是为了允许我们“从字面意思上（at face value）”接受数学陈述，即把‘0’、‘1’、‘2’等看作是指涉这种位置的单称词项。同时，这样做也不应该要求对基础结构进行重新确定，这意味着要为它们指定精确的同一性标准，这是Resnik有意避免的。(他在这一点上把自己说成是Quine主义者，在这个意义上，他接受了Quine的口号：“没有同一性就没有实体!”)。

Stewart Shapiro是第二位数学哲学家，20世纪80年代初，他试图在Benacerraf的论文基础上进行研究（见Shapiro 1983, 1989,，最系统的是Shapiro 1997）。通过更多地关注形而上学问题，并抛开将结构作为对象的犹豫，Shapiro的目标是捍卫一个更彻底的实在论版本的数学结构主义，从而拒绝唯名论和建构主义的观点（下文将详述）。这种实在论包括上面提到的语义学方面的内容（接受字面意义的数学陈述）；但Shapiro还想进一步澄清关于“结构中的位置”的谈论。他对它们区分了两种观点。根据第一种观点，有关的位置被当作“办公室（offices）”，即当作可以被各种对象填补或占据的槽位（例如，自然数结构中的位置“0”被在有穷von Neumann序数系列中的ф 占据了）。根据第二种观点，位置本身被视为“对象”；抽象结构也是如此。

对Shapiro来说，所讨论的结构因此具有双重性质：在比如说，自然数结构可以通过各种关系系统（由有穷von Neumann序数或泽尔梅洛序数等组成的系统）例化这一意义上，它们是“共相”；但由于可以用单称词项来命名，并被当作对象本身，它们也是“殊相”。为了进一步捍卫后者，Shapiro发展了一个一般性结构理论，即规定哪些结构存在的公理理论。虽然这个理论是以集合论为模型的，但却独立地证明了它的合理性（下文将详述如何证明）。因此，它的目的是为了支撑“先物结构主义（ante rem structuralism）”。Shapiro的“先物与在物”（ante rem versus in re）的术语关联了明确涉及到对中世纪关于共相的讨论。在我们的语境中，关键的一点是，他的理论中所规定的结构意味着在本体论上独立于，实际上是先于它们的任何实例。换句话说，这些结构不仅仅存在于它们的实例中，而是独立于和先于它们。

虽然Resnik和Shapiro的结构主义立场有时会被等同起来，但考虑到已经提到的差异，这是有些许误导性的。不过，两者还是有很大的重叠。两者都承认数学结构是一些其中带有位置等的模式，（不管这些模式是否因此在实在论意义上被当作成熟的对象）。且对于Resnik和Shapiro来说，同构（isomorphism）的概念是至关重要的（或一些相关的、更一般的等价性（equivalence）概念；见Resnik 1997和Shapiro 1997）。也就是说，对于相关的结构/模式，两者可以被任何一类相关的同构关系系统所例化。这对应于这样一个事实，即有关的公理系统，对于自然数、实数以及类似的情况，都是范畴的（或者在集合论的情况下是准范畴的）。当然，并不是每个数学公理系统都有这个特点，例如，群论或环论的公理系统允许非同构实例或模型。对于Resnik以及Shapiro来说，这种“代数”理论要用不同的、更为衍生的方式来处理；他们的结构主义观点是意在主要适用于“非代数”理论，范式性地讲，是主要适用于算术。

20世纪80年代还有另一种结构主义的立场，它与此截然不同，显然不是实在论的立场，即Geoffrey Hellman提出的立场（参见Hellman 1989, 1996及以后的文章）。对Resnik和Shapiro来说，灵感是1965年Benacerraf的文章，而Hellman的出发点则是1967年Putnam的文章。事实上，Hellman的“模态结构主义”意在系统地发展Putnam的模态化if-then-ism。如今，模态方面的内容被详细地阐述出来了，而且实在巧妙，包括对于集合论的情况（在Zermelo等人的工作基础上）。

对Hellman来说，一个句子，如“2+3=5”被分析如下：

必然地，对于所有关系系统M，如果M是Dedekind-Peano公理的一个模型，那么2ᴍ＋3ᴍ＝5ᴍ 。

为了避免非空性问题，他增加了以下假设：

可能存在一个M，使得M是Dedekind-Peano公理的模型。

（我们将在下面回到它的正当化）。

正如Hellman所明确指出的，他的目标是发展一种“无结构的结构主义”(Hellman 1996)的形式，因为由Resnik和Shapiro所假设的抽象结构的存在，被他的立场的模态方面（以及关于必然性和可能性的相关假设）所取代。事实上，Hellman的立场意在成为一种唯名论的形式，即取消对任何一种抽象实体（不仅是抽象结构，而且还有集合等）的诉求。然而，它也并不意味着要依赖possibilia，即以某种模糊的意义存在的可能对象。这就导致了Hellman对有关模态的一种具体理解。它们是被认为基本的，即相关的可能性和必要性不能再还原为任何东西。另一方面，它们正是以模态逻辑的法则（系统S5的法则）所清楚规定的。

1.3 结构主义立场的第一种分类法

从20世纪80年代末开始，Shapiro和Hellman的立场常常被当作结构主义的两大选择。(这一点在Hellman & Shapiro 2019中仍有体现。)由于它们有很大的不同，这已经表明，将“数学哲学中的结构主义”视为一种唯一的立场或统一的观点是错误的，即使某些一般性的口号是共同的。除此之外，其他版本的结构主义在20世纪80年代末和90年代初开始扮演主要角色（我们将看到，包括其时间可以追溯到比20世纪60年代更久远的“集合论结构主义”的形式）。因此，关于结构主义的讨论变得既丰富又复杂。

为了澄清这种情况，Charles Parsons提出了第一种分类法，或者至少是区分两种主要的立场（Parsons1990）。即，比如由Hellman加以范式性说明的“取消式”结构主义形式；“非取消式”结构主义形式，如Shapiro。（这里的取消涉及到将结构作为抽象对象的假设或回避）。或者用Hellman稍后的术语来说，一方面是“无结构的结构主义”，另一方面是“有结构的结构主义”。除了Shapiro和Resnik(有上述限定)，另一个非取消式形式的支持者是Parsons本人（见Parsons 1990, 2004，以及最为系统的, 2008）；另一个取消式形式的结构主义的支持者是Charles Chihara（参见Chihara 2004）。

尽管如此，将非取消式结构主义等同于Shapiro的立场，即将他的实在论等同于先物版本的结构主义，似乎一直很有吸引力，而且在文献中也一直相当普遍。事实上，批评家们有时会把“哲学结构主义”笼统地否定为形而上学的一种错误形式，从而将这种结构主义等同于Shapiro的实在论形式的结构主义。（这对于数学家和深深扎根于数学实践的哲学家来说，似乎特别具有吸引力；相关讨论参见Awodey 1996和Carter 2008）。进一步考虑Parsons的非取消式结构主义的形式，可以帮助表明这终究是过急和不充分的。

与Shapiro不同的是，Parsons并没有提供一种新颖的、出于哲学动机的结构理论作为其立场的支撑。对他来说，我们应该仍然更接近数学实践（因为它是在19世纪末和20世纪发展起来的）。事实上，结构主义应该被看作是从这种实践中生长出来的，而不是从外部强加给它的。对Parsons来说，这意味着，特别地，将抽象结构由范畴公理系统直接引入。他在Quine的启发下，以“元语言学”的方式进一步阐明了这一实践（见Parsons 2008）。这也意味着，我们应该避免“跨结构的同一化”（在Shapiro的早期著作中可以找到），例如，不要将自然数1等同于实数1。这种推定的等同应该是仍然不确定的，就像数学实践中那样。

应该可以看出，Parsons的结构主义立场和Resnik一样，不像Shapiro那样更为实在论。而且，他明确指出，接受“数学对象的结构主义观点”应该被看作是可以与实在论/唯名论二分法分开，并与之正交（orthogonal）。因此，对Parsons来说，一个人可以是一个非取消式的结构主义者，而不是任何强意义上的实在论者；他自己的立场就是一个例子。然而，Parsons的结构主义版本仍然意味着允许按字面意思接受数学陈述（如上文所描述的那样），因此，它仍然是这种最小的语义学意义上的实在论。

2. 后续发展及一个更广泛的分类法

2.1 形而上学的挑战和认识论的挑战

到目前为止，我们已经追溯了数学哲学中结构主义的发展，从20世纪60年代的Benacerraf和Putnam，到20世纪80-90年代的Resnik, Shapiro, Hellman, Chihara和Parsons。在过去的20年里，又有一些哲学家开始讨论这个话题。我们现在从对结构主义的某些认识论和形而上学的挑战开始转入相应的讨论。其中有些只涉及非取消式结构主义，特别是Shapiro的立场。（这再一次反映了Shapiro立场的突出性，以至于它常常被误导性地等同于“哲学结构主义”）。其他的则更为广泛，包括比较各种形式的结构主义的基本承诺。在下面的内容中，我们将不试图做到面面俱到，而是提供一些说明性的例子。

在Shapiro和其他版本中，非取消式结构主义涉及到这样一个论题：关于数学对象的，最重要的是它们的结构属性（而不是进一步的内在属性）。事实上，这种属性被认为是决定对象的同一性（identities）。但是，如此一来，在这方面无法区分的对象——“结构上不可区分者（structural indiscernibles）”——看上去似乎应该被视作同一（should be identified）。正如几位批评者在2000年前后所指出的，这导致了结构主义的“同一性问题”（参见Keränen 2001，早先的Burgess 1999）。它突出地出现在非严格的（non-rigid）系统或结构上，即允许非平凡的自同构（non-trivial automorphisms）。在这种情况下，有一些所谓的不同对象在这种相关意义上是无法区分的。一个广为人知的例子是（带有共轭数i和-i）复数系统；但几何学和图论等提供了更多的例子。最简单的例子可能是一个没有边的无标记2元素图，它的两个顶点在结构上是不可分辨的。

从结构主义的角度看，如何处理这种情况？（这种）结构主义是否如一些批评者所指控的那样，根本就是不一致的？或者说，它至少不适用于非严格的情况，这将大大限制它的范围？这个文献中已经对同一性问题提出了几种对策。一个建议是通过扩大使用的词汇来“严格化（rigidify）”这类结构，例如，通过为复数添加常量符号“i”（要么扩大至原始语言，要么扩大至背景中使用的“设定（setting）”的语言，参见Halimi 2019）。但这在许多，甚至可能数不清的不可分辨者（“不可数的”）的情况下似乎还是有问题的。另一个建议是把同一性当作一个原始概念，可以说是数学实践的一部分。但在这种情况下，也仍然存在一些问题（特别见 Ladyman 2005, Button 2006, Leitgeb & Ladyman 2008, Shapiro 2008, Ketland 2011, and Menzel 2018）。

结构主义的第二个更基本的问题也开始于关于数学对象最重要的是其结构属性的观点。就非取消式结构主义而言，这有时会被强化为数学结构中的位置以及抽象结构本身“只具有结构属性”的论述。但如果没有更仔细地表述，就会导致反例（参见Reck 2003）。例如，自然数结构难道不具有它是在许多关于结构主义的争论中人们最喜欢的例子这一属性吗？而长期以来人们认为9是太阳系中行星的数量，这难道不是数字9的一个属性吗？这两者似乎都明显是非结构性的属性。结构主义又一次显得不一致，或者说，至少需要进一步澄清。

对这一挑战的自然反应是完善原来的结构主义论题，例如，说抽象结构只具有“本质上”的结构属性，只有这种属性对它们来说才是“构成性的（constitutive）”，或者类似的东西，同时承认它们也具有其他属性（见Reck 2003, Schiemer & Wigglesworth forthcoming）。这就导致了关于究竟如何进行这种区分的问题。但即使认为这构成了一个令人满意的回应，另一个问题仍然存在。我们首先如何区分“结构性”属性和“非结构性”属性？对于这个问题，人们依次提出了几种答案，例如，结构性属性是指那些可以以某种方式定义的属性，或者说它们是那些在相关的态射（morphisms）下保存的属性。然而在这个问题上也没有达成共识（参见Korbmacher & Schiemer 2018，也可参考其中列出的进一步文献）。

第三个再一次特别针对，甚至专门针对非取消式结构主义的挑战，涉及以下问题。从结构主义的角度看，位置总是“一个结构中的位置”；即结构是主要的，位置是次要的。因此，一个特定的数学对象，如自然数2，似乎“在本体论上依赖于”背景结构，这里是自然数的结构。（对于一个结构主义者来说，认为数字2就其本质上存在（as existing in itself ）是具有误导性的，这个事实反映了这一点。这也说明了结构主义与逻辑主义或集合论基础主义的一个主要区别。)但是，这种本体论的依赖性应该如何理解？或许与当前分析形而上学中的“基础（grounding）”或相关概念是否有联系？在这种语境下，许多悬而未决的问题也仍然存在，并已经开始了热烈的争论（参见Linnebo 2008，也参考MacBride 2005和Wigglesworth 2018）。

结构主义的第四个基本挑战，也主要是针对其非取消式的形式的挑战，是我们如何能够“通达（access）”被视为抽象对象的结构（特别参考Hale 1996）。在某种程度上，这恢复了关于这种对象的更古老、更为一般性的辩论。Resnik、Shapiro和Parsons（这里都是跟随Quine）最初的回应是谈论结构的“假定（positing）”，这有望削弱通达问题。但是，（考虑到朴素集合论中熟悉的悖论威胁）在什么条件下，这样的假设才是合法的？一个合理的答案指向相关理论的“融贯性（coherence）”（在哥德尔的不完全性结果之后，它被视为取代了可证明的一致性）。然而这种融贯性究竟相当于什么呢？关于这个问题的争论的一个有趣的结果是，Shapiro和Hellman虽然从非常不同的方向出发，却得出了彼此非常接近的观点（见Hellman 2005）。因此，在一些基本承诺方面——在Shapiro的情况中是存在的终极条件，在Hellman的情况中是可能性——他们的方法以令人惊讶的方式趋于一致。（这或许可以看作是为双方都提供了支持，但也可以看作是摧毁了实在论/唯名论二分法）。

在过去20年的文献中，人们可以找到更多对数学中结构主义的挑战。虽然通常与刚才考察的问题有关，但有时这些挑战还不止于此。例如，通常也是针对非取消式结构主义变体，有人提出了关于结构主义所涉及的语义学的其他问题（参见Button & Walsh 2016, Assadian 2018等）。我们不打算把这些挑战也总结出来，而是希望我们到目前为止的考察足以说明近期文献中已经发生的各种争论。

2.2 结构主义的几种其他变体

如前所述，在许多关于结构主义的讨论中，从20世纪80年代到21世纪初及以后，有几种立场占据了中心位置。Shapiro的立场，Hellman的立场，有时是Parsons的立场， 偶尔是Resnik的立场。但其他形式的结构主义也已经存在了几十年。这些也值得，并且开始得到更多的关注。在不要求全面性的前提下，我们想提几个值得注意的例子。其中一个主要的例子是“集合论结构主义”，其起源可以追溯到20世纪60年代之前（参见Reck & Price 2000，同时参见Reck & Schiemer forthcoming）。为了介绍它，让我们重新考虑Benacerraf在1965年论文中的核心例子：自然数。

正如Benacerraf所论证的那样，将“自然数”等同于一个特定的集合论体系是有问题的；或者至少，在任何绝对的意义上这样做似乎都是错误的。Benacerraf的结论是，数字不是集合，也不是任何种类的对象，而是结构中的位置。现在，人们几乎可以同意Benacerraf所说的一切，但仍想在不太绝对的意义上把“自然数”等同于某种集合论体系。在这样做的时候，人们可以承认，Dedekind-Peano公理的任何其他模型“也会做得很好”，也就是说，可以选择它来代替（也许出于实用主义的原因要排除在外，例如，能够概括到超限）。这意味着，我们所认定为同一于（identify）自然数的东西是取决于一个初始的、临时的、有点武断的选择。对于大多数数学目的来说，这样的实用性的同一化就足够了；事实上，这正是人们在标准公理集合论中所做的事情。由此产生的立场又值得算作结构主义的一种形式，正如它的辩护者所坚持的那样。使它成为结构主义的原因是，在任何更绝对意义上的对自然数的“同一性认定漠不关心（indifference to identify）”（参见Burgess 2015）。

集合论结构主义的核心，正如刚才所描述的那样，是在几个同构系统中选择一个作为“自然数”的实用性的指称对象（实数等也是类似）。在某种意义上，我们谈论“自然数”，那么也谈论 “数字0”、“数字1”等等，都是相对于这个初始选择而言的。这被看作是没有问题的，因为无论我们如何选择，我们都会得到同样的算术定理（因为公理系统的范畴性，这意味着它的语义完备性）。作为背景，我们可以再次采用Zermelo-Fraenkel集合论。但是，我们也可以通过允许“原子”或“urelements”，即不是集合的对象，来稍微扩大这个方法。因此，我们可以在我们的论域中包括凯撒大帝或某个啤酒杯，结果是它们中的任何一个都可以“是（be）”数字2，比如说，在我们选择的算术模型中占据“2-位置”。由于这个特点，我们将使用“相对主义结构主义”来称呼这个方法（参见Reck & Price 2000）。似乎也可以说，这种立场，特别是在其集合论版本中，被许多数学家明确地或隐含地接受。事实上，它可能是结构主义中最广受青睐的形式。

在集合论结构主义中，以及在更广泛的相对主义结构主义中，唯一起作用的数学对象是那些公理集合论（可能带有urelements）允许我们引入的对象。我们不需要另外假设抽象的结构。由于这个原因，这个立场是另一种形式的取消式结构主义（虽然它并不是完全取消式的，因为它接受了集合）。事实上，集合论关系系统（理论的集合论模型）本身在这里被认为是相关的结构。（在许多数学教科书中，正是这样的关系系统被称为“结构”）。然而，与后者有关的还存在另一种选择。即，比如说，我们也可以将自然数的结构等同于Dedekind-Peano公理所定义的（高阶）概念；对于其他（范畴）公理系统也同样如此。这就导致了结构主义的另一种取消式形式：“概念结构主义”（参见Isaacson 2010，Feferman 2014，也参见Ketland 2015，和其他网络资源）。

根据概念结构主义，在现代公理数学中，重要的并不是真正的对象，尤其不是有问题的抽象对象。相反，关键的是数学概念，例如，“自然数系统”（或“Dedekind-Peano公理的模型”、“数列（progression）”）概念；“完整有序场”概念等也与之类似（在Ketland 2015年，和其他网络资源中，这类概念被进一步用内涵型命题函数来阐释，而Isaacson and Feferman则更认为它们的本质是悬而未决的）。更确切地说，最终重要的是从这些概念所导出的内容，即从相应的公理中可以推导出什么这一意义上。诚然，正如概念结构主义者可能承认的那样，我们在数学中进行推理的方式常常涉及谈论属于相关概念下的对象。但正如他们会补充的那样，这种谈论最终可以被解释掉（例如，通过采取形式主义立场）。在这种或类似的形式下，概念结构主义似乎又是数学家和逻辑学家中相当普遍的观点，尽管它在结构主义的辩论中直到最近才非常突出。

为了进行更全面的调查，我们想走得更远。作为下一步，我们将介绍两种结构主义的形式，它们与相对主义结构主义和概念结构主义密切相关，但与其中任何一种都不相同。（我们将会看到，这两种形式都是“抽象主义结构主义”的形式。）让我们再从一个由公理系统定义的高阶概念，例如“自然数系统”，还有属于（falling under）它的集合论系统开始谈起。然而，我们并不将相应的结构要么等同于该概念，要么等同于属于该概念下的某个实用性选择的系统，而是将注意力集中在由该概念决定的整个等价类上。

此时，我们可以走两条“抽象主义”的道路之一。首先，我们可以简单地将相关的结构等同于该等价类（如有时所说的那样，等同于“外延中的概念”）。因此，对应于“自然数系统”这个概念和属于它之下的集合论系统，比如有穷von Neumann序数，就有相应模型的整个等价类作为第三实体。（我们的首要关注点还是在范畴公理系统上，但这种方法是可以推广的。）正是这个类如今被称为“自然数结构”。可以肯定的是，它不是一个集合，而是一个真类（proper class）；但它仍然可以用逻辑数学的方法来研究。从“相对主义”的角度看，这一新方法也可以这样描述：它的核心是（go）从一个特定的、任意选择的、属于高阶概念的系统，到相关的等价类，即（在范畴公理系统的情况下）所有与它同构的系统的类。而我们可以认为这一移动（move）涉及到一种“抽象”，特别是在Russell（1903；也被Rudolf Carnap等人所接受）的“抽象原则”的意义上。其结果是第一种形式的“抽象主义结构主义”。

我们可以走第二条道路，其结果是第二种形式的抽象主义结构主义。它也在最近的结构主义辩论中起了作用；但是，和第一种形式一样，它也可以在时间上追溯到更远。让我们从一个相关的高阶概念，或者从定义它的公理系统，以及属于它的一个任意选择的关系系统（比如说，一个集合论系统，可能带有urelements）重新开始。新的建议是这样进行的：我们“从其元素的特殊性质中抽离出来”，从而得出一个应该被称为“自然数”的新的、好的关系系统（参见Dedekind 1888，特别是Reck 2003中的解释）。其用意在于，这种抽象所引入的对象只具有结构属性，或者更好的是，只在本质上具有这些的属性。而且，这些对象共同构成了一个与我们开始的系统同构的系统（这与我们刚刚考虑的等价类不同）。最后，我们现在考虑的是后者的相关抽象结构。

在几个方面，这第二种抽象主义的选择接近于Shapiro的先物结构主义（他自己偶尔也会诉诸于“抽象”本身，例如，在Shapiro 1997）；它也接近于Parsons的非取消式结构主义的形式。然而，它既不涉及一个Shapiro风格的独立的结构理论 ，也不涉及诉诸Parsons的元语言学程序。相反，抽象结构是从更具体的系统中，例如，从集合论的关系系统中，“通过抽象”引入的。相关的抽象可以进一步用“抽象算子”和相应的“抽象原则”来阐释。那么，另一个可以想到的是与当代新逻辑主义中抽象原则的使用来进行比较。事实上，这种联系已经在Linnebo & Pettigrew（2014）和Reck（2018a）中进行了探讨。沿着这样的思路，我们得出的是一种抽象主义形式的非取消式结构主义。相反，上述第一种选择是一种抽象主义形式的取消式结构主义。考虑到它们的历史根源，这些立场可能分别被贴上“Russell式抽象主义结构主义”和“Dedekind式抽象主义结构主义”的标签；参见Reck 2018a）。

结构主义的其他变体名单也没有在这里结束。让我们非常简单地再提五个例子，不做任何详细说明（毫无疑问，可能还有更多）。首先，Uri Nodelman和Edward Zalta引入了一种平行于Shapiro的结构主义的非取消式结构主义形式，它使用受Meinong启发的“对象理论”来解释抽象结构（Nodelman & Zalta 2014）。与此平行，人们可以使用其他基本理论来引入抽象结构，从而进一步形成非取消式结构主义的形式。作为第二个例子，Hannes Leitgeb已经描述了如何出于此目的而调整（adapt）图论（Leitgeb forthcoming）。第三，Leon Horsten在Kit Fine的“任意对象”理论的基础上，构建了一种平行的“通用结构主义（generic structuralism）”形式（Horsten forthcoming）。第四，上面我们已经提到了Charles Chihara的“取消式”结构主义形式，它与Hellman的结构主义形式并不完全相同（见Chihara 2004）。第五，还有“结构主义的范畴形式（categorical forms）”的一整个家族，它是基于范畴论的各种公理系统，最近变得非常显著。

我们将把对范畴结构主义的讨论推迟到第3节，一方面是因为它在数学上很重要，因此值得用单独的一节来处理，另一方面是因为它较难与其他形式的结构主义进行比较。在此之前，我们想为结构主义立场提供一个更丰富、更全面的分类法。这个分类法的范围将足够宽，包括了迄今为止提到的所有立场。但它也意在超越它们，始于“形而上学”结构主义与“方法论”结构主义之间的基本二分法的引入。

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