Stewart Shapiro SEP原文（二）

注意：一共划分为（2/2）

2.3 结构主义立场的一个更广泛的分类法

到此为止所描述的结构主义的所有变体都是“哲学结构主义”的形式，或者更准确地说，是“形而上学结构主义”的形式。这意味着，这些立场旨在为关于什么是数学结构的问题提供答案（即使这涉及到一种取消式的立场），包括关于它们的存在、抽象性、同一性、依赖性等的观点。现在，我们可以把这整个各种各样的哲学立场与有时被称为“数学结构主义”，或者再更准确地说，“方法论结构主义”区分开来（参见Reck & Price 2000，早先的Awodey 1996）。事实上，我们认为，认识到这种基本的二分法——“形而上学的与方法论的”——对于结构主义的系统性和历史性讨论都是至关重要的。在其他方面，它使我们能够更自然地与范畴结构主义联系起来；见，例如Corry 2004和Marquis 2009）。

顾名思义，方法论结构主义关注数学的方法论，从而关注数学实践。或者也可以说，它关注的是做数学的某种“风格（style）”。这种风格包括从对象的全局性、关系性或结构性的角度来研究对象的整个系统或结构，而忽视所涉及对象的内在本质。这可以通过两种主要的方式来完成，它们在实践中往往交织在一起：通过公理化的方式进行，即从有关系统的基本公理中推导出定理；通过考虑它们之间的态射（同态、同构等），以及这些态射下的不变量。由于这种方法通常涉及无穷集合、不可判定属性和经典逻辑，它往往与更为“计算性的”和“建构主义”的做数学的方法相对立（参见Reck & Schiemer forthcoming中的大量历史背景）。

这样的结构主义方法论，或方法论结构主义的相应形式，往往与一个关于数学主题的一般假设联系在一起，即：数学就是研究结构。但是，接受这一假设本身并不涉及对这些结构的性质的任何进一步的看法，至少不涉及任何具体的和哲学上负载的方式。相反，前面所考虑的形而上学结构主义的所有形式都是为了提供这样的观点。这正是它们超越方法论结构主义的方式（往往是建立在它的基础上）。

关于这种形而上学的立场，Parsons的“取消式与非取消式”的区分仍然是有益的（尽管为后一种观点贴上一个更积极的标签，沿着“有结构的结构主义”的思路，可能更好）。然而，结构主义的形而上学形式之间的差异并不止于此。事实上，只在Parsons的区分下工作，会掩盖一些重要的差异。如前所述，Shapiro的先物结构主义远不是非取消式结构主义的唯一版本；Hellman的结构主义也不是取消式结构主义的唯一形式。我们现在想提出一些更细微的区分，以便为这些争论引入更多的秩序和清晰性。

首先让我们再看看结构主义的非取消式版本。属于该标签下的一些立场通过基本理论引入抽象结构。这包括Shapiro的结构理论，也包括如Nodelman & Zalta的对象理论和Leitgeb对图论的改造。它们都是先物结构主义的形式，但明显是与之不同的东西。此外，还有一些以抽象原则为基础的非取消式结构主义的形式，我们在上面称之为“抽象主义结构主义形式”。我们区分了其中的两种变体，即Russell式变体和Dedekind式变体，它们涉及不同种类的结构作为抽象过程的结果。（如果我们把这种抽象重构为数学运算或函数，它们的论点是相同的，但它们的价值是不同的）。而这表明，非取消式主义结构主义有抽象主义和非抽象主义版本。

如果我们对这些选择进行更多的反思，另一种基本的二分法的作用就会变得很明显（在非取消式结构主义的范畴内）：即先物立场与在物或后物（post rem）立场之间的二分法。Shapiro的立场显然是一种先物结构主义的形式。与此相反，Russell式抽象主义结构主义可以看作是后物结构主义的一种形式，因为作为相关结构的等价类是由其作为类的元素“建立起来的”，因此它们是后验的（posterior）。在Dedekind式抽象主义结构主义中，也涉及到一种后验的形式。在这里，我们也是从更具体的关系系统开始的，通常是集合或urelements的系统，并在此基础上引入抽象结构。但现在的先验与后验关系是不同的。它不是基于元素-类关系，而是基于更基本的主目-函数-值关系）。我们最终还得到了既不是标准集合也不是类的抽象结构。

在取消式结构主义方面，也应该进一步细分。同样，也有完全取消式的立场，它避免了对任何一种抽象对象的承诺。Hellman的模态结构主义就是设计成这种类型的。但也有半取消式的立场，这种立场避免对抽象结构的承诺，而除此之外，更通常的、相对具体的数学对象是可接受的。集合论结构主义是一个很好的例子；全称主义结构主义是另一个例子，至少在有集合论支持的情况下是这样。相对主义结构主义，特别是集合论结构主义，是否应该被看作是在物结构主义的例子，即抽象结构“存在于”它们更具体的实例中？也许是这样；但这个论题似乎并没有强加给我们（关于这个问题的更多信息，参见Leitgeb forthcoming）。还要注意的是，我们最终会因而得到一种非取消式结构主义的形式。同样的问题也出现在更普遍的在物形式的结构主义上；细节会很重要。（关于这类方法的更多内容——有时被称为与“柏拉图主义”相对的“亚里士多德主义”——请参见Pettigrew 2008和Franklin 2014。）

然而，取消式结构主义的另一个版本已经开始在文献中吸引更多的关注，那就是概念结构主义。在这种立场意味着不诉诸于抽象对象的情况下（例如，以形式主义为基础），它相当于一种完全的取消式的观点。然而，关于对其中的概念，它们的存在、性质和同一性的诉求（appeal），仍然存在各种问题（参见Parsons2018）。根据给出的答案，一个严格的唯名论者可能仍然会发现这种立场是不可接受的，因为概念可能被视为另一种有问题的抽象实体。如果概念结构主义者允许抽象对象（如集合）发挥次要作用，这就成了一种半取消式的立场。被设想为抽象对象的结构（通过将它们重新设想为概念）仍然被取消，但关系系统仍然得到保留。或者，我们在这里可能是在处理一种特殊形式的方法论结构主义，其中额外的形而上学问题被搁置一边。

注意：2.1节“数不清的不可分辨者”应该是“不可数的”，2.4节“全局的”一般会说“整体的”（比如局部-整体对应而不是局部全局对应），2.4节“建构主义的做数学的方法“应该是”构造主义“

3. 范畴论结构主义

3.1 范畴理论作为数学结构的研究

在过去的20年里，人们提出了不同的提案，希望在范畴理论的基础上形成一种数学结构主义理论，从而形成一种或几种 "范畴结构主义"的理论。我们现在可以在一个更好的位置来考虑这些提案，不过我们还是间接地从更多的背景开始进行讨论。范畴论作为抽象代数的一个分支，最早是在Eilenberg & Mac Lane的著名文章《自然等价的一般理论》(1945年)中提出的。随后，在Mac Lane、Grothendieck、Kan、Lawvere等人的工作中，它发展成为一门独立的数学学科，在代数拓扑和同构代数中，以及最近在计算机科学和逻辑学中，都有重要的、广泛的应用(参见Landry & Marquis 2005，也是本百科全书中关于范畴论的条目)。

在这些发展的基础上，Awodey、 Landry、 Marquis 还有 McLarty在20世纪90年代发起了分类结构主义的哲学讨论。为了更好地理解他们的贡献，回到我们对 "形而上学 "和 "方法论结构主义 "的区分是有帮助的，这在Awodey(1996)中得到了明确的划分。或者说，Awodey 将范畴理论作为 "数学"和"哲学结构主义"的框架做了区分。他把数学结构主义描述为一种 "追求学科结构方法"的一般方式，即运用结构性概念和方法来实践数学的一种特殊风格。他认为范畴理论提供了在这个意义上把握结构数学的最佳方式。然而，他也把它作为哲学结构主义的框架，即 "数学本体论和认识论的方法"。让我们首先考虑前者的论点。(我们将在第3.3节中再谈后者)。

作为纯数学的一个分支的范畴论，经常被描述为 "数学结构的一般理论"，例如Mac Lane(1986，1996)。但这里的"结构"究竟指的是什么？文献中至少提到了两个相关概念。首先，结构可以理解为集合和模型理论意义上的结构，即由一个定义域和一个由关系、函数和用于解释形式语言的特别元素形成的有序列组成的元组。(这就是我们在上面比较非正式地称为的"关系系统"的概念)。在这种情况下，这种结构通常被称为"布尔巴基结构"。它们的性质通常是由公理定义的，例如，由群公理或算术的Dedekind-Peano公理定义的。

其次，还有一种基于数学对象之间态射的基本观念的范畴结构概念。通常情况下，一个范畴由两类实体组成，即对象和它们之间的态射，即用箭头表示的映射，并且映射保持对象的一些内部组成结构。沿着这样的思路，Eilenberg和Mac Lane(1945)首先提出了一个定义范畴一般概念的公理系统。它定义了一个适当的对箭头的复合操作，复合的结合性，以及每个对象存在相应的恒等态射(参见Awodey 2010，关于范畴论的教科书里的介绍)。

为什么范畴论比其他学科，特别是传统的(Cantorian, Zermelo-Fraenkel)集合论被认为是一个更合适的数学结构主义框架？在这个问题上，参考Awodey(1996)的观点是有帮助的。根据他的说法，布尔巴基结构概念是Dedekind、Hilbert和布尔巴基小组的现代公理传统的直接结果。这一传统最终引向了数学的结构主义观点。然而集合论并不是一个理想的框架，它无法抓住结构主义对数学对象的理解。首先，集合论与数学理论的模型论观念紧密相连，包括认为这样的理论只在"精确到同构"的意义下研究它们的模型的观点。但结构主义观点的核心是"将同构对象视为同一"的原则(下文将详述)；这个原则可以很好地从范畴论的观点中被启发，但如果用集合论来表示数学对象，这个原则更少地体现出来。

与集合论相比，范畴理论的第二个优势，在Awodey(1996)中也提到了，那就是范畴结构概念是"语构不变"的。也就是说，与标准模型论不同的是，范畴论中在映射性质的意义下指明对象是独立于对其描述所用的特定术语的选择(基本关系、函数和特别元素的选择)。第三，也是最重要的，范畴论的特色便是，其注重数学对象之间保持了它们的(部分)内部结构的态射和变换。在指明对象中强调结构保持的映射，常常被看作是现代数学中结构主义转向的核心特征。因此，它在十九世纪和二十世纪初数学的各个部分都有所表现，包括伽罗瓦理论、克莱因的埃朗根计划、戴德金的基础性著作，以及Noether学派关于抽象代数的工作中(再次参见Reck & Schiemer即将出版的书)。

在这样发展的背景下，范畴论首先被发展为研究不同数学结构之间关系的统一框架(参见Landry & Marquis 2005, Marquis 2009)。为了完成这一任务，我们引入了不同类型的映射。一种类型涉及到同一范畴的对象之间的态射，例如，群范畴中的群同态，或向量空间范畴中的线性映射。另一种重要的映射类型是不同范畴之间的 "函子"。(粗略地讲，两个范畴之间的函子是对象到对象和箭头到箭头的映射，并且保持相关的范畴性质)。这样的函子正是范畴论中比较不同数学范畴对象的核心工具，从而 "将不同种类的结构联系起来"(Awodey 1996)。因此，它们是范畴结构主义的核心。

3.2 范畴论基础以及关于其的辩论

正如刚才总结的文献中反复论证的那样，范畴论为数学中的数学结构主义或方法论结构主义提供了一个比传统的集合论更自然的框架。但是作为哲学结构主义的一种形式，即作为 Resnik, Shapiro, Hellman 等人的理论的替代，它的前景又如何呢？我们已经提到，Awodey(1996)中是以此角度提出的；但这导致了持续的争议。Hellman(2003)包含了对 Awodey 等哲学主张的第一次批判性讨论。也就是说，Hellman 的文章针对范畴论为哲学意义上的数学结构主义描述提供了一个充分的框架这一观点提出了若干反对意见。正如我们将看到的，这些反对意见与范畴论作为一门基础学科的地位密切相关。

近来，关于一个理论必须满足哪些标准才能作为数学的适当"基础"的争论有很多。根据 Tsementzis(2017)的一个有帮助性的提议，一个基础系统必须包括三项内容，即：

1. 一种形式语言；

2. 一个用该语言表达的公理理论；

3. 理论所描述的丰富的对象宇宙，在这个宇宙中，所有的数学结构都可以被定位、表示或编码。

Zermelo-Fraenkel 集合论显然这个意义上的基础系统的一个例子。ZFC 的公理通常是用形式化的一阶语言来表述的；而且它们描述了一个全面的宇宙，即集合的嵌套累积层次，在这个宇宙中，数系、群、环、拓扑空间等数学对象都可以被表示出来。

在20世纪60年代以后的范畴理论研究中，人们提出了几种特定范畴的公理化，作为数学的替代基础。这其中一方面包括描述集合和函数范畴的公理化系统，另一方面也包括 Lawvere(1964，1966) 首次提出的范畴的范畴。两者都是作为基础系统明确提出来的，因此是被视为 Zermelo-Fraenkel 集合理论的替代物。最近，基本拓扑斯理论被发展为范畴化集合论的一种形式，可以作为上述意义上的基础系统(参见Landry & Marquis 2005，Marquis 2013)。

这使我们有机会回到 Hellman 2003年提出的挑战。在他看来，范畴论能否用来制定一个哲学结构主义的版本的问题，直接关系到这些新方法对传统集合理论的假定自主性。在 Feferman(1977) 的基础上，他提出了两个一般性的反对意见。按照 Linnebo & Pettigrew(2011) 的观点，我们可以把第一个反对意见称为"逻辑依赖"反对意见。其核心是认为范畴论、一般拓扑斯理论等最终都不能独立于集合理论。原因是范畴和拓扑斯的公理规范以操作、聚集和函数等原始概念为前提，而后者需要在 ZFC 等集合理论中定义。因此，范畴论基础依赖于非结构的集合论。

反对范畴论基础自主性的第二个论点被称为"错配反对"。它涉及范畴论或拓扑斯论的一般地位；而且它是基于对数学公理的两种理解方式的区分，即一方面是 "结构的"、"代数的"、"示意的"或 "希尔伯的"，另一方面是 "断言的"或 "弗雷格的"。正如 Hellman 所认为的那样，像经典集合论这样的基础系统需要具有断言性的特征，即它们的公理描述了一个用于编纂其他数学结构的对象的综合宇宙。Zermelo-Fraenkel 集论在这个意义上是一个断言性的、"内容性"的理论。它的公理(如幂集公理或选择公理)对集合宇宙中的对象提出了普遍存在的要求。

与此相反，范畴论代表了抽象代数的一个分支，正如其起源所显示的那样。因此，就其本质而言，它具有非断言性的特点；它缺少为预定宇宙的真理设想的存在公理。例如，范畴论的Eilenberg-Mac Lane公理不是"基本简化真理"，而是具有"示意性"或"结构性"的特征。它们的功能是作为代数结构的隐性定义，类似于群论或环论的公理是"结构种类的定义要求的条件"。这一点与另一个反对范畴理论自主性的论点有关，Hellmann 称之为"'家庭地址'问题：范畴从哪里来，位居何处？" (2003: 136). 鉴于范畴理论和一般拓扑斯理论所依据的 "代数-结构主义视角"，其公理并没有做出特定范畴或拓扑斯实际存在的断言。为了保证这类对象的存在，经典的集合论如ZFC的强存在公理，不得不再次介入。

在随后的文献中，Hellman 和 Feferman 反对范畴论的基础性特征的论点被从不同角度进行了研究。人们可以区分出两种主要的回应类型，即。

1. "范畴论基础"的支持者，他们的目的是捍卫范畴论相对于经典集合论的自主性；以及：

2. "非基础主义者"，他们对范畴理论应被视为一门基础学科提出质疑。

McLarty 的一系列文章很好地代表了第一线的回应(如 McLarty 2004，2011，2012)。大致说来，他对 Hellman 的回答如下：范畴理论和一般拓扑斯理论确实起源是作为代数理论的，因此，作为基础体系是不可行的，但某些特定范畴和拓扑斯的理论却被引入作为替代基础。McLarty 的核心例子是 Lawvere 的范畴公理化和他的 "集合范畴的基本理论"(ETCS)。

根据 McLarty 的观点，这些理论应该被理解为 Hellman 意义上的断言式理论。也就是说，它们的公理不仅仅是隐含的定义，而是关于范畴、集合和函数的一般存在性要求。例如，ETCS 提出了一种基于函数的集合理论，集合和它们之间的映射构成了一个拓扑斯。与具有原始成员关系的 ZFC 不同，在 ETCS 中，一个集合不是以其内部构成来规定的，而是由其相对于其他集合的映射属性来决定的，而这些映射属性是独立于 ZFC 形成的。McLarty 对上述两种反对意见的回应是，ETCS 等范畴化集合论确实为数学提供了一个逻辑上独立于传统的非结构集理论的基础。而且，考虑到数学结构在 ETCS 中只能被编码为同构为止的对象，这样的范畴化集合论为现代结构数学提供了比 ZFC 更充分的基础。(我们将在下面回到这一点)对 Hellman 的反对意见的第二种完全不同的回应路线在 Awodey(2004；参见Landry 1999)中得到了体现。在该文中，Awodey 概述了一种结构主义的范畴论形式，这种形式明显是反基础主义的。他认为，与 Hellman 和 McLarty 都认同，范畴论的 Eilenberg-Mac Lane 公理和一般拓扑斯理论的公理都是示意化的。但他接着认为，一般的范畴论并没有，也不应该被认为是为数学提供了一个基础，无论是在逻辑学还是本体论的意义上。相反，它为结构数学提供了一个普遍的、统一的框架或语言。因此，他否定了 Hellman 的假设，即范畴论结构主义的成功在任何形式上都取决于范畴论是否可以作为基础性事业使用。

事实上，根据 Awodey 的观点，对数学采用范畴论方法的核心动机是回避有关数学对象的本性或研究一个所有结构都能在其中得到表示的单一综合宇宙等基础性问题。虽然说拓扑斯理论可以很好地作为数学的结构性基础，但对 Awodey 来说，这样的基础化方法与范畴论所体现的结构主义观点是相悖的。用他自己的话说，"'范畴化做数学'的思想涉及到与习惯性的基础化观点不同的观点"(Awodey 2004: 55)。鉴于这种关于数学范畴论基础的根本性的、持续不断的争论，沿着 Awodey 的思路或者更广泛地讲，这些对哲学意义上的范畴论结构主义有什么影响？这是我们接下来要讨论的问题。

3.3 范畴论结构主义的特点

除了方法论结构主义的问题之外，过去20年中关于范畴结构主义的文献主要围绕着已经提到的两个问题。第一，范畴论在什么意义上为哲学结构主义提供了一个框架？第二，为什么它比其他框架，如集合论、Shapiro 的结构理论和 Hellman 的模态逻辑，更适合于完成这一任务？在最近关于这些主题的工作中，我们可以发现三个相关的哲学假设，它们是范畴论结构主义的特征，并将其与前面研究的结构主义的版本区分开来。我们将依次对它们进行论述，再次从 Awodey 的著作开始。

第一个特征性假设是，所有的数学定理都是具有条件形式的示意性陈述。这一点在 Awodey(2004)中明确提出。我们已经看到，根据 Awodey 的观点，范畴论的方法具有非基础性的特点。这包括，在范畴论中表达的数学公理和定理，应该被理解为示意性的陈述。它们并不表达关于数学对象的具体性质的真理，而是表达它们各自的属性和关系。此外，数学定理至少在原则上都是假设形式的。它们可以被重构为“如果-那么”语句。请注意，这种对数学定理的逻辑形式的看法，从表面上看，与人们在 Putnam 的著作中，以及更早的罗素的著作中可以找到的“如果-那么”主义是相似的，如第1节所述。

然而，正如 Awodey 所指出的那样，标准的“如果-那么”主义和范畴论方法在涉及的本体论承认方面也有重要的区别。根据标准的“如果-那么”主义，任何数学语句都可以转化为一个普遍量化的条件语句，其中的量化实际上是元理论性质的，范围覆盖所有正确类型的集合论系统。因此，该方法预设了一个丰富的集合本体论，在其中可以构建这样的系统。与此相反，沿着范畴论的路线，数学定理不涉及这样的本体论承认。没有基于一个理论的布尔巴基结构上的隐含泛化，例如，对于所有群、环或数系。相反，一个数学定理是 "关于一个结构[...]的示意性陈述，它可以有各种实例"(Awodey 2004: 57)。这些实例故意保持不确定，除非为了证明有关定理而需要对它们作进一步的说明。

不仅仅是 Awodey，范畴论结构主义的第二个显著特征涉及到范畴论所特有的某种"自上而下"的数学对象概念。根据标准集合论，数学对象是由"自下而上"，从某个底层(空集或也可以是元素的取值范围)开始，以持续重复的步骤来构造的。因此，每一个对象作为一个集合，都是由其内部元素决定的。相比之下，范畴论中的数学对象是以自上而下的方式来描述的，从 Eilenberg-Mac Lane 公理开始，使用态射的概念。因此，一个给定范畴，如环或拓扑空间范畴中的对象，并不是独立于相关的态射来考虑的。它们完全由它们的映射属性决定，就像用范畴论的语言所表达的那样。对它们的内在构成没有进一步的假设。特别是，关于它们的集合论性质的问题被认为是多余的(另见Landry & Marquis 2005)。

第三，可以说，范畴论结构主义最重要的特征是，它验证了"结构主义论"的一个版本(前面已经暗示过)。在此回顾一下 Benacerraf 在1965年论文中的论点，即数不应该被认定为特定的集合，而是应该被认为是抽象结构中的位置。Benacerraf还强调，在算术中只有某些属性是相关的。对他来说，这些是数论的属性，如 "是质数 "或 "是偶数"，这些属性可以用有关理论的基本关系和函数来定义。一般结构主义论文认为，那么一个数学理论所处理的对象的所有(相关的)属性都应该是特定意义上的结构性的。(前面也提到了什么是"结构"的问题)。

范畴论结构主义者通常认为，范畴论理论为数学对象的结构主义理解提供了最充分的框架，因为其语言中可表达的所有属性都变成了结构性的(例如，见McLarty 1993，Awodey 2004和Marquis 2013)。之所以如此，是因为对数学对象(如环或拓扑空间)的范畴论研究，使我们能够表达恰到好处的"结构信息"，即关于这些对象的结构属性的信息。在这种情况下，结构性质通常用同构不变量的概念来描述。给定一个范畴C，一个态射f A → B 是对象A和B之间的同构，当且仅当有一个态射 g：B → A ，使得 g◦f＝1ᴀ 并且 f◦g＝1ʙ 。那么，范畴C中对象A的一个属性P如果它在C中的同构下保持不变，就是结构性的，也就是说对于所有的同构f P(A) ↔ P(f(A)) (参见Awodey 1996)。

我们在上面看到，在传统的集合论中对数学对象的表示("自下而上"地进行)，带来了表达关于它们的集合论构成的各种属性的可能性，而这些属性在上述意义上并不是同构不变的。根据这个论点，范畴论相对于经典集合论(以及类似的方法)的核心优势在于，这种非结构性的属性在范畴框架中被简单地排除了。这一点在 McLarty 的《Numbers Can Be Just What They Have To》(1993)中首次得到强调，正如标题所暗示的那样，该书对 Benacerraf(1965)提出了反驳。 McLarty 在这篇文章中的中心论点是，如果我们认为数是在范畴化集理论(如ETCS或其子系统)中表示，而不是在正统集合论中表示，那么 Benacerraf 的结构主义计划才能最成功地实现。

为了进一步阐述这一优势，基本算术的数系可以在这样的范畴论框架中被表征为"自然数对象"，这是由Lawvere首先表明的。与它们基于 ZFC 的表征相比，这类对象不仅是同构的，而且还具有 "完全相同的性质"，即那些可以用集合范畴的语言来表达的性质。换句话说，任何两个自然数对象都是"可证明地不可分辨"，即它们"可证明地具有相同的属性"(McLarty 1993)。而且，所有这些属性都是上述意义上的结构性的。因此，Benacerraf 关于具有不同集合论属性的同构数系的困境并不会在范畴化集合论的背景下出现。所以结论是，数其实可以被认定为集合，但是要认定为 ETCS 中定义的结构性集合。

正如 McLarty 等人所论证的那样，这一观察结果可以从数泛化到范畴论所研究的所有其他数学对象。其主张是，一个给定范畴中的对象的任何属性，只要是可以用范畴论的语言来表达的，都是结构性的，即在同构不变的意义上。Awodey 把结构主义的数学对象概念的主要结论概括为：既然所有的范畴论属性都是结构性的, 那么一个给定对象在给定范畴中时, 即该范畴中的对象可能具有的唯一属性, 就是结构性的属性. (Awodey 1996: 214)

这似乎说明了结构主义的范畴化形式相对于集合论和类似形式的一个主要优势。

但是应该补充一个反驳，McLarty 和 Awodey 关于范畴化集合论中可表达的所有数学性质都是同构不变的说法受到了质疑，例如在 Tsementzis(2017)中。事实上，Tsementzis 认为，ZFC 和 ETCS 都没有为数学提供完全的结构主义基础，因为它们各自的语言其实不完全允许表述不变性属性。然后，Makkai 的 FOLDS 系统(Makkai，1995，其他网上资源，1998)和同伦类型理论(Homotopy Type Theory)中发展的泛等基础(Univalent Foundations)计划(Univalent Foundations Program，2013)似乎都符合这个条件。在这里，我们又遇到了学术界中另一个正在进行的争论。

刚才提到的技术结果显然与我们的讨论有关，但我们无法在这个一般性综述中进一步探讨它们。(关于结构主义和泛等基础项目之间的关系，可参考Awodey 2014)。我们也不得不把有关范畴论结构主义的哲学主张和论证的进一步的、更明确的评价留给另一个场合，尽管这个辩论很有趣也很重要。然而，我们现在以一些关于结构主义的更一般性，甚至超越数学哲学的范围的评论来作为结论。

4. 总结

4.1 数学结构主义的变体

我们在这篇文章中有两个主要目标。第一是向读者介绍当代数学哲学中关于结构主义的一般性讨论。第二，我们试图为这一讨论提供一个更丰富、更包容的分类法，包括明显地指出，结构主义立场的种类在其中所起的作用比通常所承认的要大得多。可以肯定的是，一定数量的种类以前已经得到了承认，这反映在取消式立场和非取消式立场的区分上，Shapiro的先物结构主义和Hellman的模态结构主义是范式；范畴结构主义被承认为第三种主要选择。但发挥作用的立场范围远不止于此，尤其是在近代文献中。“数学结构主义”并不是单一立场的名称，而是一个多方位的家族的名称。

推荐我们这种更具包容性的分类法主要有两个原因。第一个原因是，虽然已经提出了许多版本的数学结构主义，但其中有几个版本还没有得到太多的关注，部分原因是它们与Shapiro立场、Hellman立场和范畴论立场的关系仍然不明确。一路走来，我们试图建立一些沟通的桥梁。第二个原因是，在20世纪60年代之前，即在Benacerraf和Putnam的出版物之前，已经有几个重要的变体发挥了作用，而这些出版物往往被视为哲学中关于结构主义辩论的起点。这既涉及方法论结构主义，也涉及形而上学结构主义，这是我们所强调的一个基本区别；但我们在本考察中只提示了我们这个主题的相关“前史”（我们请读者参阅Reck & Schiemer forthcoming，以了解更多的情况）。

4.2 超越数学的结构主义

另一个我们在本篇文章中没有探讨的相关方面（尽管在结束前至少应该简要提及）它包括数学哲学之外关于“结构主义”的争论。有两个主要领域可以找到这样的争论（尽管它们已经得到进一步反响）。第一个是物理学哲学，结构主义的立场在其中也发挥了重要作用（包括一种叫做“结构实在论”的立场，它有“本体论”和“认识论”两种形式）。第二种包括人文社会科学的几个部分，主要是语言学和人类学，也包括心理学、社会学等。在那里，是一个比较长的时期“结构主义”（以及“后结构主义”）也的确是一个重要的话题。在这两种情况下，都与数学结构主义有联系，尽管有时这些联系只是松散的。

在一个基本的层面上，物理学哲学中关于结构主义的争论涉及到，考虑到量子力学和相对论带来的革命性变化，如何思考现代物理学的“对象”。更特别的是，它涉及在这种联系中指涉“结构”的建议（参见French 2014, Ladyman 2007[2019]等），其方式与数学哲学密切相关。在另一个层面上，这场争论涉及如何构想物理学本体论中什么东西（如果有的话）在理论变化中保持不变（参见Worrall 1989，并参见本百科全书中关于物理学中的结构主义的条目）。第三，存在关于与结构主义有关的科学中的表征的争论（参见van Frassen 2008）。虽然有几个接点可以进一步探讨（例如，关于物理学背景下的“结构不可区分者”和“集合论结构主义与范畴论结构主义”的版本），但我们在此不做讨论。

由Ferdinand de Saussure和Roman Jakobson引入语言学的结构主义，随后被人文和社会科学领域的其他思想家——最突出的是人类学领域的Claude Levi-Strauss和心理学领域的Jean Piaget（参见Claude Levi-Strauss 1958[1963], Piaget 1968[1970], 也见Caws 1988）——确实也与数学结构主义有联系。不过，它们比物理学哲学的情况要松散一些。此外，那种在人文社会科学中经常与结构主义联系在一起，甚至被认定为结构主义的心理决定论（在后结构主义中也受到批评），在数学（或物理学）方面没有类似的东西。不过，这些联系也并非完全无趣（始于Levi-Strauss与Bourbaki集团的数学家之间的接触，参见Dosse 1991-92[1997]）。因此，它们或许也值得进一步探讨，在这里，并不是为了获取对于数学哲学的好处，而是为了更全面地理解结构主义在人类思想中的历史。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。