C(n)基数（二）

注意：现状（2/2）篇章！

证明很清楚，пn-1类结构的反射性质在极限下是封闭的。所以如果κ是C（n）可扩基数或C（n）可扩基数的极限，那么定理4.11意味着κ反映了所有пn-1类结构。另一个方向可以像定理1中那样得到类似的证明4.16。假设κ反映了所有пn-1（真）类结构，它既不是C（n）-可扩的也不是C（n）-可扩基数的极限。那么对于某个序数η《κ，不存在大于η且小于或等于κ的C（n）可扩基数。考虑Vξ，，λ，α，C（n）ξ，η♀η的结构类，其中从定理证明可知，η《α《λ《ξ满足（1）-（4）4.16此外（5）λ证明小于等于α且大于η的序数都不是λ-C（n）-可扩的。显然，是一个пn-1可定义的真类，参数为η。所以存在一个初等嵌入j:（Vξ◪，e，λ◪，α◪，C（n）∩ξ◪，{η◪}η◪≤η）→（Vξ，e，λ，κ，C（n）∩ξ，{η◪}η◪≤η）两个结构都在中，并且Vξ◪、，λ◪、α◪、C（n）ξ◪、η◪的秩小于κ。所以ξ♀《κ且η《Cr I t（j）。剩下的证据现在继续进行4.16。п我们以下面的观察来结束这一节。假设n ≥ 1。

给定σn+1个可定义的结构类c，比如通过σn+1公式ϕ(x），设c∫是a∫=（vα，e，α，a）形式的结构类，其中α是c（n）中的最小序数，使得Vα |= ϕ( A）。如果A e C，那么这样的α存在，因为序数α的集合使得Vα |= ϕ( A）是club。相反，如果（Vα，e，α，a）e c*，则Vα |= ϕ( A）和αe c（n），这意味着ϕ( A）在v中成立，因此A e C成立。因此，我们有当且仅当。现在注意C∫是пn可定义的。这解释了为什么例如V P（пn）相当于v P（σn+1），或者为什么基数反映пn个类当且仅当它反映σn+1个类。

5，超紧基数

接下来让我们考虑超紧性的C（n）基数形式。

定义5.1如果κ是基数且λ》κ，我们说κ是λ-C（n）-超紧的如果存在初等嵌入j V M，其中M是传递的，使得Cr I t（j）κ，j（κ）》λ，M在λ-序列下是闭的，并且j（κ）C（n）。我们说κ是C（n）-超紧的，如果它对每个λ》κ是λ-C（n）-超紧的。如果κ是C（n）-super huge（参见第。6），那么κ就是C（n）-超紧。因此，命题如下6.4在此之下，如果κ是C（n）-2-huge，则在κ上存在κ-完全正规超滤子，使得α《κvκ“α是C（n）-超紧”。与λ-超紧性不同，λ-C（n）-超紧性的概念不能用κ（λ）上的正规测度来模拟。问题是如果j V M是来自这样一个测度的超幂嵌入，那么2λ《κ《j（κ）《（2λ《κ）+(参见[5】，22.11），因此j（κ）不是基数。所以，为了阐明λ-C（n）-超紧性在集合论的一阶语言中，我们将利用长扩充符2具有足够丰富的传递集作为支持（参见【9】用于此类简短扩展程序的演示）。假设j V M .证明了κ是λ-C（n）-超紧的。设Y是M的传递子集，它包含j T λ，在长度序列下是闭的≤ λ，并且在j下是闭的。设ζ是最小序数，使得y⊆j（vζ）。对于每个a e【y】《ω:= { x⊆y:x是有限的}，设Ea定义为:当且仅当x⊆（vζ）a和J1 t j（a）e j（x）。注意函数J1 T j（a）j（a）a是发送j（x）的同构到x，每x a。不难查得序列E Ea a Y《ω是Vζ上具有临界点κ且支持Y的扩张子，即，每个Ea都是（vζ）a上的κ-完全超滤子，E{κ}不是κ+-完全的。如果a ⊆ b和X e Ea，那么{ f e（vζ）b:f t a e x } e EB。

对于每个a，集合{ f : a →值域（f）:f是e-同构}属于a如果F（Vζ）a V使得F F（F）（range（F））Ea，则有z Y使得F（vζ）a∨{ z } F（F T a）F（z）Ea z。ultra power Ult（V，E）是有根据的。为了检查（5），观察到由k（a，f）给出的映射k（V，E）M是一个初等嵌入。如果jE V ME∞Ult（V，E）是对应的超幂嵌入，则杰杰。此外，Y ME和k是Y上的恒等式（参见【9】了解详情）。因为假设Y在j下是闭合的，所以很容易得出Y在jE下也是闭合的。因此，如果Y是Y，那么j（Y）k（jE（Y））jE（Y）。特别是κCr I t（jE）和j（κ）jE（κ）。我们声称jE证明了κ的λ-C（n）-超紧性，为此只需检查ME在λ-序列下是闭的。首先请注意ME = { jE（f）（J1 T j（a））:a e【Y】《ω且f:（Vζ）a→V }。

我要感谢拉尔夫·辛德勒启发了关于长延伸剂的讨论。

因为如果x =【a，【f】】e ME，那么写s为J1 T j（a）并注意到k（s）= s，因为s e Y，我们有k（x）= j（f）（s）= k（jE（f））（k（s））= k（jE（f）（s））因为k是一对一的，所以我们得到x = jE（f）（s）。现在固定jE（fi）（J1 T j（ai）），I《λ。letf =（fi:I《λ），设c为jE T λ，设d =（J1 T j（ai）:I《λ）。请注意，由于Y在j和λ序列下是闭的，因此d e Y . Set b = {c，d}并让F:（Vζ）b→V定义如下:如果s = {sc，sd } e（Vζ）b使得sc和SD是具有相同序数α作为其定义域的函数，则F（s）是具有值域α的函数g使得g（I）= F（sc（I））（SD 652否则，F（s）= 0。然后，注意到j 1T j（b）将j（c）映射到j Tλ，j（d）映射到d，我们得到:jE（F）（J1 T j（b））（I）= jE（F）（jE（I））（J1 T j（ai））= jE（fi）（J1 T j（ai））所以（jE（fi）（J1 TJ（ai））:I《λ= jE（F）（J1 TJ（b））e ME。相反，假设y是传递的，e =（ea:a e【y】《ω）是某个Vζ上具有临界点κ且支持y的扩张子。如果je:v→me∞= ult（v，e）是对应的超幂嵌入，则Cr I t（je）=κ且Y ⊆ ME（参见【9],引理1.4和1.5）。此外，如果【a，【f】】e我，那么jE（f）（J1 T jE（a））=【a，【ca】】（【a，【I d（V）a】）=【a，【f】】其中ca:（Vζ）a→V是值为f的常数函数，I d（V）a:（Vζ）a→Vf ζ是身份函数。因此，ME = { jE（f）（jE 1T jE（a））:a e【Y】《ω且f:（Vζ）a→V }。

因此，如果Y在jE和λ序列下是闭的，那么可以如上所示ME在λ序列下是闭的。请注意，对于每个μE C（1）和每个κ，ζ，Y，E，Vμ，我们有:E是Vζ上具有临界点κ的扩张子，且当且仅当VμV | =“E是Vζ上的扩张子Vζ带有临界点κ并支持Y”。而且，（jE（κ））μ= jE（κ）。因此，对于n ≥ 1，κ是λ-C（n）-超紧当且仅当eμee ey eζ（μe c（n）λ，e，y e vμ是传递的【y】≤λ⊆yvμ| =“E是Vζ上的延拓子，具有临界点κ并支持Yˇ]⊆yˇje（κ）》λˇje（κ）e c（n）“。由此可见，对于n ≥ 1，“κ是λ-C（n）-超紧”是σn+1可表示的。因此，“κ是C（n）-超紧”是пn+2可表示的。因此，对于n ≥ 1，如果κ是C（n）-超紧且α是C（n+1）中大于κ的任意序数，则vα| =“κ是C（n）-超紧”。此外，由于对于每一个n，“eκ（κ是C（n）-超紧）”是σn+3可表示的，所以第一个C（n）-超紧基数是不属于C（n+3）。但是我们不知道例如第一个C（1）-超紧基数是否属于C（3）。我们也不知道C（n）-超紧基数是否形成了一个强意义上的层次结构，也就是说，如果第一个C（n）-超紧基数小于第一个C（n+1）-超紧基数，对于所有n。每个可扩展基数都是超级紧凑的，第一个可扩展基数要大得多比第一个超级契约（见【5】），但我们不知道对于n ^ 1，是否每个C（n）-可扩展基数都是C（n）-超紧基数，或者第一个C（n）-可扩展基数是否实际上大于第一个C（n）-超紧基数。然而，由于每个C（n ）-可扩展基数属于C（n+2）（命题3.4），第一个C（n）-超紧基数小于第一个C（n+1）-可扩基数，假设两者都存在。到目前为止，我们所知的唯一上限，在通常的大型基数等级中，在对于n-1，C（n）-超紧基数的存在的一致性强度是E0基数的存在性（见节）。7).

6，巨大的和超巨大的基数

回想一下，基数κ是M-巨大的，对于m 1，如果它是初等嵌入j V M的临界点，其中M是传递的并且在jm（κ）-序列下是封闭的，其中JM是j的第M个迭代。基数如果是1-巨大的，则称为巨大的。定义6.1我们说一个基数κ是C（n）-m-huge（n≥1）如果它是m-huge，由j见证，其中j（κ）e C（n）。我们说κ是C（n）-巨大的，如果它是C（n）-1-巨大的。与C（n）-超紧基数不同，C（n）-超紧基数不允许用超滤子来刻画，而只能用长扩张子来刻画。即:κ是C（n）-m-huge当且仅当它是不可数的，并且在某些（λ）和基数上存在κ-完全精细正规超滤子κλ0《λ1《λmλ，其中λ1为C（n），并且使得对于每个I《m，{ x e P（λ）:ot（x∩λI+1）=λI } e u。（参见【5】，24.8证明了n ^ 1的情况，这也适用于任意n .）由此得出“κ是C（n）-m-huge”是σn ^ 1可表示的。显然，每个巨大的基数都是C（1）-巨大的。但是第一个巨大的基数不是C（2）-巨大。因为假设κ是最小的基数，并且j V M证明κ是C（2）-大基数。那么因为“x是巨大的”是σ2可表达的，我们有VJ（κ）| =“κ是巨大的”。因此，由于（Vj（κ）M = Vj（κ），m | =“eδ《j（κ）（Vj（κ）| =“δ是巨大的“）”。

根据初等性，V中有一个小于κ的大基数，这是荒谬的。

一个类似的论点是，对于所有的m，对于n ^ 1“κ是C（n）-m-huge”是σn ^ 1 express-ible，表明对于所有的m，n ^ 1，第一个C（n）-m-huge基数不是C（n+1）-huge。类似的考虑可以在几乎巨大的红雀的情况下进行。回想一下，基数κ几乎是巨大的，如果对于每个γ《j（κ），它是在γ序列下M传递且闭的初等嵌入j V M的临界点。因此，我们说基数κ是C（n）-几乎-巨大的，如果它是几乎-巨大的，由具有j（κ）C（n）的嵌入j见证。c（n）-几乎巨大的基数也可以用正常的超过滤器来表征。即:κ是C（n）-几乎巨大当且仅当存在大于κ的不可达λC（n）和正规超滤子γ的连贯序列κ（γ）上的κγ《λ，使得对应的嵌入jγV Mγult（V，γ）和kγ，δ Mγ Mδ满足:如果κγ《λ且γα《jγ（κ），则存在δ使得γδ《λ且kγ，δ（α）δ。（参见【5】，24.11了解详情。）由此可见，对于n-1，“κ是C（n）-几乎-巨大”是σn-1可表示的。现在，与C（n）-巨大基数的情况类似的论证表明，对于n-1，第一个C（n）-几乎巨大基数不是几乎是巨大的。显然，如果κ是C（n）-巨大的，那么它是C（n）-几乎-巨大的。此外，类似于命题2.3可以证明在κ上有一个κ-完全正规超滤子，使得在κ下的C（n）-几乎巨大基数的集合属于它。还要注意，每一个C（n）-几乎巨大的基数都是C（n）-超强基数，因此属于c（名词）。因此，由于C（n）-巨大是σn-1可表示的，所以第一个C（n）-巨大基数小于第一个C（n+1）-几乎巨大基数，前提是两者都存在。定义6.2我们说基数κ是C（n）-超超超当且仅当对于每个α存在一个初等嵌入j : V → M，其中M是传递的，使得Cr I t（j）=κ，α《j（κ），M在j（κ）-序列下是闭的，并且j（κ）e C（n）。显然，κ是超人（见【5】）当且仅当它是C（1）-super huge。

命题6.3如果κ是C（n）-super huge，那么κ e是C（n+2）。与命题相似的证明3.4。п请注意，κ是C（n）-超超超当且仅当对于每个α，在某个（λ）上存在κ-完全细正规超滤子，其中λC（n）大于α和κ，使得x（λ）ot（x）κ。因此，“κ是C（n）-超大型”是пN2可表示的。与C（n）-超级基数的情况类似，我们可以很容易地看出第一个C（n）-超级基数不是C（n+1）-超级基数。因为假设κ是最小的C（n）-超基数，并针对一个矛盾假设它是C（n+1）-超基数。设j : V → M是一个初等嵌入，其中Cr I t（j）=κ，Vj(κ)⊆ M和j（κ）EC（n+1）。那么Vj（κ）| =“κ是C（n）-super huge”。因此，由于（Vj（κ）M = Vj（κ），（Vj（κ））M | =“eδ（δ是C（n）-super huge）”。根据基本原理，vκ| =“eδ（δ是C（n）-super huge）”。

由于κC（n+2），在V中存在一个C（n）-超基数δ《κ，这与κ的最小值相矛盾。显然，每个C（n）-超基数都是C（n）-超紧基数。下面的命题是Barbanel-Di Prisco-Tan对m-巨大和超巨大基数的类似结果的C（n ）-基数版本2](另见[5], 24.13).提议6.4如果κ是C（n）-超大型，那么它是C（n）-可扩的。此外，在κ上存在一个κ-完全正规超滤子U，使得{α《κ:α是C（n）-可扩}e U。如果κ是C（n）-2-huge，那么在κ上存在一个κ-完全正规超滤子U使得{α《κ:vκ| =“α是C（n）-superhuge“} e U。证明（1）:固定λ》κ。让j V M见证κ的巨大j（κ）》λ。那么M“κ是λ-C（n）-可扩的”。自M“j（κ）C（n+2）”以来，我们有（Vj（κ）M“κ是λ-C（n）-可扩的”。因此，由于（Vj（κ））M Vj（κ），VJ（κ）“κ是λ-C（n）-可扩的”，因此κ是λ-C（n）-可扩的。请注意，上面的论证实际上表明（Vj（κ））M“κ是C（n）可扩的”。因此，如果是从j导出的κ上的标准κ-完全正规超滤子，则我们有α《κvκ“α是C（n）-可扩的”。因此，由于κC（n+2），α《κα是C（n）可扩的。

（2）:让j V M .证明κ是C（n）-2-huge。因为M在J2（κ）下是闭的-序列，由（j（κ））导出的κ-完全精细和正规超滤子见证κ之大的j属于M .因此，m | =“κ是巨大的，由一些嵌入k的k（κ）= j（κ）见证”。因此，如果κ上的标准κ-完全正规超滤子是从j导出的，则我们有a:= {α《κ:α是巨大的，由k（α）=κ} e u的嵌入k见证。由于M包含P（κ）上的所有超滤子，因此对于每个α e A，M | =“α是巨大的，由k（α）=κ的嵌入k证明”。因此，{β《κ:α是巨大的，由k（α）=β} e U的嵌入k证明。请注意，由于κ，j（κ）e C（n），Vj（κ）| =“κe C（n）”。由于（Vj（κ）M = Vj（κ），集合C（n）∩κ在U中。因此，{β《κ:α是C（n）-巨大的，由嵌入k见证其中k（α）=β} e U .因此，对于每个α e A，vκ| =“α是C（n）-super huge”。由此得出{α《κ:vκ| =“α是C（n）-superhuge“} e U .п

7，关于秩向自身的初等嵌入

最后，我们将考虑称为Ei的非常强的大基数原则的C（n）基数形式，对于0 i ω（参见【7]).原则E0（在文献中也称为I3）（参见【5】，24）断言非平凡初等嵌入j Vδ Vδ的存在性，其中δ是极限序数。让我们称这种嵌入的临界点为E0基数。如果j Vδ Vδ证明κ是E0，那么Kunen定理暗示δsup jm（κ）mω，其中JM是j的第m个迭代。由此得出δC（1），因为所有JM（κ）都是不可达的基数（实际上是可测基数），因此它们都属于C（1）。此外，Vκ和Vjm（κ）都是初等的κVδ的子结构。因此，Vδ |= ZFC。定理7.1如果κ是E0，由j见证:Vδ → Vδ，那么在Vδ中，κ（以及所有的基数JM（κ），m ≥ 1）是C（n）-超强，C（n）-可扩，C（n）-超紧，C（n）-k-巨大，以及C（n）-超巨大，对于所有的n，k ≥ 1。证明首先注意到在Vδ中，κ和所有迭代JM（κ），m ^ 1都属于C（n），对于所有n。为了证明κ是Vδ中的C（n）-superhuge，选择任意α《δ。那么我们可以发现m使得JM（κ）》α。因此，jm : Vδ → Vδ，Cr I t（JM）=κ，α《JM（κ），Vδ在JM（κ）-序列下是闭的，并且JM（κ）e C（n）。通过以下方式定义U:X e U当且仅当x⊆p（JM（κ）÷JM“JM（κ）e JM（x）。人们可以很容易地证明U是P（JM（κ））上的κ-完全精细正规超滤子U由于U e Vδ，我们现在可以在Vδ中定义超幂嵌入k vδM∞Ult（vδ，）。那么Cr I t（k）κ，α《k（κ），M在k（κ）-序列下是闭的，并且k（κ）C（n）（参见【5】，24.8了解详情）。由于对每个α《δ都可以做同样的事情，这表明在Vδ中κ是C（n）-superhuge。因此κ也是C（n）-超紧的、C（n）-可扩的和C（n）-超强的。对…的争论使用超滤器方面的C（n）-k-庞大性的特征，表明κ是C（n）-k-庞大性类似于C（n）-超庞大性。6).п因此，模ZFC，E0基数存在的一致性意味着与前面部分中考虑的所有C（n）基数存在的ZFC一致性。注意上面定理的一个结果（和推论4.15）是Vδ满足VP。现在让我们说κ是C（n）-E0基数，如果它是E0，由一些嵌入证明j Vδ Vδ，其中j（κ）C（n）。显然，如果κ是C（n）-E0，那么κC（n）。事实上，κ是C（n）的一个极限点。假设α小于κ。那么Vj（κ）满足存在某个大于α的βC（n），因为κ是这样一个β。因此，根据j的初等性，Vκ满足大于α的一些β属于C（n）。但既然κC（n），β确实属于C（n）。显然，每个E0基数都是C（1）-E0。然而，一个简单的反射论证表明，对于n ≥ 1，最小的C（n）-E0基数小于C（n+1）中的第一个基数，因此它不是C（n+1）-E0。假设αEC（n+1）小于或等于第一个C（n）-E0基数κ。那么Vα满足σn-1陈述，该陈述断言C（n）-E0基数的存在，因为κ在V中见证了它。但是如果Vα认为某个λ是C（n）-E0基数，那么V也是，这与κ的最小值相矛盾。命题7.2如果κ是C（n）-E0，那么它是C（n）-m-huge，对于所有m，并且存在一个κ-κ上的完备正规超滤子U使得{α《κ:α对每个m}e U都是C（n）-m-huge。证明设j : Vδ → Vδ证明κ是C（n）-E0，δ极限。然后在【5】，24.8可以证明超滤器V在P（λ）上，其中λ= JM（κ），由下式定义X e V当且仅当j”λe j（X）目击者称κ是C（n）-m-巨大的。设U是从j得到的κ上通常的κ-完全正规超滤子。因为V e Vδ，Vδ满足κ是C（n）-m-huge，所以{α《κ:α对每个m}e U . п都是C（n）-m-巨大的命题7.3假设j : Vδ → Vδ见证κ为E0，δ为极限序数。那么对于每个n ≥ 1，以下等式是等价的，JM（κ）e C（n），所有1≤m《ω。δe C（n）。证明（1）意味着（2）是直接的，因为δ= sup { JM（κ）:m《ω}。（2）意味着（1）直接从易于验证的事实得出:Vκ和Vjm（κ）都是Vδ的基本子结构，m ≥ 1。п

这意味着以下定义。定义7.4我们说κ是m-C（n）-E0，其中m ≥ 1，如果它是C（n）-E0，由一些j见证:vδ→vδwith JM♀（κ）e C（n）对于所有1≤m♀≤m .我们说κ是ω-C（n）-E0如果它是C（n）-E0，由j见证:Vδ → Vδ with δ e C（显然，κ是E0当且仅当它是C（1）-E0当且仅当它是ω-C（1）-E0。观察如果κ是m-C（n）-E0，其中1≤m《ω，由j见证:Vδ → Vδδ最小这样，则δ/e C（2）。否则，Vδ将反映σ2语句:eηEk（k:vη→vηCr I t（k）=κˇ1≤m◪≤m（km♀（κ）= JM♀（κ）））其中κ和JM♀（κ）都是1m♀m的参数，因此该语句的见证将产生δ最小值的反例。由此可见，j不能证明κ是ω-C（2）-E0。还要注意，在命题之前给出的反射论证7.2，最小的ω-C（n）-E0基数κ小于C（n+1）中的第一基数。因此，对于n ≥ 1，没有小于或等于κ的基数是C（n+1）-E0。

命题7.5最小m-C（n）-E0基数不是（m+1）-C（n）-E0，对于所有m ≥ 1并且n ≥ 2。证明假设κ是最小的m-C（n）-E0基数，并假设j : Vδ → Vδ是初等的，其中crit（j）=κ且JM♀（κ）e C（n）对所有m♀≤m+1。那么，Vjm+1（κ）满足句子:ei eβeμ（I:vβ→vβ是初等的crit（I）=μˇμ《j（κ）ˇ1≤m◪≤mim♀（μ）= JM♀（κ））因为j、δ和κ见证了它，并且句子是σ2，参数为JM◪（κ），所以1≤m◪≤m .因此，通过元素性，以下等式在Vjm（κ）中成立:ei eβeμ（I:vβ→vβ是初等crit（I）=μ-μ《κ1≤m◪≤mim♀（μ）= JM♀-1（κ）其中j 0（κ）=κ。由于JM（κ）e C（n），它在V中也成立。但是如果μ见证了它，那么μ是m-C（n）-E0，这与κ的最小值相矛盾。п不难看出，κ是E0，由初等嵌入j Vδ Vδ证明，当且仅当κ是σ0初等嵌入k Vδ 1 Vδ 1的临界点，即它对带参数的有界公式保持真理。主要的一点是注意到j唯一地扩展到初等嵌入k V V通过让k（a）:=α《δj（a∩vα），对于所有⊆ Vδ（见【7]或[3]了解详情)。因此考虑原则Ei是很自然的，因为1 ≤ i ≤ ω（【7】），它们断言存在一个非平凡的σI初等嵌入j Vδ+1 Vδ+1，即j保持σI公式的真值，并带有参数。因此，Eω断言j完全初级的。E1和Eω在文献中也分别称为I2和I1（见【5]).观察到嵌入j Vδ 1Vδ 1是σI基本当且仅当它对Vδ的限制是σ1初等的。（回想一下，如果一个公式是秒，则它是σ1我我以i-多个交替的二阶量词开始的顺序公式，从一个存在量词开始，公式的其余部分只有一阶量词。）我们稍后将利用以下事实（民间传说）:对于每个i 1，公式j : Vδ → Vδ是σ1初等的在参数j和δ中，пI 1是否可以用Vδ 1表示，因为它等价于:对于每个A Vδ和每个σ1公式X1 X2...Xiψ（X1，...Xi，Y），其中ψ只有一阶量词，EX16X2...EXi（（vδ，e，X1...Xi，A）| =ψ（X1，...Xi一家）惟一可能是EX16X2...EXi（（vδ，e，X1...Xi，A，j）| =ψ（X1，...Xi j（A∩vα））。α<δ现在，唐纳德·马丁表明，对于I奇数，如果j : Vδ+1 → Vδ+1是σI初等的，那么它也是σI+1初等的（参见【7]).所以当我是偶数时，我们只需要考虑原则Ei。类似于E0的情况，我们称σI初等嵌入j的临界点为Vδ 1Vδ 1一个Ei基数。此外，如果j（κ）C（n），则我们称凯为红衣主教。更一般地说，如果JM♀（κ）c（n），代表所有1m♀m，那么我们说κ是一个m-C（n）-Ei基数。如果δC（n），那么我们说κ是ω-C（n）-Ei。（注意，由命题7.3，δC（n）当且仅当JM（κ）C（n）对所有m .）对于每个i ≤ ω和m，n ≥ 1，m-C（n）-Ei基数的存在性可以表示为σn+1陈述，即EδE j Eκ（j:vδ+1→vδ+1是σI初等ˇCr I t（j）=κˇ6 1≤m♀≤m（JM♀（κ）E C（n））。

（注意在m ω的情况下，JM（κ）δ。）类似于命题之前给出的反思论点7.2现在得出，对于所有m，i ω和n-1，最小的m-C（n）-Ei基数小于C（n+1）中的第一基数，因此更小比最少的C（n+1）-E0基数。很简单，如果κ是m-C（n）-Ei 1，那么它就是m-C（n）-Ei。在这种情况下我要多得多是真的:争论类似于【5】，24.4可以证明在κ上存在一个正规超滤子，使得m-C（n）-E0的基数集α《κ属于该超滤子。在……里一般情况下我们有以下。定理7.6假设j Vδ 1 Vδ 1证明κ是m-C（n）-Ei ^ 2基数，其中I，n《ω，m ω。那么m-C（n）-Ei基数的集合在κ以下是无界的。证明固定γ《κ。那么以下等式在Vδ+1中成立:ek eβeα（k:vβ→vβ是σ1 elementalˇγ《Cr I t（k）=α《j（κ）ˇ6 1≤m♀≤m（km♀（α）= JM♀（κ）））因为j、δ和κ见证了它。如上所述，公式“k : Vβ → Vβ是σ1初等的”是пI+1，可在变量k和β的Vδ+1中表示。所以最后显示的语句是σI+2，其中γ和（j（κ），j ^ 2（κ），...，JM（κ）作为参数。因此，因为j是σI+2初等的，所以Vδ+1满足:

ek eβeα（k:vβ→vβ是σ1基本γ《Cr I t（k）=α《κˊ6 1≤m♀≤m（km♀（α）= JM♀-1（κ）））

其中j 0（κ）=κ。如果k、β和α见证了该语句，则嵌入k : Vβ →Vβ证明α是大于γ的m-C（n）-Ei基数。п与命题相似7.5人们可以证明，对于所有m ≥ 1和所有n ≥ 2，i ≤ ω的最小m-C（n）-Ei基数不是（m+1）-C（n）-Ei。总而言之，对于每个n，让κ（n）表示C（n）中的第一个基数，并且i ≤ ω和m-κ（n）表示最小的C（n）-Ei基数和最小的分别是m-C（n）-Ei基数。然后，假设所有这些基数都存在，我们有:κ（n）《κ（n）《m-κ（n）《m-κ（n）《m-κ（n）《（m+1）-κ（n）《ω-κ（n）《κ（n+1），i i i +2 ω ω ω在所有情况下，为所有的我；不等式1、3、4和6中的所有n；最后一个不等式中的所有n ^ 1；在不等式2和5的情况下所有n ^ 2；在不等式3、4、5、6和7的情况下都是1mω；以及第二个不等式中的所有2 m ω。第一个不平等显而易见。不等式2和5来自类似于命题证明的论证7.5。不等式3、4和6由定理得出7.6。最后一个不等式可以通过一个类似于命题之前给出的反射论证来表示7.2。提交人得到了西班牙教育和科学部MTM2008-03389/MTM赠款和加泰罗尼亚自治区政府2009SGR-00187赠款的支持。这项工作的一部分是在2009年11月作者在米塔·列夫勒研究所期间完成的，在此对其支持和热情款待表示感谢。参考Bagaria，j .，Casacuberta，c .，Mathias，A.R.D .，Rosick，j .:可定义的正交类较小。提交出版（2010年）大法官巴尔巴内尔、大法官迪·普里斯科、大法官谭、大法官I.B .:很多时候都是大而无当的红衣主教。j .塞姆。日志。49, 112– 122 (1984)迪蒙特，v .:L（vλ1）以外的非真初等嵌入。博士论文。都灵大学（2010年）集合论。第三个千年版本，修订和扩展。斯普林格数学专著。施普林格、柏林、海德堡（2003年）更高的无限:集合论中的大型基数从一开始。数理逻辑透视。施普林格、柏林、海德堡（1994）基本嵌入和无限组合学。j .塞姆。

日志。36, 407–413 (1971)拉沃尔:强大基数公理之间的蕴涵。安。纯应用日志。90, 79–90 (1997)论超紧和可扩展基数在逻辑中的作用。以色列数学杂志。10, 147– 157 (1971)马丁，D.A .，斯蒂尔，J.R .:射影决定性的证明。J. Am。数学。社会主义者2(1), 71–125 (1989)1 3查看出版物统计信息。

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